基于數(shù)軸折疊問題談學(xué)生數(shù)學(xué)思維提升

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐漸形成的具有綜合性、整體性和持久性的學(xué)科素養(yǎng)，反映了數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果能以常態(tài)數(shù)學(xué)習(xí)題，加以變式、挖掘、拓展和延伸，學(xué)生就能更加快速、深刻地理解、內(nèi)化和建構(gòu)知識，提升思考、解決問題的能力。本文以一道七年級數(shù)軸折疊問題為例，在“變”中求“實”，啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維。

一、一道常態(tài)習(xí)題引發(fā)的思考

題目：操作探究已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖1）

圖1

操作一：

（1）折疊紙面，使數(shù)字1表示的點與-1表示的點重合，此時中心點為0，則-3表示的點與_____表示的點重合；

操作二：

（2）折疊紙面，使-1表示的點與5表示的點重合，回答以下問題：

①此時的中心點是______，則10表示的點與數(shù)_____表示的點重合；

②若數(shù)軸上A、B兩點之間距離為15，(A在B的左側(cè))，且A、B兩點經(jīng)折疊后重合，求A、B兩點表示的數(shù)是多少?

這是七年級第一學(xué)期期中測試中的一道解答題，看似不難，但學(xué)生的得分率并不理想。具體得分率統(tǒng)計如表1。

表1

注：兩班學(xué)生均為48人。

對于操作一，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計學(xué)生的解題依據(jù)是：①題目已經(jīng)給出圖形，學(xué)生可根據(jù)中心點0直觀地找到-3的重合點；②部分學(xué)生想當(dāng)然認(rèn)為因已知-1和1重合，所以-3就和3重合。雖然得分情況尚可，但是學(xué)生分析問題的思考層面很低，沒有為進(jìn)一步解題做好思維鋪墊。

對于操作二中的問題①，因沒有理清操作一的解題思路，多數(shù)學(xué)生找不出中心點的改變，故得分率驟減；對于問題②中反向思考問題求解，學(xué)生的困難就更多了，得分人數(shù)寥寥。

面對七年級學(xué)生數(shù)軸問題探究瓶頸，如何滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想，有效運用核心知識與方法解題，引發(fā)了作者反思：能否用“變式”設(shè)計，打通解題困惑。

二、以變式尋求多維張力

1.鋪設(shè)問題引例，拓展思維廣度，培養(yǎng)問題概括能力。

引例：

（1）根據(jù)圖2中A、B、C三點的位置，請分別算出A到B，C的距離。并觀察你所計算的距離你有什么發(fā)現(xiàn)？

（2）再觀察數(shù)軸，求到點A的距離為4個單位長度的點表示的數(shù)是：

圖2

設(shè)計意圖：由淺入深，探究前引例梯度性鋪設(shè)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性。在學(xué)習(xí)并掌握了數(shù)軸知識后，學(xué)生能利用數(shù)軸這個工具，直觀地計算數(shù)軸上兩點間的距離。但本引例的出發(fā)點不止如此，它需要學(xué)生進(jìn)一步概括出數(shù)軸上計算任意兩數(shù)之間距離的簡化公式：“大數(shù)減去小數(shù)的方法”。引例2中已知一點和相距的距離，求出滿足條件的點表示的數(shù)。這是一個逆向思維過程，需要學(xué)生結(jié)合數(shù)軸中相反數(shù)和絕對值的意義解題。若脫離數(shù)軸這個直觀工具解題，則往往會出現(xiàn)漏解。因此本題的設(shè)計意圖在于通過基礎(chǔ)題的練習(xí)，讓學(xué)生初步感受問題解決時所滲透的一些數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想。

2.改變問題背景，挖掘思維深度，培養(yǎng)求同存異能力。

操作探究：已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖3），

折疊紙面一，使數(shù)1表示的點與數(shù)-1表示的點重合，則此時數(shù)-2表示的點與數(shù)______表示的點重合；思考：a表示的點與_____表示的點重合?

圖3

設(shè)計意圖：以“折疊數(shù)軸”這一動態(tài)操作，引導(dǎo)學(xué)生探究已知一對數(shù)重合怎樣尋找中心點。為了讓學(xué)生對解題思維有一個規(guī)律性的總結(jié)，追加設(shè)計思考：a表示的點與_____表示的點重合。用字母表示數(shù)，從直觀到抽象啟發(fā)學(xué)生歸納出當(dāng)中心點為數(shù)軸原點時折疊重合的兩數(shù)關(guān)系。此設(shè)計意為引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思考：當(dāng)中心點發(fā)生改變時，重合的兩數(shù)關(guān)系是否會改變，從而提高學(xué)生思維的深度。

3.改變折疊中點，提升思維高度，培養(yǎng)探索發(fā)散能力。

折疊紙面二：使數(shù)3表示的點與數(shù)-1表示的點重合，回答下列問題：

（1）數(shù)5表示的點與數(shù)______表示的點重合；

（2）思考：b表示的點與數(shù)______表示的點重合；

設(shè)計意圖：更換中心點再折疊數(shù)軸，此變式解題的思維高度明顯提升。解答時，學(xué)生需要歸納出：①找中心點的一般方法；②如何計算點與中心點的距離；③用字母表示數(shù)后，啟發(fā)學(xué)生歸納出當(dāng)中心點為任一點時折疊重合兩數(shù)的一般表達(dá)式。

4.互換條件結(jié)論，改變思維效度，培養(yǎng)逆向思維能力

折疊紙面三：使數(shù)3表示的點與數(shù)-1表示的點重合時，若數(shù)軸上有A、B兩點也重合，且A、B兩點之間的距離為10（A在B的左側(cè)），則A點表示的數(shù)為______，B點表示的數(shù)為______.

設(shè)計意圖：改變已知條件，由已知中心點和重合兩數(shù)的距離反向求解重合的兩數(shù)。訓(xùn)練學(xué)生逆向思維能力，應(yīng)用已知解題方法解答問題，從而提升學(xué)生思維效度。

5.由特殊到一般，改變思維密度，培養(yǎng)靈活概括能力。

折疊紙面四，使數(shù)3表示的點與數(shù)-1表示的點重合時，若數(shù)軸上有A、B兩點也重合，此時A、B兩點之間的距離為n（A在B的左側(cè)），則A點表示的數(shù)為______，B點表示的數(shù)為______.

設(shè)計意圖：變式四是變式三的進(jìn)一步提升。改變已知條件中重合兩數(shù)的距離為任意值，反向求解重合的兩數(shù)。此題要求學(xué)生在對解法的總結(jié)反思中，將結(jié)論一般化，培養(yǎng)靈活概括能力。

數(shù)軸上的折疊問題涉及初步數(shù)形結(jié)合、分類討論思想。通過層層遞進(jìn)的變式教學(xué)，學(xué)生從中整合了知識，落實了基礎(chǔ)，熟練了方法，學(xué)會了學(xué)習(xí)，培養(yǎng)了思維，提升了能力，完成舉一反三，大大提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

學(xué)習(xí)是一個漸進(jìn)過程，教學(xué)也是一種復(fù)雜藝術(shù)。教師需要不斷尋找知識的結(jié)合點與方法的生長點，通過多樣化的習(xí)題教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生深層次地思考數(shù)學(xué)問題，體驗豐富多彩的數(shù)學(xué)活動，感受多變的數(shù)學(xué)思維之美。