數(shù)學思維活動經(jīng)驗研究綜述

數(shù)學活動經(jīng)驗作為義務教育階段數(shù)學課程目標之一，最早出現(xiàn)在 《全日制義務教育數(shù)學課程標準 （實驗稿）》 中。 在 《全日制義務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）中，它與基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想一起，組成了數(shù)學課程目標的 “四基”。隨著課程改革的推進，數(shù)學活動經(jīng)驗的研究日臻豐富和深入，特別是將數(shù)學活動經(jīng)驗分為 “實踐的經(jīng)驗”和 “思維的經(jīng)驗”更加彰顯了數(shù)學學科本質(zhì)。數(shù)學思維活動經(jīng)驗從屬于數(shù)學活動經(jīng)驗，又體現(xiàn)了數(shù)學思維特質(zhì)，這是一個全新的話題，可以說當前學界和教學一線對此內(nèi)容的研究尚在摸索階段，本文擬對當前 “數(shù)學思維活動經(jīng)驗”的相關(guān)研究做簡要評述。

一、數(shù)學活動經(jīng)驗的相關(guān)研究

1.數(shù)學活動經(jīng)驗的含義

目前，我國有關(guān)數(shù)學活動經(jīng)驗的理論研究與教學實踐盡管取得了一定的進展，但至今仍未對數(shù)學活動經(jīng)驗的含義達成共識，目前影響較大的幾種觀點主要體現(xiàn)在兩個方面。

（1）把數(shù)學活動經(jīng)驗作為某種單一體。有學者認為數(shù)學活動經(jīng)驗是數(shù)學知識的一部分。 “數(shù)學活動經(jīng)驗屬于學生的主觀性數(shù)學知識的范疇”。馬復則認為數(shù)學活動經(jīng)驗是一種認識，特別是感性認識。個體的數(shù)學活動經(jīng)驗是對自己以往經(jīng)歷的數(shù)學活動在認知方面的自覺或不自覺的感性概括，是一種感性認識。也有的認為，數(shù)學活動經(jīng)驗是在數(shù)學目標指引下，通過對具體事物進行實際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時所形成的認識。還有的將數(shù)學活動經(jīng)驗看作體驗，是經(jīng)歷。數(shù)學活動經(jīng)驗是學生經(jīng)歷數(shù)學活動之后所留下的直接感受、體驗和感悟。這些具有個體特色的內(nèi)容，既可以是感覺知覺的，也可以是經(jīng)過反省之后形成的經(jīng)驗。

（2）把數(shù)學活動經(jīng)驗作為復雜的組合體。一種觀點認為數(shù)學活動經(jīng)驗既是知識，也是過程。數(shù)學活動經(jīng)驗分為靜態(tài)和動態(tài)兩個層面。數(shù)學活動經(jīng)驗介于緘默知識和顯性知識之間，從靜態(tài)上看是知識，是學生對整個數(shù)學活動過程產(chǎn)生的認識，包括體驗和感悟等；從動態(tài)上看是過程，是經(jīng)歷。另一種觀點認為數(shù)學活動經(jīng)驗是組合體的整體概念。數(shù)學活動經(jīng)驗是指學習者在參與數(shù)學活動的過程中所形成的感性知識、情緒體驗和應用意識。感性知識是指具有學生個人意義的過程性知識；情緒體驗是指對數(shù)學的好奇心和求知欲、在數(shù)學學習活動中獲得的成功體驗、對數(shù)學嚴謹性與數(shù)學結(jié)果確定性的感受以及對數(shù)學美的感受與欣賞等；應用意識包括 “數(shù)學有用” 的信念、應用數(shù)學知識的信心、從數(shù)學的角度提出問題與思考問題的意識以及拓展數(shù)學知識應用領(lǐng)域的創(chuàng)新意識。也有的認為，數(shù)學活動經(jīng)驗是學生從經(jīng)歷的數(shù)學活動過程中獲得的感受、體驗、領(lǐng)悟以及由此獲得的數(shù)學知識、技能、情感與觀念等內(nèi)容組成的有機組合性經(jīng)驗。

2.數(shù)學活動經(jīng)驗的分類

由于對經(jīng)驗的理解和對經(jīng)驗分類的角度不同，對數(shù)學活動經(jīng)驗如何分類也存在比較大的分歧。目前，有較大影響的主要是以下五種觀點：

（1）根據(jù)所從事的數(shù)學活動的不同形式，數(shù)學活動經(jīng)驗大體上可以分為四種不同的類型。①直接數(shù)學活動經(jīng)驗，直接聯(lián)系日常生活經(jīng)驗的數(shù)學活動所獲得的經(jīng)驗；②間接數(shù)學活動經(jīng)驗，創(chuàng)設實際情境構(gòu)建數(shù)學模型所獲得的經(jīng)驗；③專門設計的數(shù)學活動經(jīng)驗 ，由純粹的數(shù)學活動所獲得的經(jīng)驗；④意境聯(lián)結(jié)性數(shù)學活動經(jīng)驗，通過實際情境意境的溝通，借助想象體驗數(shù)學概念和數(shù)學思想的本質(zhì)。

（2）根據(jù)是否便于操作，有的學者把經(jīng)驗分為兩類：感性經(jīng)驗和邏輯經(jīng)驗。感性經(jīng)驗也依賴思考，但更多的是依賴觀察；邏輯經(jīng)驗也依賴觀察，但更多的是依賴思考。

（3）按照學生參與數(shù)學活動的類型特別是行為操作與思維操作的不同將數(shù)學活動經(jīng)驗分成行為操作的經(jīng)驗、探究的經(jīng)驗、數(shù)學思維的經(jīng)驗 （不借助外在的實在物體而依據(jù)思維材料進行數(shù)學思維操作活動而獲得的經(jīng)驗）和綜合運用數(shù)學知識進行問題解決的經(jīng)驗（包括發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的經(jīng)驗等等）。

（4）根據(jù) 《全日制義務教育數(shù)學課程標準 （2011年版）》中課程目標 “四基”的定位，希望學生獲得必要的數(shù)學知識和技能之外，還能感悟數(shù)學的基本思想，積累數(shù)學思維活動和實踐活動的經(jīng)驗。 “實踐的經(jīng)驗”主要是從外部世界抽象出數(shù)學、將形式化數(shù)學用于外部現(xiàn)實中獲得的經(jīng)驗，包括設計、規(guī)劃、組織、協(xié)調(diào)等的經(jīng)驗。 “思維的經(jīng)驗”主要是進行數(shù)學符號化過程中獲得的經(jīng)驗，日常學習學生主要獲得“思維的經(jīng)驗”。

（5）根據(jù) “數(shù)學活動經(jīng)驗是數(shù)學活動的下位概念”，提出數(shù)學活動經(jīng)驗是通過數(shù)學活動所積累的經(jīng)驗。并指出在數(shù)學學習過程中，數(shù)學活動經(jīng)驗主要包括操作活動經(jīng)驗、思維活動經(jīng)驗和實踐活動經(jīng)驗等。

3.數(shù)學活動經(jīng)驗的教學策略

黃翔先生等較全面地提出了使學生獲得數(shù)學活動經(jīng)驗的策略或途徑：①設計一個好的數(shù)學活動：能為學生提供良好的學習環(huán)境和問題情境，并且是每一個學生都能進行的；能為學生獲得更多的活動經(jīng)驗提供廣闊的探索空間；能充分體現(xiàn)數(shù)學的本質(zhì)；能使學生積極參與，充分交流。②重視過程性目標在課堂教學中的落實。③發(fā)掘 “做數(shù)學” 的課堂教育價值。④數(shù)學活動經(jīng)驗重點在積累，也需要通過一定的教學手段予以提升，在課堂教學中應特別注意三個方面：通過恰當?shù)慕虒W措施促使學生對概念、命題、原理等的感性認識上升到一定的理性認識；處理好活動過程與活動結(jié)果的關(guān)系；處理好問題化、情境化與知識系統(tǒng)性的關(guān)系。⑤努力開發(fā)對數(shù)學活動經(jīng)驗的評價手段與方式。

有的深入到數(shù)學活動經(jīng)驗的教學過程，提出了有利于學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗的六條教學策略：

（1）數(shù)學活動動機激發(fā)策略； （2）數(shù)學活動經(jīng)驗生成策略； （3）數(shù)學活動經(jīng)驗系統(tǒng)化實現(xiàn)策略；（4）數(shù)學活動經(jīng)驗層次轉(zhuǎn)化策略； （5）數(shù)學活動經(jīng)驗拓展策略； （6）數(shù)學活動經(jīng)驗優(yōu)化策略。

聶艷軍從教材的視角，提出引導學生積累、豐富和發(fā)展數(shù)學活動經(jīng)驗的策略：①展開知識的產(chǎn)生、形成與發(fā)展的過程，引導學生積累不同活動階段的經(jīng)驗內(nèi)容：主要包括創(chuàng)設數(shù)學活動情境，引導學生在感受知識產(chǎn)生背景中獲得直接體驗；提供 “做”數(shù)學和“思考”的活動，引導學生在經(jīng)歷知識形成中積累數(shù)學活動經(jīng)驗；重視比較反思，引導學生在活動勾連中提升數(shù)學活動經(jīng)驗。②編排專題性內(nèi)容，引導學生積累專門設計的數(shù)學活動經(jīng)驗。

二、數(shù)學思維的相關(guān)研究

數(shù)學思維一直是數(shù)學教育研究的重要內(nèi)容。學者從數(shù)學思維的定義、結(jié)構(gòu)、特征、品質(zhì)等基本問題入手，對學生數(shù)學思維能力的形成、培養(yǎng)和發(fā)展，進行了廣泛深入的探討。

1.數(shù)學思維的含義

在現(xiàn)代心理學中，思維是人腦對客觀現(xiàn)實概括的和間接的反映，反映的是事物的本質(zhì)與內(nèi)部規(guī)律性。數(shù)學思維是針對數(shù)學活動而言的，包括一般思維所具有的本質(zhì)，又具有不同于一般思維的特性，這種特性是由數(shù)學學科本身的特點所決定的。

國內(nèi)關(guān)于數(shù)學思維的研究具有較強的方法論色彩，并在很大程度上是一種規(guī)范性的研究；而國外的研究則與心理學 （特別是數(shù)學學習心理學）的研究有著更為密切的聯(lián)系，也即更加注意對于實際數(shù)學思維過程的深入考察。

在我國數(shù)學教育界，有如下一些觀點：王仲春教授提出，數(shù)學思維是指人類關(guān)于數(shù)學對象的理性認識過程，包括應用數(shù)學工具解決各種實際問題的思考過程。王梓坤院士在其 《今日數(shù)學及其應用》一文中提出： “當代數(shù)學思維是一種定量思維?？傊?，數(shù)學思維是針對數(shù)學活動而言的，通過對數(shù)學問題的提出、分析、解決、應用和推廣等一系列工作，獲得對數(shù)學對象的本質(zhì)和規(guī)律性的認識過程。這個過程是人腦的意識對數(shù)學對象接收、分析、選擇、加工與整合?！蓖鯌棽?《數(shù)學思維方法》中指出：通常意義上，數(shù)學思維就是在數(shù)學活動中的思維。準確地說，數(shù)學思維是人腦在和數(shù)學對象交互作用的過程中，用特殊的數(shù)學符號語言以抽象和概括為特點，客觀事物按照自身的形式或者規(guī)律做出的間接概括的反映。也有學者認為，數(shù)學思維是客觀世界的純粹的量的本質(zhì)屬性、相互關(guān)系及其內(nèi)在規(guī)律性在人的頭腦中概括的和間接的反映。

雖然學者關(guān)于數(shù)學思維定義的描述各有差異，但研究過程中大多注意到了一般思維的本質(zhì)及數(shù)學學科的特點：數(shù)學思維是人類所特有的，區(qū)別于其他學科的思維形式，數(shù)學思維具有目的性等，是對思維過程的認識有所差異。

2.數(shù)學思維的類型

學者們從不同的角度，對數(shù)學思維的類型開展了相關(guān)研究。

從數(shù)學思維基本成分角度，把數(shù)學思維分為具體形象思維、抽象邏輯思維與素樸的直覺思維三種，它們分屬于三種不同層次的思維。形象思維是人類的基本思維形式之一，它是一種以客觀形象為思維對象，以聯(lián)想為主要思維工具、以指導創(chuàng)造 “物化形象”的實踐為主要目的的思維活動；數(shù)學邏輯思維是數(shù)學思維最基本的形式，它以反映客觀事物數(shù)學本質(zhì)屬性的概念為思維材料，在數(shù)學概念的基礎(chǔ)上，通過一定的邏輯法則進行推理，定義新概念，形成定理、原理。數(shù)學邏輯思維又包含形式邏輯思維和辯證邏輯思維；數(shù)學直覺思維是人腦對數(shù)學對象及其結(jié)構(gòu)的一種迅速的識別、直接的理解、綜合的判斷，是數(shù)學的洞察力。

從數(shù)學思維方式的角度，把數(shù)學思維分為集中思維和發(fā)散思維、抽象思維和形象思維、分析思維和直覺思維。

從數(shù)學思維方法的角度，把數(shù)學思維分為類化思維、配對思維、函數(shù)思維、空間思維、程序思維、整體思維、極端思維和構(gòu)造思維等。

3.關(guān)于數(shù)學思維教學的研究

目前，關(guān)于數(shù)學思維教學研究的著作很少，大部分只是對思維的研究；即使是在一些關(guān)于數(shù)學思維研究的書籍中，絕大多數(shù)也是針對中學數(shù)學知識的。在極少數(shù)研究小學數(shù)學思維的書籍中，也是專家在做小學數(shù)學思維的宏觀研究。對于一線的小學數(shù)學教師來說，自身理解起來都有困難，就不可能把書中對小學數(shù)學思維的研究很好地滲透在自己的教學中。如鄭毓信著的 《數(shù)學思維與小學數(shù)學》是針對小學數(shù)學知識來研究數(shù)學思維的，該書分為三大部分：第一部分走向數(shù)學思維；第二部分概念性數(shù)學思維與問題性數(shù)學思維；第三部分從 “數(shù)學地思維”到 “通過數(shù)學學會思維”。能查到的關(guān)于小學數(shù)學思維的期刊文章也都籠統(tǒng)地以小學數(shù)學知識為載體，來說思維能力培養(yǎng)。而沒有真正針對小學階段應培養(yǎng)哪些數(shù)學思維來闡述。

三、數(shù)學思維活動經(jīng)驗的相關(guān)研究

1.含義及分類

數(shù)學思維活動經(jīng)驗是隨著數(shù)學活動經(jīng)驗的研究深入而提出的概念，專門論述數(shù)學思維活動經(jīng)驗的資料比較少，只是散見于數(shù)學活動經(jīng)驗的相關(guān)論述中。

蘇明強認為數(shù)學基本活動經(jīng)驗是在基本數(shù)學活動過程中所積累的最為重要、最為根本的活動經(jīng)驗，數(shù)學基本活動經(jīng)驗應該屬于思維活動經(jīng)驗。并進一步從數(shù)學學習的角度把數(shù)學基本活動經(jīng)驗 （這里即指數(shù)學思維活動經(jīng)驗）分為抽象的經(jīng)驗、歸納的經(jīng)驗、演繹的經(jīng)驗：“抽象的經(jīng)驗”是指經(jīng)歷具體事物或問題情境數(shù)學化的思維活動過程所積累的體驗和形成的認識， “歸納的經(jīng)驗”是指經(jīng)歷從特殊到一般的思維活動過程所積累的體驗和形成的認識， “演繹的經(jīng)驗”是指經(jīng)歷從一般到特殊的思維活動過程所積累的體驗和形成的認識。

王林等認為：只要是依據(jù)思維材料而不借助任何直觀材料進行數(shù)學思維操作的數(shù)學活動而獲得的經(jīng)驗，都可以理解成數(shù)學思維的經(jīng)驗。并根據(jù)學生數(shù)學學習特有的思維活動 （歸納的活動、數(shù)據(jù)分析的活動、類比的活動、推理的活動等）分為歸納的經(jīng)驗、數(shù)據(jù)分析的經(jīng)驗、類比的經(jīng)驗、推理的經(jīng)驗等思維的經(jīng)驗。

在可查資料中，專門論述 “數(shù)學思維活動經(jīng)驗”的只有兩個：范新林將 “思維經(jīng)驗”定義為在思維活動過程中所獲得的那些最直接、最樸素的感性認識。筆者在 《數(shù)學思維活動經(jīng)驗及教學策略》一文中從數(shù)學思維的定義出發(fā)，提出數(shù)學思維活動經(jīng)驗就是以空間形式和數(shù)量關(guān)系為思維對象，借助數(shù)學語言和符號在感悟歸納推理和演繹推理、發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識和規(guī)律、解決數(shù)學問題的過程中，只依據(jù)思維材料進行數(shù)學思維操作活動所獲得的經(jīng)驗。并從數(shù)學思維能力的角度把數(shù)學思維活動經(jīng)驗分為了三類：即邏輯推理能力、空間想象能力以及問題解決的能力。

2.教學策略

關(guān)于數(shù)學思維活動經(jīng)驗的教學策略，在可考材料中更是少之又少。浙江特級教師范新林從思維經(jīng)驗的特質(zhì)——認知體驗是原生態(tài)、碎片化的出發(fā)，提出兩條教學策略：反思——“思維經(jīng)驗”的點狀積累；鏈接——“思維經(jīng)驗”的線狀積累。此外，在同期雜志還刊發(fā)了范新林團隊從案例的角度闡述的相關(guān)教學策略。

筆者則在 《數(shù)學思維活動經(jīng)驗及教學策略》中從數(shù)學思維活動經(jīng)驗的類型出發(fā)提出相應的教學策略：在經(jīng)歷歸納與演繹活動過程中積累邏輯推理的活動經(jīng)驗；在經(jīng)歷直觀與抽象變換的過程中積累空間想象活動經(jīng)驗；在經(jīng)歷解決實際問題的過程中積累問題解決的活動經(jīng)驗。

四、數(shù)學思維活動經(jīng)驗的研究展望

1.相關(guān)概念的界定

某個問題的深入研究總是以概念的清晰界定為基礎(chǔ)。 “數(shù)學思維活動經(jīng)驗”涉及的核心概念 “數(shù)學思維” “數(shù)學活動經(jīng)驗”都是較為抽象的，而且當前都沒有統(tǒng)一的定論，在這兩個概念的基礎(chǔ)上生成的 “思維活動經(jīng)驗”就更為抽象和模糊。因此，進一步厘清這些概念的內(nèi)涵與外延是今后一段時間研究的重點。而避免從一些辭典或?qū)Ｖ猩嵊蔡祝龀鼍哂袝r代特征的個性化解讀則是研究的難點，特別是數(shù)學思維活動經(jīng)驗具體包括哪些，要有清晰的界定。

2.教學策略的總結(jié)

某個問題或?qū)ｎ}的研究不能停留在理論層面，而應以解決實際問題為追求。數(shù)學思維活動經(jīng)驗落實到實踐中最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)就是總結(jié)出相應的為一線教師所能接納、采用的教學策略。數(shù)學思維活動經(jīng)驗的教學策略應該是多維度的：可以從數(shù)學內(nèi)容領(lǐng)域出發(fā)，總結(jié)出 “數(shù)與代數(shù)” “圖形與幾何” “統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”各領(lǐng)域的數(shù)學思維活動經(jīng)驗形成策略；可以從思維成分的角度，總結(jié)出 “邏輯思維”活動經(jīng)驗、 “形象思維”活動經(jīng)驗、 “直覺思維” 活動經(jīng)驗形成的策略；也可以從思維品質(zhì)的角度，總結(jié)出 “整體與結(jié)構(gòu)” 活動經(jīng)驗、 “嚴謹與靈活” 活動經(jīng)驗、“批判與創(chuàng)造”活動經(jīng)驗的形成策略。

3.評價體系的構(gòu)建

教學評價既是課堂教學的出發(fā)點，又是衡量教學理論是否科學合理的依據(jù)。在教學理念、教學素材、教學措施等各種變量的影響下，數(shù)學思維活動經(jīng)驗能否達成，達成到何種程度，都需要一定的評價標準來衡量。因此，在后續(xù)的研究中，制定科學合理的評價體系也是數(shù)學思維活動經(jīng)驗的研究方向之一，而且也是該研究領(lǐng)域的難點所在。