方程
——讓學(xué)生如何說愛你

（溫州市甌海區(qū)南仙實(shí)驗(yàn)小學(xué) 浙江溫州 325000）

教學(xué)現(xiàn)狀:

題目:書店的圖書憑優(yōu)惠卡可打八折，小明用優(yōu)惠卡買了一套書，省了9.6元。這套書原價(jià)多少元？這是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)百分?jǐn)?shù)（二）單元第13頁中的練習(xí)3，當(dāng)時(shí)給學(xué)生們做這道練習(xí)，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤率比較高，但是列方程來解決這道題的同學(xué)幾乎都是對(duì)的，于是就采訪了一位做這題有困難的學(xué)生。

師：“這道題你的困難在哪里？”生：“我不知道怎么做？”師：“題目看不懂嗎？”生：“看得懂，但是還是想不出來。”師：“你為什么不嘗試用方程去做呢？”生：“方程太麻煩了，還要寫解設(shè)。”師：“那你能找到等量關(guān)系嗎？9.6元是怎么來的？生：“原來的價(jià)格減去現(xiàn)在的價(jià)格?！睅煟骸艾F(xiàn)在假設(shè)原價(jià)是x，你能把方程列出來了嗎？”生：“是不是x-80%x=9.6”師：“你看用方程不是很簡(jiǎn)單嗎？為什么你不喜歡用方程來解呢？”生：“簡(jiǎn)單的問題不想用方程，難的有時(shí)候想不出方程怎么列，有時(shí)候是列了方程不會(huì)解”

接著我也采訪了一位成績(jī)比較好的同學(xué)，但是這道題也出現(xiàn)了錯(cuò)誤，他寫的算式是9.6÷80%

師：“這道題你能用方程來解嗎？”生：“可以啊，x-80%x=9.6?！睅煟骸澳阍趺戳械媚敲纯彀。磕悄惝?dāng)時(shí)為什么不用方程來解呢？”生：“沒想到用方程，感覺算式更簡(jiǎn)單?！睅煟骸澳悄悻F(xiàn)在能列算式來解這道問題嗎？”生：“可以，9.6÷（1-80%）?！睅煟骸澳阌X得哪種方法簡(jiǎn)單呢？”生：“算式簡(jiǎn)單?！睅煟骸翱墒悄悴挥X得方程更容易理解嗎？”生：“可是現(xiàn)在會(huì)寫了還是覺得算式簡(jiǎn)單。”[1]

原因探究：

原因一:算術(shù)方法根深蒂固，方程思想滲透不夠

其實(shí)在五年級(jí)上冊(cè)教學(xué)簡(jiǎn)易方程時(shí)，很多老師就會(huì)發(fā)現(xiàn)怎么學(xué)生對(duì)解決問題就是不喜歡用方程呢，而且很多學(xué)生在要求用方程來解決問題時(shí)，都是先用算術(shù)方法把算式是寫出來，再把它寫成方程。例如：小明看一本書300頁，看了一些后，還剩下120頁，小明看了多少頁？學(xué)生們會(huì)把方程列成300-120=x，因?yàn)檫@就是他們平時(shí)做這道題時(shí)的正常思維方式。也是之前我們老師教給他們的解題方法，看了多少頁就等于=原來的-還剩下的。在之前的四年學(xué)習(xí)里面，我們老師都是教他們這樣的思維方法，但是突然到了五年級(jí)的這一天告訴學(xué)生們，你們要換一種方式去思考，那學(xué)生的接受度肯定是不夠高的，特別是對(duì)于學(xué)習(xí)比較薄弱的學(xué)生，已經(jīng)根深蒂固的思維方式要改變，其實(shí)換句話說，就是我們老師之前對(duì)方程思想滲透的不夠。

原因二：找不到關(guān)系式

在輔導(dǎo)學(xué)生用方程解決問題時(shí)，我最常聽到的就是學(xué)生說：“老師，我找不到關(guān)系式?！鄙踔劣袑W(xué)生會(huì)問：“老師，什么是等量關(guān)系?。俊痹诹蟹匠痰慕虒W(xué)中，我們最感到束手無策的是學(xué)生的方程問題列不出來，其關(guān)鍵題中的數(shù)量關(guān)系無法梳理，等量關(guān)系建立不出來。如“故宮的面積是72萬平方米，比天安門廣場(chǎng)面積的2倍少16萬平方米。天安門廣場(chǎng)的面積是多少萬平方米？”。我們老師認(rèn)為數(shù)量關(guān)系非常明確“天安門廣場(chǎng)的面積×2－16=72”，而有相當(dāng)部分的學(xué)生就是找不到，往往是列出“2X=72-16”這樣的方程，老師通過畫圖、比較，一題會(huì)了，換一題又錯(cuò)了，怎么辦？學(xué)生出現(xiàn)這樣的問題，一是教材的編寫有關(guān)，之前版本的教材對(duì)基本數(shù)量關(guān)系淡化，整套教材從一年級(jí)到六年級(jí)除了四則運(yùn)算的四個(gè)基本關(guān)系式、圖形的周長(zhǎng)面積和表面積體積的求積公式以外，只明確出現(xiàn)過“速度、時(shí)間、路程”“的三量關(guān)系，所以學(xué)生頭腦中的基本數(shù)量關(guān)系容量不足。二是學(xué)生從一到四年級(jí)接觸和學(xué)習(xí)的解決問題全部是算術(shù)思考方法，特別對(duì)“多加、少減”的方法根深蒂固，一時(shí)難以改變。這些問題存在，我們?cè)诹蟹匠探鉀Q問題的教學(xué)時(shí)，如何去解決？

原因三：會(huì)列不會(huì)解

在我們現(xiàn)行的教材（新課程實(shí)驗(yàn)人教版教材）中，在方程的學(xué)習(xí)過程中，沒有出現(xiàn)類似于“a-x=b，a-bx=c和a÷x=b，a÷bx=c”這樣的解方程，而在一些配套練習(xí)上，學(xué)生碰到了這類方程：如3.6－X＝0.7，很多的學(xué)生馬上做成：3.6－X＋3.6＝0.7+3.6，X=4.3．做完之后，學(xué)生又馬上發(fā)現(xiàn)不對(duì)．于是，很多人都說，老師，我們不會(huì)做。其中有一位學(xué)生卻說，這不是很簡(jiǎn)單嘛，3.6減去一個(gè)數(shù)等于0.7，那么，這個(gè)數(shù)就等于3.6-0.7，所以應(yīng)該這樣做，X＝3.6-0.7，X=2.9．經(jīng)她一說，很多學(xué)生都說，對(duì)呀，我們?cè)趺礇]想到呀，這不是我們以前常填括號(hào)里的未知數(shù)嗎？但是這樣的問題，在教材上是沒有出現(xiàn)的．也許也正是為了避免目前無法用等式的基本性質(zhì)來解的情況，所以認(rèn)為“以加可以代減，以乘可以代除”，有意將這類方程回避了，包括在列方程解決問題時(shí)，例題所出現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系和列出方程全部沒有呈現(xiàn)過。如果我們?cè)诮鉀Q方程時(shí)放棄了類似方程的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)就對(duì)這類方程的求解方法存在缺陷，可是，當(dāng)學(xué)生碰上了如3.6－X＝0.7的時(shí)候，我們又該怎么辦？是避而不談？在用方程解決簡(jiǎn)單的問題時(shí)學(xué)生也經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)，我們有意規(guī)避，那么他們?cè)诮鉀Q問題時(shí)為了考慮列出來的方程是否會(huì)解，常常會(huì)有意識(shí)的去放棄，一定要去選擇會(huì)求解的方程的等量關(guān)系去思考，也就失去了一種解決問題的思考思路。如果需要將這類方程的求解方法教給學(xué)生，怎么教？，是引導(dǎo)學(xué)生將它改成：0.7＋X＝3.6？那么像上面這樣引導(dǎo)學(xué)生去求解，正是他們小學(xué)一年級(jí)到現(xiàn)在所已經(jīng)具有的經(jīng)驗(yàn)解法，怕學(xué)生搞不清，很多的時(shí)候，我們阻止了學(xué)生這樣的解法。雖然與我們現(xiàn)在所提倡的解法有所違背，可是，這樣的解法是否可以用呢？如果我們用等式的性質(zhì)去組織學(xué)習(xí)，還是以3.6－X＝0.7為例，其過程那是相當(dāng)復(fù)雜：3.6－X+X＝0.7+X，0.7＋X＝3.6，0.7+X-0.7=3.6-0.7，X=2.9。這對(duì)于一些理解能力相對(duì)較弱的學(xué)生來說，無疑是更加增加了用方程解決問題的難度。同時(shí)，部分同學(xué)又與其他類型的方程出現(xiàn)混淆，無論什么題都會(huì)拿未知數(shù)消元。在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，我們有的老師是雙管齊下，用算術(shù)和等式性質(zhì)兩種思路都教，但實(shí)際效果還是讓人不滿意。

方法與策略：

策略一：解題思路多樣化

在之前的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）中，改變了小學(xué)二十幾年來一直用算術(shù)思路解方程的要求，而改變?yōu)橛么鷶?shù)方法解方程?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）明確提出了“理解等式的性質(zhì)，會(huì)用等式性質(zhì)解簡(jiǎn)單的方程，用方程解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題?！钡切W(xué)更多的題目使用算術(shù)法解決，利用四則運(yùn)算的護(hù)你關(guān)系解方程，學(xué)生更容易接受和掌握，而且不存在解方程部分題型不能解或不會(huì)解的情況。然而在《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）中大力倡導(dǎo)“用等式的性質(zhì)”解方程，摒棄用“數(shù)學(xué)關(guān)系”的方法解方程，顯然不符合小學(xué)生的實(shí)際。所以《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）中增加“結(jié)合簡(jiǎn)單的實(shí)際情境，了解等量關(guān)系，并能用字母表示”。將“理解等式的性質(zhì)”，改為“了解等式的性質(zhì)”；將“會(huì)用等式的性質(zhì)解簡(jiǎn)單的方程（如3x+2=5，2x-x=3）”。改為“能解簡(jiǎn)單的方程（如3x+2=5，2x-x=3）”。使一些目標(biāo)的表述更加準(zhǔn)確和完整，新教材更能從學(xué)生的實(shí)際學(xué)情出發(fā)，讓教師在教學(xué)方程時(shí)也不再受方法的束縛。小學(xué)方程教學(xué)，算術(shù)思路必須牢固掌握，代數(shù)思路也必須滲透，兩者結(jié)合。通過對(duì)比兩種方法，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩種方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)算式思想解方程的更深認(rèn)知，感受算術(shù)和代數(shù)的緊密聯(lián)系，同時(shí)還有效的借助代數(shù)思路，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)算式思路解方程的認(rèn)知，幫助學(xué)生解方程要死記硬背的難關(guān)。

策略二:數(shù)量關(guān)系的滲透

方程是什么？它是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的一種最基本的數(shù)學(xué)模型。解方程其實(shí)就是建模的過程，找數(shù)量關(guān)系就是建立模型的關(guān)鍵。而數(shù)量關(guān)系在之前的教材中似乎已經(jīng)被淡化，但是新教材又把數(shù)量關(guān)系拉回到它原來重要的位置。但是許多教師會(huì)忽略數(shù)量關(guān)系的重要性，曾經(jīng)聽過一位老師的一堂三年級(jí)下冊(cè)連乘問題的課，課上的例題是這樣的：超市一周賣出5箱保溫壺，每箱保溫壺12瓶，每個(gè)保溫壺45元，超市一周一共賣出多少保溫壺？學(xué)生列式：12x5x45，然后老師問：你是先算什么？生：我先算一共賣出了多少個(gè)保溫壺？師：為什么是12x5呢？生：因?yàn)橐幌?2個(gè)，有5個(gè)一箱，所以乘以5。師：然后你再算什么？生：我用保溫瓶的總數(shù)乘以一個(gè)保溫瓶的價(jià)格求出一共賣出多少元。其實(shí)在這里就涉及到了兩個(gè)數(shù)量關(guān)系式：份數(shù)x每份數(shù)=總數(shù)，數(shù)量x單價(jià)=總價(jià)，這些關(guān)系早在學(xué)生二年級(jí)的時(shí)候都已經(jīng)開始接觸，學(xué)生的回答已經(jīng)非常好了，他已經(jīng)找到了數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，可是在這時(shí)候課上老師就沒有點(diǎn)出數(shù)量關(guān)系式，我就在想：為什么老師不愿意在這里把數(shù)量關(guān)系式點(diǎn)出來呢？學(xué)生不是已經(jīng)說出來了，如果再總結(jié)下，是不是就能把這些關(guān)系在這節(jié)課做一個(gè)滲透呢？于是我就問上課的老師，我記得老師是這樣回答的：三年級(jí)的學(xué)生有必要讓他們知道數(shù)量關(guān)系嗎？可能這是很多低年級(jí)或是中段老師的想法，正因?yàn)槿绱嗽S多五六年級(jí)的學(xué)生可能知道怎么解題，也不會(huì)說數(shù)量關(guān)系。我們的學(xué)生很早開始就在接觸等量關(guān)系，比如被減數(shù)-減數(shù)=差，這就是等量關(guān)系，只是開始學(xué)生不知道何為等量關(guān)系。既然學(xué)生知道那為何我們得教師不能早一點(diǎn)滲透等量關(guān)系的思想呢?比如單價(jià)x數(shù)量=總價(jià)，對(duì)于低年級(jí)的學(xué)生其實(shí)他們也已經(jīng)擁有了購買東西的經(jīng)驗(yàn)，所以他們對(duì)這樣的數(shù)量關(guān)系已經(jīng)十分了解，只是我們老師總是害怕出示這樣的公式給他們。當(dāng)學(xué)生在接觸到這類問題時(shí)，教師就可以提出這樣的數(shù)量關(guān)系式，幫助他們建立單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)的模型關(guān)系。

策略三：體現(xiàn)方程的優(yōu)勢(shì)

學(xué)生不喜歡用方程還有很大一部分原因是找不到方程的優(yōu)勢(shì)。其實(shí)在小學(xué)階段讓學(xué)生體會(huì)方程的優(yōu)勢(shì)確實(shí)比較困難。因?yàn)槲覀兝}都是一些用算術(shù)法也能解決的問題，特別是逆向思維比較好的學(xué)生，對(duì)方程那是相當(dāng)?shù)绵椭员?。如何體現(xiàn)方程的優(yōu)勢(shì)？我想書上的例題只能讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何列方程，要體現(xiàn)方程的優(yōu)勢(shì)一定要做課外的拓展，我們可以利用對(duì)比分析的方法來向?qū)W生說明。例如可以用這樣的一組題目來進(jìn)行對(duì)比與分析：

（1） 甲數(shù)比乙數(shù)的1.5倍少2.5。甲數(shù)是6.5，乙數(shù)是多少?

（2） 甲數(shù)比乙數(shù)的1.5倍少2.5。乙數(shù)是6.5，甲數(shù)是多少?

我們可以先讓學(xué)生用算術(shù)方法來解這組題目，待學(xué)生完成后再去統(tǒng)計(jì)學(xué)生作業(yè)的對(duì)錯(cuò)情況。因?yàn)檫@是將一正一反兩道相關(guān)類型的題目擺在一起，互相受干擾，學(xué)生用算術(shù)方法解題，往往會(huì)出現(xiàn)這樣兩種錯(cuò)誤：（1）學(xué)生未分清一倍數(shù)是否已知，結(jié)果將兩道題弄混淆；這個(gè)問題，我們暫且不討論。（2）已經(jīng)判明“一倍數(shù)”是否已知，但在解第（1）題時(shí)出現(xiàn)大量的錯(cuò)誤。這時(shí)，教師可以將學(xué)生在用算術(shù)方法解第（1）題時(shí)可能出現(xiàn)的算式都例舉出來：1、6.5×1.5－2.5；2、6.5÷1.5－2.5；3、6.5×1.5＋2.5；4、6.5÷1.5＋2.5；5、（6.5－2.5）×1.5；6、（6.5－2.5）÷2.5；7、（6.5＋2.5）×1.5；8、（6.5＋2.5）÷1.5。這里一共會(huì)出現(xiàn)8個(gè)算式，但其中的7個(gè)都是錯(cuò)誤的，只有第8個(gè)是正確的。這就說明用算術(shù)方法解這類題目時(shí)，出錯(cuò)的概率非常大。反之，如果用方程來解，就不會(huì)出現(xiàn)這樣的情況了。

如果用方程解這一類題目，我們只需要列出一個(gè)等量關(guān)系式：甲 = 乙×1.5－2.5。然后再去判斷“一倍數(shù)”是否已知，如果“一倍數(shù)”是已知的，如第（2）題，那么就直接用上述式子計(jì)算：6.5×1.5－2.5 = 7.25，就得到最后的正確得數(shù)了；而如果“一倍數(shù)”是未知的，如第（1）題，那么就利用上述式子列出方程：1.5X－2.5= 6.5，然后解這個(gè)方程，得到X = 6，也就得到正確的答案了。如此看來，在用方程解這兩類題目的時(shí)候，解題思路是完全一致的，列出的算式或方程也是一樣的，只不過是一個(gè)是把問題擺在等式的右邊，而另一個(gè)將問題（未知數(shù)X）擺在了等式的左邊而已。這樣，學(xué)生只要將這一個(gè)數(shù)量關(guān)系式理解透了，那么解答這一類題目就駕輕就熟，輕而易舉了。而這正是用方程解題的優(yōu)勢(shì)之所在。