移動(dòng)區(qū)域中的電場問題的研究

劉小妹，閆述濤

(中國傳媒大學(xué)理工學(xué)部，北京 100024)

1 引言

電磁推進(jìn)系統(tǒng)是以導(dǎo)軌和電樞為主要組成部分，通過對(duì)導(dǎo)軌兩端施加電壓，使導(dǎo)軌內(nèi)產(chǎn)生電流，在電流和導(dǎo)軌間磁場的共同作用下，進(jìn)而產(chǎn)生作用在電樞上的洛倫茲力，通過洛倫茲力對(duì)電樞的作用來加速拋體運(yùn)動(dòng)的裝置。移動(dòng)過程中，導(dǎo)軌與電樞接觸面隨時(shí)間變化，導(dǎo)致電場、電流也隨之變化。求解問題模型如圖1，其中最外層是空氣層，中間為兩條導(dǎo)軌，導(dǎo)軌中間是滑動(dòng)的電樞，在導(dǎo)軌兩端通電，由導(dǎo)軌與電樞構(gòu)成一個(gè)閉合回路。

2 理論模型

在求解區(qū)域中，我們將在兩個(gè)導(dǎo)軌上分別添加適當(dāng)電壓，我們通常給予150V和-150V的電壓，利用磁矢量A和標(biāo)量電位u表示的麥克斯韋方程來求解電場與磁場的分布。已知麥克斯韋方程的微分形式為

圖1 電磁軌道推進(jìn)系統(tǒng)模型

(1)

又有

D=εE，B=μH，J=σE

其中，H：磁場強(qiáng)度；J：電流密度；D：電位移；E：電場強(qiáng)度；B：磁感應(yīng)強(qiáng)度；ρ：自由電荷體密度；μ：磁導(dǎo)率；σ：電導(dǎo)率；ε：介電常數(shù)，這里我們忽略電位移的影響，將問題簡化為渦流方程，那么(1)式變?yōu)椋?/p>

(2)

因此，渦流場方程可以從(2)式中導(dǎo)出，選擇磁矢量A和標(biāo)量電位u組成的電磁位對(duì)，將含有運(yùn)動(dòng)電樞的麥克斯韋方程組變換為：

▽·(-(σ▽u))=0

(3)

(4)

(3)式和(4)式可以視作渦流場控制方程的統(tǒng)一形式。在圖1中，在導(dǎo)軌和電樞及導(dǎo)軌間的空氣中需要描述電場和磁場，因此(3)式和(4)都需要用到，而在最外空氣層中，只需描述磁場即可，因此我們只需要用到(3)式。

在忽略了電位移的影響下，問題中還涉及到邊界的問題，我們需要處理好在邊界上電場與磁場的條件，我們?cè)O(shè)在邊界上：

n×A=0

(5)

n·J=0

(6)

式中n為交界面的法向量。另外，為了保證磁矢量解的玩唯一性，我們還要滿足庫侖規(guī)范條件：

▽·A=0

(7)

滿足(3)、(4)式之后，我們還需考慮一個(gè)問題，電樞的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)瞬時(shí)問題，電樞隨著時(shí)間變化而移動(dòng)，我們需要確定電樞運(yùn)動(dòng)的軌跡。前面有文章采用的是主叢匹配法，這里，我們利用電導(dǎo)率的不同來確定電樞在導(dǎo)軌間的位置。在兩個(gè)導(dǎo)軌之間，存在著電樞和空氣，電樞和空氣的電導(dǎo)率是不同的，在模型中，電樞我們采用的是鋁，鋁的電導(dǎo)率為3.77×107(S/m)，而空氣的電導(dǎo)率為1.0(S/m)，我們通過在導(dǎo)軌間不同時(shí)間、不同位置電導(dǎo)率的不同，就可以很容易的判斷出不同時(shí)間下電樞的位置，我們?nèi)∪缦潞瘮?shù)表達(dá)式作為兩導(dǎo)軌之間相同時(shí)間下不同位置電導(dǎo)率：

σ=σ_air+σ_al*e-100*(|x-x0|>(L/2))*(|x-x0|-(L/2))

(8)

其中σ_air是空氣的電導(dǎo)率，σ_al是鋁的電導(dǎo)率，L是電樞的寬度，x是導(dǎo)軌間位置坐標(biāo)，x0是電樞的中心點(diǎn)坐標(biāo)。隨著時(shí)間的變化，坐標(biāo)產(chǎn)生變化，從而兩道軌之間不同位置電導(dǎo)率發(fā)生了變化，因此就可以確定電樞移動(dòng)的位置。

3 有限元分析

為了便于計(jì)算我們只考慮在導(dǎo)軌、電樞以及導(dǎo)軌之間的空氣中的電場問題，并且只需要考慮(3)式，因此為了便用于仿真模擬軟件的執(zhí)行，需要通過變分形式，取試探函數(shù)v(x)，我們將(3)式改寫成弱形式：

(-σ▽u，▽v)=0

(9)

并且在兩條導(dǎo)軌上，設(shè)置邊界條件為一條導(dǎo)軌上通入150V電壓，另一條導(dǎo)軌通入-150V的電壓。這樣，我們就可以對(duì)該模型進(jìn)行仿真模擬分析。

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

利用仿真模擬軟件對(duì)電磁軌道推進(jìn)系統(tǒng)進(jìn)行模擬，首先是對(duì)電場的動(dòng)態(tài)變化的分析，為了簡便運(yùn)算的復(fù)雜程度，我們?nèi)?dǎo)軌的長度為1，電樞的寬度L為0.04，電樞的中心x0=0.02，選擇讓電樞每個(gè)時(shí)間單位移動(dòng)半個(gè)電樞的長度，圖2、圖3為動(dòng)態(tài)模擬結(jié)果。

通過模擬結(jié)果，我們可以看出，隨著時(shí)間的推移，電壓隨著電樞變化而變化，導(dǎo)軌所在的位置即電壓達(dá)到的位置，并且在電樞初始未與導(dǎo)軌接觸時(shí)和電樞彈出時(shí)，整個(gè)導(dǎo)軌電壓達(dá)到頂端。同樣，電流也是隨著電樞的移動(dòng)而變化，在導(dǎo)軌上電流總是從高電壓流向低電壓，并且電樞處的電流相對(duì)于導(dǎo)軌上的電流較小，也同樣，在電樞初始狀態(tài)未與導(dǎo)軌接觸時(shí)和電樞彈出時(shí)，電流也隨之消失。

t=10s t=20s

t=30s t=40s圖2 電場隨時(shí)間變化圖

圖3 20s時(shí)電磁軌道電流分布

5 結(jié)論

本文是在將電磁推進(jìn)系統(tǒng)簡化的情況下對(duì)其電場、電流進(jìn)行理論分析、數(shù)值模擬。我們假設(shè)電樞在導(dǎo)軌間進(jìn)行勻速運(yùn)動(dòng)，這樣不僅可以簡化計(jì)算，而且可以更加直觀的通過仿真模擬軟件觀察電樞的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，更好的分析電磁推進(jìn)系統(tǒng)的電流及電場的變化情況。