利用概念圖評價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力的策略探討

2000年4月，美國數(shù)學(xué)教師協(xié)會在頒布的《學(xué)校數(shù)學(xué)的原則與標(biāo)準(zhǔn)》中提出6項(xiàng)數(shù)學(xué)能力：數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、問題解決能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)交流能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力。這是教育界首次提出數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力，隨后數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力受到全球數(shù)學(xué)教育者的廣泛關(guān)注。學(xué)生數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力的培養(yǎng)成了數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)之一，學(xué)生的數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力也成了評價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)知識掌握情況的重要標(biāo)準(zhǔn)。

一、數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力與概念圖的關(guān)系

數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力是指將不同數(shù)學(xué)知識聯(lián)結(jié)起來的能力，即發(fā)現(xiàn)各數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)結(jié)的能力。具體表現(xiàn)為，能夠形成數(shù)學(xué)知識的脈絡(luò)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識在這個(gè)脈絡(luò)外的應(yīng)用，通俗地說，就是數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)觀念之間的聯(lián)系。這種關(guān)聯(lián)的內(nèi)涵與外延分別對應(yīng)內(nèi)部聯(lián)結(jié)和外部聯(lián)結(jié)：內(nèi)部聯(lián)結(jié)能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維方法的養(yǎng)成，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；外部的聯(lián)結(jié)能夠發(fā)展學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，強(qiáng)化數(shù)學(xué)的思維訓(xùn)練作用。

在20世紀(jì)60年代，美國康奈爾大學(xué)諾瓦克(Joseph D.Novak)教授等首次提出了概念圖 (concept map)這一概念。概念圖是一張表示概念和概念之間聯(lián)系的平面網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖（如圖1），以此呈現(xiàn)學(xué)生對概念、思想系統(tǒng)化的認(rèn)識。從形式上看，概念圖是將某一概念放在方框中，用連線將有關(guān)系的方框連接起來，再在連線上表明兩個(gè)概念之間的關(guān)系。

用概念圖來評價(jià)數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力的理論依據(jù)是Houghetal的概念圖研究方法，他提出通過統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)知識概念圖的節(jié)點(diǎn)和連線數(shù)即可評價(jià)數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力。概念圖是目前流行的一種對概念理解的評價(jià)工具，側(cè)重對數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)的考察。學(xué)生數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力的強(qiáng)弱直接影響概念圖的質(zhì)量，因此概念圖也可以作為一種評價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力的工具。

圖1 圓的概念圖

二、利用概念圖評價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力策略

一般來說，學(xué)生制作概念圖的過程有以下幾個(gè)步驟：①確定一個(gè)知識領(lǐng)域；②確定該領(lǐng)域中不同概念的層次結(jié)構(gòu)，選取一個(gè)關(guān)鍵概念；③判斷概念圖的縱向分層和橫向分布；④確定概念之間的意義關(guān)系，創(chuàng)建聯(lián)結(jié)并確定聯(lián)結(jié)詞；⑤隨著知識的積累，不斷擴(kuò)充和改進(jìn)概念圖。因?yàn)楦拍顖D要考察對領(lǐng)域內(nèi)眾多概念的理解和概念之間的關(guān)系，因此概念圖常常被用作考察學(xué)生對某一領(lǐng)域知識的理解。

利用概念圖評價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力最為常見的方法是讓學(xué)生在白紙上畫出某一數(shù)學(xué)知識領(lǐng)域的概念圖，然后對概念圖進(jìn)行評分，利用得分評價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力。常見的概念圖計(jì)分方式有三種：成分結(jié)構(gòu)評分法、相似度評價(jià)法和綜合評定法。簡單來說，成分結(jié)構(gòu)評定法是對概念圖的不同組成部分加權(quán)然后計(jì)算總分；相似度評價(jià)法是利用計(jì)算機(jī)比較學(xué)生概念圖和專家概念圖，同時(shí)也需人工評判整體結(jié)構(gòu)，并給出評價(jià)結(jié)果；綜合評定法則是結(jié)合前兩種評價(jià)法。

相似度評價(jià)法或綜合評定法這兩種評價(jià)方法受得分標(biāo)準(zhǔn)的制約較大，且難以評價(jià)概念圖的整體結(jié)構(gòu)，因此，從效率的角度和實(shí)施難度出發(fā)，本文更加推崇成分結(jié)構(gòu)評定法。成分結(jié)構(gòu)評定法有四個(gè)基本要素：關(guān)系、階層、交叉聯(lián)結(jié)和舉例。評分是基于這四個(gè)要素進(jìn)行加權(quán)計(jì)分，具體原則如下：

關(guān)系。是指兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的聯(lián)結(jié)關(guān)系，兩個(gè)節(jié)點(diǎn)聯(lián)結(jié)構(gòu)成一個(gè)命題，這個(gè)命題的結(jié)構(gòu)是：概念—聯(lián)結(jié)詞—概念，其中聯(lián)結(jié)詞是判斷這個(gè)命題是否有意義的關(guān)鍵。對于有意義且有效的命題通常計(jì)1分，無意義或錯誤的命題則計(jì)0分。

階層。概念圖中的概念排列應(yīng)該具有階層性，階層是指概念圖的縱向分層，從上至下是一個(gè)從一般到特殊的過程。由于概念圖中有效聯(lián)結(jié)的數(shù)量遠(yuǎn)超有效階層的數(shù)量，因此對每一個(gè)有效階層的計(jì)分應(yīng)該是有效聯(lián)結(jié)計(jì)分的3至10倍，即3至10分，通常計(jì)5分。若概念圖的橫向分布比較復(fù)雜，則選擇分支較多的一個(gè)框架來計(jì)算階層數(shù)。

交叉聯(lián)結(jié)。指某一概念階層的一部分與另一概念階層的其他部分（即與前者沒有上下關(guān)系）中概念的聯(lián)結(jié)關(guān)系，能夠顯示不同概念群間的關(guān)系。交叉聯(lián)結(jié)能夠表征學(xué)生的創(chuàng)造力，表示學(xué)生能突破一個(gè)概念群的束縛，往外尋找新的聯(lián)結(jié)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)兩個(gè)概念群之間的互相聯(lián)系。因此，對于交叉聯(lián)結(jié)的賦分要高于一般聯(lián)結(jié)和階層，獨(dú)特或具有創(chuàng)造力的交叉聯(lián)結(jié)可以給予特別的認(rèn)可和額外的加分，對于每一個(gè)重要的且有效的交叉聯(lián)結(jié)賦予10分，有效但不能清楚指出相互關(guān)系的交叉聯(lián)結(jié)賦予2分。

舉例。針對概念圖最底端的概念，即最特殊和具體的概念，要求學(xué)生舉出與教材上不同的且具有代表性的例子，以考察學(xué)生是否真正理解概念。有時(shí)，學(xué)生會根據(jù)機(jī)械記憶的結(jié)果舉例，對于這種例子通常只能計(jì)一分。但是若從學(xué)生舉出的例子中可以明顯看出學(xué)生對知識已經(jīng)融會貫通，對于這類例子可以賦予較高的分值，一般為5分。

根據(jù)上述計(jì)分原則，對學(xué)生繪制的概念圖逐項(xiàng)計(jì)分，各項(xiàng)分值求和即為總分，以此來評估學(xué)生的數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力，總分越高說明學(xué)生的數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力越強(qiáng)。

三、運(yùn)用概念圖評價(jià)學(xué)生聯(lián)結(jié)能力的實(shí)例探究

圖1是一張有關(guān)圓的概念圖。這張概念圖中一共有11個(gè)節(jié)點(diǎn)（概念）、22條聯(lián)結(jié)線和12個(gè)聯(lián)結(jié)詞。圖中的基本元素共構(gòu)成15個(gè)命題：圓有圓周，圓有半徑，圓有圓心，半徑的端點(diǎn)是圓心，圓心是直徑的中點(diǎn)，圓心到圓周上的兩個(gè)點(diǎn)距離相等，半徑是直徑的一半，直徑聯(lián)結(jié)圓周上的兩個(gè)點(diǎn)，半徑有長度，直徑有長度，半徑的長度是直徑的一半，圓周有長度（周長），周長與圓周率有關(guān)，直徑與圓周率有關(guān)，圓周率是周長與直徑之比，這些命題均為真命題，因此共計(jì)15分。按照概念的從屬關(guān)系，該概念圖應(yīng)該有4個(gè)階層：第一階層包含“圓”這一個(gè)概念；第二階層包含圓周、半徑、直徑、圓心、圓周上的兩個(gè)點(diǎn)，共五個(gè)概念；第三階層包含半徑長r、直徑長D，周長，共三個(gè)概念；第四階層包含圓周率，圓周長與直徑之比兩個(gè)概念。本文認(rèn)定每一個(gè)有效階層的計(jì)分為有效聯(lián)結(jié)分值的5倍，因此該概念圖階層劃分共計(jì)20分。圖中“圓周上的兩個(gè)點(diǎn)”的上級概念是“圓心”，但它與“直徑”通過聯(lián)結(jié)詞“聯(lián)結(jié)”構(gòu)成了一個(gè)真命題，因此可算作一個(gè)交叉聯(lián)結(jié)，同理命題直徑與圓周率存在數(shù)量關(guān)系亦可作為一個(gè)交叉聯(lián)結(jié)。此概念圖中共有兩個(gè)有效交叉聯(lián)結(jié)，依據(jù)其重要性，本文計(jì)其分別得分5分，共計(jì)10分。由于該概念圖并未對底層概念進(jìn)行舉例，因此舉例部分的得分為0。綜合關(guān)系、階層、交叉聯(lián)結(jié)、舉例四個(gè)部分的得分，此概念圖得分44分。由于成分結(jié)構(gòu)評定法并未設(shè)置得分上限，因此若運(yùn)用此方法對概念圖評分，得分越高越佳。

概念眾多是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)顯著特點(diǎn)，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，對概念的理解不應(yīng)該是片面的、獨(dú)立的，概念學(xué)習(xí)的最后一個(gè)環(huán)節(jié)應(yīng)該是將新概念與已經(jīng)掌握的概念聯(lián)系起來，形成一個(gè)知識網(wǎng)絡(luò)。概念圖作為評價(jià)數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力的重要工具，也應(yīng)該充分利用至數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的評價(jià)機(jī)制中。