實(shí)施單元整體復(fù)習(xí)　促進(jìn)數(shù)學(xué)思維生長(zhǎng)

徐秋云

[摘? ?要]在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，復(fù)習(xí)是很重要的一環(huán).只有做好復(fù)習(xí)工作才能真正做到溫故而知新。實(shí)施單元整體復(fù)習(xí)，可以有效地讓學(xué)生掌握本單元核心內(nèi)容，驅(qū)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的生長(zhǎng).

[關(guān)鍵詞]單元整體復(fù)習(xí);數(shù)學(xué)思維 ;初中數(shù)學(xué)

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2018）35-0016-02

單元整體復(fù)習(xí)就是指以一個(gè)單元為基本單位，根據(jù)本單元的學(xué)習(xí)要求，利用各種教學(xué)策略對(duì)本單元的知識(shí)進(jìn)行整合，讓學(xué)生對(duì)這一部分知識(shí)有一個(gè)更完整與深刻的認(rèn)識(shí).設(shè)計(jì)單元整體復(fù)習(xí)可以系統(tǒng)地對(duì)整個(gè)單元的知識(shí)進(jìn)行整合，讓學(xué)生在回顧思考的過(guò)程中有新的收獲，在知識(shí)不斷發(fā)展的過(guò)程中數(shù)學(xué)思維得到鍛煉，能力得到提高.

一、注重知識(shí)的形成過(guò)程，促進(jìn)思維生長(zhǎng)

例如，北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)教材中的《直角三角形的邊角關(guān)系》一章涉及三角函數(shù)和直角三角形邊角之間的關(guān)系.在教材中，我們經(jīng)常會(huì)看到一個(gè)圖形（由兩個(gè)直角三角形組合而成的圖形）而產(chǎn)生的各種數(shù)學(xué)問(wèn)題，它貫穿于這一章內(nèi)容的始終.在單元復(fù)習(xí)時(shí)，如何抓住這一重點(diǎn)，并發(fā)揮好這一重點(diǎn)的作用呢？對(duì)此，我做了一些復(fù)習(xí)整理.

首先，讓學(xué)生觀察最熟悉的兩個(gè)直角三角板，如圖1所示，然后思考兩個(gè)問(wèn)題：（1）如果已知BC和DE的邊長(zhǎng)，是否可以求出其他邊的長(zhǎng)度？（2）如果已知三角形的任意一條邊長(zhǎng)，是否可以求出其他邊的邊長(zhǎng)？這兩個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)意圖很明顯.學(xué)生對(duì)特殊的三角形和一些特殊的三角函數(shù)都有了一定的了解，所以給出三角形的一邊，就可以很容易地求出其他邊的邊長(zhǎng).在這里設(shè)計(jì)這些復(fù)習(xí)題目主要是為了讓學(xué)生掌握好基礎(chǔ)知識(shí)，為之后更深入的研究打好基礎(chǔ).最后，出示相關(guān)練習(xí)題.具體如下：

（1）如圖2，在三角形ABD中，已知∠A和∠BDC的度數(shù)，BC垂直于AD，①若給出了BC的長(zhǎng)度，試著求出其他各邊的邊長(zhǎng);②若知道了AB和BD的長(zhǎng)度，求出其他邊的長(zhǎng)度.

（2）如圖3，在三角形ABD中，已知∠A和∠BDC的度數(shù)，BC垂直于AD，這里的兩個(gè)問(wèn)題和上面的例題中一樣.

在上面的題目中，學(xué)生經(jīng)過(guò)初步觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)這幾個(gè)圖形都是由兩個(gè)特殊的三角形拼成的，結(jié)合所學(xué)知識(shí)和題目中所給的條件，學(xué)生就可以在特殊的三角形中求得邊長(zhǎng).在這種題目中可以讓學(xué)生感受到任何復(fù)雜的圖形都是由簡(jiǎn)單的圖形拼成的，解決復(fù)雜的問(wèn)題可以先把它簡(jiǎn)單化，放在簡(jiǎn)單的圖形中去看，這樣可以鍛煉學(xué)生的轉(zhuǎn)化思維，讓他們學(xué)會(huì)換個(gè)角度解決問(wèn)題.

（3）如圖4，在三角形ABD中，若已知[∠ A]和∠ BDC的度數(shù)，假設(shè)再給出BD或AB的長(zhǎng)度，試著求其他各邊的邊長(zhǎng).

這道題目是為了讓學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)散思維，可以在圖中添加一些輔助線從而構(gòu)造直角三角形，構(gòu)造完成后學(xué)生還是會(huì)發(fā)現(xiàn)這些圖形也是由兩個(gè)特殊的三角形拼成的，根據(jù)之前的練習(xí)和經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生解決這道題也不會(huì)有什么困難.這一道題就是根據(jù)上面一道題變化而來(lái)的，而解決這類題目的關(guān)鍵就是要通過(guò)計(jì)算求出兩個(gè)直角三角形的公共邊，根據(jù)這條公共邊與兩個(gè)三角形之間的聯(lián)系來(lái)求出其他的邊長(zhǎng).學(xué)生在解題的過(guò)程中，從看似兩個(gè)普通的三角形中可以發(fā)現(xiàn)這些三角形無(wú)論怎么變換都還是可以拆成兩個(gè)特殊的三角形.經(jīng)歷了這個(gè)過(guò)程，學(xué)生的思維過(guò)程可以進(jìn)一步得到發(fā)展.

（4）在圖4中，若給出了AD的長(zhǎng)度，可以求出其他邊的長(zhǎng)度嗎？

這和上題類似，也是首先要構(gòu)造直角三角形.學(xué)生雖然知道這些三角形都是由特殊的三角形組成的，但是他們也會(huì)意識(shí)到，題目中所給的條件并不能直接在所構(gòu)造的三角形中得到運(yùn)用，解決這類問(wèn)題的第一種方法就是找到公共邊，如果公共邊也解決不了，就需要用到設(shè)未知數(shù)，通過(guò)方程來(lái)求解.在解決這類問(wèn)題時(shí)，已知條件和隱含條件中都沒(méi)有直接給出任何一個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)，所以就需要換個(gè)方法.在同樣的一個(gè)圖形中，當(dāng)條件發(fā)生變化時(shí)，之前的方法可能不適用，就需要換一個(gè)解題思路.通過(guò)這樣的問(wèn)題，可以鍛煉學(xué)生的隨機(jī)應(yīng)變能力，讓他們學(xué)會(huì)一題多解，遇到問(wèn)題時(shí)及時(shí)找到最合適的方法.

（5）如果已知∠ A=27°，∠BDC = 40°，AD = 2，求出三角形其他邊的邊長(zhǎng).

在這道題目中，三角形經(jīng)過(guò)變換，把特殊的角度都變成了一般的角度，并且題目一般會(huì)提供所需的三角函數(shù)的值，最終還是通過(guò)構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題.像上面幾道題中的主題圖都是貫穿于整個(gè)單元的，分布于每一課時(shí)的內(nèi)容中.在平時(shí)教學(xué)中，教師很難有時(shí)間和精力把每一幅圖都展開(kāi)細(xì)細(xì)來(lái)講.在單元復(fù)習(xí)時(shí)，教師可圍繞本單元的主題圖做一些專門的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生首先從熟悉的三角板入手，之后再對(duì)三角形進(jìn)行一些特殊的變換.在不斷變化的過(guò)程中，學(xué)生需要思考如何解決各種可能出現(xiàn)的問(wèn)題，在思考的過(guò)程中逐漸加強(qiáng)思維能力.隨著主題圖的發(fā)展變化，學(xué)生的思維也會(huì)逐漸開(kāi)闊，從特殊問(wèn)題到一般問(wèn)題，解決問(wèn)題的方式也更加多樣，在知識(shí)發(fā)展的過(guò)程中逐漸養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣.

二、理解知識(shí)本質(zhì)，促進(jìn)思維發(fā)展

如《二次函數(shù)》，我們知道學(xué)習(xí)這一章的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)看函數(shù)圖像，函數(shù)圖像是研究二次函數(shù)的性質(zhì)、解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵.因此在進(jìn)行單元整體復(fù)習(xí)時(shí)一定要讓學(xué)生學(xué)會(huì)看圖、畫圖，能夠從題目中找到有用的信息，不斷提升數(shù)學(xué)思維.對(duì)于這一章，我做了如下的復(fù)習(xí)總結(jié).

我們畫函數(shù)圖像一般是采用描點(diǎn)法，描點(diǎn)法的步驟是列表、描點(diǎn)、連線.例如，畫y=x2的圖像.首先就要列表，當(dāng)x=-3時(shí)，y=9;x=-2時(shí)，y=4;x=-1時(shí)，y=1;x=0時(shí)，y=0;x=1時(shí)，y=1;x=2時(shí)，y=4;x=3時(shí)，y=9.之后就是描點(diǎn)、連線.在這里就有幾個(gè)問(wèn)題：（1）數(shù)學(xué)是怎么來(lái)的（2）點(diǎn)又是怎么來(lái)的？（3）線是怎么畫出來(lái)的？在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的過(guò)程中，學(xué)會(huì)畫圖是最基本的，只有會(huì)畫圖、識(shí)圖才能進(jìn)一步學(xué)習(xí).學(xué)生在單元整體復(fù)習(xí)時(shí)首先就要溫習(xí)畫圖方法，在畫圖的過(guò)程中，學(xué)生又會(huì)逐漸明白二次函數(shù)其實(shí)和方程是很像的，二次函數(shù)可以看成是方程，大部分方程都是有無(wú)數(shù)個(gè)解的，而這無(wú)數(shù)個(gè)解就是函數(shù)圖像上每一個(gè)橫、縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，一個(gè)數(shù)對(duì)是一個(gè)坐標(biāo)，一個(gè)坐標(biāo)確定一個(gè)點(diǎn)，而很多個(gè)點(diǎn)就會(huì)構(gòu)成函數(shù)圖像.表格其實(shí)就是方程無(wú)數(shù)個(gè)解中的一部分，列表格就是為了找到有序的實(shí)數(shù)對(duì)，找到函數(shù)上對(duì)應(yīng)的點(diǎn).而這個(gè)過(guò)程就是數(shù)形結(jié)合，由數(shù)到形的過(guò)程.由二次函數(shù)到方程，到方程的解，到有序數(shù)對(duì)，再到坐標(biāo)，最后到點(diǎn)和線.學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中，會(huì)理解數(shù)是如何轉(zhuǎn)化成“形”的，理解這二者的實(shí)質(zhì)，真正理解函數(shù)圖像的意義，從而利用圖像解決問(wèn)題.在這一過(guò)程中，學(xué)生會(huì)逐漸找到思維突破口，掌握正確的思維方法.

給出一個(gè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像，并且給出了零點(diǎn)，對(duì)稱軸和開(kāi)口方向等.設(shè)計(jì)以下幾個(gè)問(wèn)題：（1）求出方程ax2+bx+c=1的根;（2）求出不等式ax2+bx+c<-2的解集;（3）如果方程ax2+bx+c-k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.問(wèn)題（1）比較簡(jiǎn)單，學(xué)生可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法，并根據(jù)圖形中的信息找出函數(shù)的解析式，把函數(shù)和方程結(jié)合起來(lái)就可以找到答案.這里考查的是學(xué)生的識(shí)圖能力.將求方程的解看作是解函數(shù)圖像中已知的一個(gè)方程組的解.解方程組需要找到兩個(gè)方程的公共解，公共解就是函數(shù)圖像中的公共坐標(biāo).通過(guò)觀察，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)公共坐標(biāo)，把這兩點(diǎn)坐標(biāo)根據(jù)函數(shù)關(guān)系列出方程組，有了兩點(diǎn)坐標(biāo)求方程組的解就是比較容易的問(wèn)題了，找到了點(diǎn)的坐標(biāo)其實(shí)也就找到了方程的根.問(wèn)題（2）是解一個(gè)一元二次不等式.初中階段這方面的知識(shí)學(xué)習(xí)較少，學(xué)生解起來(lái)可能會(huì)存在很大的問(wèn)題，此時(shí)就應(yīng)該尋求別的方法.可以把這個(gè)不等式看成是拋物線低于某條直線的部分，通過(guò)函數(shù)圖像可以找出兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，從而判斷范圍.問(wèn)題（3）可以把這個(gè)方程拆成一個(gè)方程組，題目中的方程有兩個(gè)不相等的根，意思就是指方程組有兩組不同的解，此時(shí)回歸到函數(shù)中，就是指兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，通過(guò)函數(shù)圖像判斷k的值，這就完成了由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化.學(xué)生通過(guò)上面的幾個(gè)問(wèn)題完成了數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，掌握了數(shù)形結(jié)合思想.

“二次函數(shù)的圖像和解析式”是二次函數(shù)這一章節(jié)內(nèi)容的核心知識(shí)，也是解決各類實(shí)際問(wèn)題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵，學(xué)生只有真正理解了數(shù)與形之間的本質(zhì)聯(lián)系，才能更好地理解二次函數(shù)與方程之間的關(guān)系.在復(fù)習(xí)的過(guò)程中，我首先讓學(xué)生復(fù)習(xí)如何畫函數(shù)圖像，由數(shù)到形，再通過(guò)觀察圖像完成由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，從而讓學(xué)生真正理解“數(shù)”和“形”的本質(zhì).在理解的過(guò)程中，學(xué)生不斷學(xué)習(xí)突破，尋找新的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)，學(xué)生學(xué)會(huì)透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，思維深度也不斷加深，數(shù)學(xué)思維更加深刻.

數(shù)學(xué)是一門對(duì)學(xué)生思維能力要求較高的學(xué)科，學(xué)生的思維如果跟不上，在學(xué)習(xí)過(guò)程中就會(huì)感到很吃力.因此，在數(shù)學(xué)課堂上，教師要有目的地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的過(guò)程中，我們通過(guò)設(shè)計(jì)單元整體教學(xué)，讓學(xué)生對(duì)本單元的知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)整合，讓他們逐漸了解知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展的過(guò)程.在理解知識(shí)的過(guò)程中激發(fā)學(xué)生的思維，讓他們學(xué)會(huì)變式，真正理解問(wèn)題的本質(zhì).只有學(xué)生在整合知識(shí)和理解知識(shí)本質(zhì)的過(guò)程中不斷探索，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂才能真正達(dá)到復(fù)習(xí)的目的，學(xué)生也才能在復(fù)習(xí)的過(guò)程中不斷提高能力.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 顧大權(quán).設(shè)計(jì)單元整體復(fù)習(xí) 驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)思維生長(zhǎng)[J].教學(xué)月刊·中學(xué)版（教學(xué)參考），2018（4）：53-56.

[2]? 章鶯.問(wèn)題驅(qū)動(dòng)形式下函數(shù)解析式復(fù)習(xí)教學(xué)的實(shí)踐與研究[J].學(xué)園，2015（19）：77-79.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）