不等式的初等證法

廣西梧州市龍圩第一實(shí)驗(yàn)小學(xué) 紀(jì)柱欣

不等式初等證明是中學(xué)教學(xué)的一個(gè)非常重要的內(nèi)容，也是難點(diǎn)之一。在數(shù)量關(guān)系上，雖然不等式關(guān)系要比相等關(guān)系更加廣泛的存在于現(xiàn)實(shí)的世界里，但人們對(duì)于不等式的認(rèn)識(shí)要比方程要遲得多。直到17世紀(jì)以后，不等式的理論才逐漸發(fā)展起來(lái)，成為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的一個(gè)重要的組成部分。

同時(shí)在研究數(shù)學(xué)的不等式的初等證法過程中，不等式的初等證明問題需要多種方法的靈活運(yùn)用，也是各種思想方法的集中體現(xiàn)。在本文中，列舉了一些不等式的初等證法的常用方法、一些利用函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)凹凸性證明不等式的方法和利用一些著名不等式證明不等式的方法。希望通過這些方法的學(xué)習(xí)，我們可以很好的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的一些特點(diǎn)。從而開拓一下我們的數(shù)學(xué)視野，深化一下我們對(duì)不等式的初等證法的認(rèn)識(shí)，以便于可以站在更高的角度來(lái)研究數(shù)學(xué)不等式。

一、不等式的初等證法的常用方法

1. 比較法(作差法)

在比較法中，對(duì)通過兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b的作差(a-b)，變形（配方、通分、因式分解、和差化積、應(yīng)用已知定理、公式等等），再去判斷a與b差的符號(hào)（范圍：a-b＞ 0 ,a-b= 0 ,a-b＜ 0 ），來(lái)確定a與b大小關(guān)系的方法為作差比較法。

所以a＞b＞0,

又因?yàn)閍c＞bd，

即證ac＞bd。

2. 作商法

例2 已知a＞ 2c,c＜b,c＞ 0 ,b＞0證明：ab＞cb+c2.

證2ab＞cb+c,

化為ab-c2＞cd,

推出2ab-c＞cb，

即ab＞cb+c2.

3. 放縮法

在證題過程中，根據(jù)不等式的傳遞性，常采用舍棄一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）而使不等式的各項(xiàng)之和變?。ɑ蜃兇螅?，把和（或積）里的各項(xiàng)換以較大（或較?。┑臄?shù)，或在分式中擴(kuò)大（或縮?。┓质街械姆肿樱ɑ蚍帜福?，從而達(dá)到證明的目的，值得注意的是“放”、“縮”得當(dāng)，不要過頭。常用方法為：改變分子（分母）放縮法、拆補(bǔ)放縮法、編組放縮法、尋找“中介量”放縮法。

4. 數(shù)學(xué)歸納法

對(duì)于含有的n(n∈N)不等式，先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如n0=1)時(shí)，不等式成立。再去假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立。最后證明n=k+1時(shí)，不等式也成立。一般情況下，在證明第二步時(shí)候要充分利用n=k時(shí)不等式成立的條件，以n=k時(shí)的不等式為基礎(chǔ)，進(jìn)行合理放縮，不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，等一系列變換，證明n=k+1時(shí)，不等式也成立，從而證明不等式對(duì)n取第一個(gè)值以后的自然數(shù)都成立。

二、利用函數(shù)證明不等式的初等證法

1. 利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式

利用函數(shù)的單調(diào)性解決不等式問題時(shí)，根據(jù)所證不等式問題的具體情況，構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)，并將原問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，從函數(shù)的增減性進(jìn)行分析，從而解決所求的問題。

2. 利用函數(shù)凹凸性證明不等式

函數(shù)的凹凸性證明不等式，是通過構(gòu)造輔助函數(shù)f(x),求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，再結(jié)合其凹凸性利用定理的推論及定義的應(yīng)用進(jìn)行分析，從而解決所求的問題。

總之證明初等不等式時(shí)，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法；要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語(yǔ)言特點(diǎn)，從而使問題巧妙解決。