論正態(tài)分布的理論與應用價值

蘇德超

摘要：大量理論和實踐表明，概念論中正態(tài)分布的應用是最廣的。本文旨在對其研究過程、定義、特性和分類等進行分析，闡述其在機械、教育、醫(yī)學等方面的實際應用。

關鍵詞：正態(tài)分布 理論 應用價值

概率論，尤其是正態(tài)分布，是解決重要問題的方法，應用于人們生產生活的各個方面。正態(tài)分布可以對大量個體的特性統(tǒng)計分布，也可應用于解決現實生活問題。作為最常見的連續(xù)性隨機變量的分布，正態(tài)分布在其理論地位與實際應用中都具有重要價值。

一、正態(tài)分布性質及定義

1.正態(tài)分布概念與特性

正態(tài)分布又稱為高斯分布/常態(tài)分布，其曲線是兩邊低，中間高，兩側逐漸趨緩，左右對稱，曲線不與橫線相交。

若隨機變量X服從一個位置參數為μ、尺度參數為σ的概率分布，且其概率密度函數為：

正態(tài)分布曲線是一條關于x=μ對稱的鐘形曲線，其中，μ決定了圖形的中心，σ決定了分布的離散程度。σ越大，正態(tài)曲線越扁平；反之越陡峭。其特性如下：①集中性。正中央為曲線高峰，即均數，向兩側逐漸趨緩。②對稱性。曲線以中央為軸，左右對稱，兩端永遠不與橫軸相交。③均勻變動性。曲線由中央向左右兩側均勻下降。④正態(tài)分布有兩個參數，均數μ和標準差σ，可記作N（μ，σ）。μ決定正態(tài)曲線的中心位置；σ決定曲線的彎曲程度。σ越小，曲線越陡峭；σ越大，曲線越扁平。⑤μ變換。μ是正態(tài)分布的位置參數，描述其集中趨勢位置，且常對μ進行變換，曲線以X=μ為對稱軸，左右對稱。正態(tài)分布的均數、中位數、眾數相同，均等于μ。⑥3σ原則。P（μ-σ

2.標準正態(tài)分布

二、正態(tài)分布的實際應用

正態(tài)分布作為概率中的重要分布，在生產生活中很多隨機變量的概率分布都可以近似用正態(tài)分布來描述，主要體現在以下方面：

1.估計頻數分布

實際生活中，確定數據的均值與標準差，可以根據相應的公式估測任意范圍的頻數或比例。

2.制定參考值范圍，常用于醫(yī)學價值

醫(yī)學參考值范圍也稱醫(yī)學正常值范圍，制定時首先要確定足夠數量的“正常人”；其次，根據實驗所需選定合適的百分比，常用95%，多小于100%；再次，考慮確定醫(yī)學參考值范圍的因素，根據頻數分布表上各組的分布范圍確定，分布趨勢相近者合并，差異者分組；最后，根據指標的實際用途確定單側或雙側界值，如肺活量過低為異常，需要確定下限。常用計算方法有：正態(tài)分布法、對數正態(tài)分布法和百分位數法。

3.質量控制

實驗過程中，結果難免會存在一定的誤差，這些誤差近似服從正態(tài)分布，為了控制這一情況，需要確定上下臨界值，嚴格限制。

4.正態(tài)分布是許多統(tǒng)計方法的理論基礎

檢驗和回歸分析等多種統(tǒng)計方法均要求指標服從正態(tài)分布。許多統(tǒng)計方法對此雖然不做具體要求，但對應大樣本是以正態(tài)分布為理論基礎的，如t分布都是在正態(tài)分布的基礎上推導出來的。

主要內涵如下：①整體論。正態(tài)分布表明，其曲線和面積分布圖包括三個區(qū)（基區(qū)、負區(qū)、正區(qū)），要從整體到個體，整體看待事物。②重點論。根據正態(tài)分布的曲線及面積分布圖，確定次重點，基區(qū)占68.27%，需重點關注。③發(fā)展論。正態(tài)分布曲線面積兩側趨于平緩，中間突出，經歷了負區(qū)—基區(qū)—正區(qū)的過程，這一問題告訴我們事物是不斷發(fā)展、漸進的過程，要不斷適應。④教育統(tǒng)計學。學生的智力水平近似服從正態(tài)分布，“中間高、兩頭低”根據這一特點，進行教學評價和考試題質量評價，將成績分布圖與μ和σ相同的正態(tài)分布曲線加以比較，學生成績應服從正態(tài)分布，且μ=75，σ=5，考試則達到教學要求。

（作者單位：山東省新泰市第一中學）