基于共軛梯度法和全變差正則化的圖像復(fù)原

張彬，孫菁聰，王勝文

(中國(guó)傳媒大學(xué)理學(xué)院，北京 100024)

1 引言

圖像復(fù)原的目的是將原始圖像從觀察到的降晰圖像中恢復(fù)出來(lái)。實(shí)際的降晰函數(shù)可以看作一個(gè)低通濾波器，使得原始圖像的高頻成分受到抑制甚至喪失。這個(gè)降質(zhì)過(guò)程可以描述為如下的數(shù)學(xué)模型：

(1)

其中，f(x，y)為原圖像，g(x，y)為觀測(cè)到的退化圖像，t(x，y)為空間不變的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，n(x，y)為高斯白噪聲。對(duì)該模型離散化后，將離散退化圖像、離散源圖像和離散噪聲圖像分別按照列字典序依次排列，可得三個(gè)列向量g、f和n，它們滿足如下的線性方程組：

g=T·f+n

(2)

其中T是一個(gè)分塊Toeplitz矩陣。

一般來(lái)說(shuō)由于方程(2)是病態(tài)的，不能直接求解。因此必須添加一些先驗(yàn)約束以使問(wèn)題正則化。為了更好地保留圖像的細(xì)節(jié)信息，本文以圖像的全變差為約束項(xiàng)，求解下述泛函的極小化問(wèn)題

(3)

2 全變差函數(shù)的離散化和基于共軛梯度法的正則化復(fù)原算法

對(duì)于二元函數(shù)f(x，y)，其全變差TV(f)定義為

在單位正方形的水平區(qū)間內(nèi)插入nx個(gè)等分點(diǎn)，在豎直區(qū)間內(nèi)插入ny個(gè)等分點(diǎn)，于是有分點(diǎn)(xi，yj)，xi=i·Δx，yj=j·Δy，0≤i≤nx，0≤j≤ny，取f(x，y)在這些離散點(diǎn)的值得離散圖像

將上述圖像按列字典序排列，得向量f。

f=(f0，0f1，0…fnx，0f0，1f1，1…

fnx，1…f0，nyf1，ny…fnx，ny)T

為方便計(jì)算，可將面積元素ΔxΔy合并到正則化參數(shù)α中，于是Jβ(f)離散化為

利用方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，可以求得Jβ(f)的梯度。

則有

上述梯度計(jì)算可按照分塊Toeplitz矩陣與向量乘積的計(jì)算.

從(4)式可以得到Jβ(f)的梯度，把它用矩陣表示為

(5)

對(duì)基于全變差正則化的極小問(wèn)題

其梯度為T(mén)T·(T·f-g)+α·L(f)

從而該極小化問(wèn)題等價(jià)于求解線性方程組

(TT·T+α·L(f))·f=TT·g

(6)

利用共軛梯度法求解該線性方程組時(shí)，需要計(jì)算梯度向量(TT·T+α·L(f))·f-TT·g

其中T是分塊Toeplitz矩陣，TT·T·f，TT·g都可按分塊Toeplitz矩陣與向量乘積的方法來(lái)計(jì)算[1]，而L(f)·f主要是計(jì)算Dx·f和Dy·f，顯然它們滿足下面的關(guān)系

(7)

線性方程組(6)可用共軛梯度法CGM(conjugate gradient method)來(lái)求解。它僅需利用一階導(dǎo)數(shù)信息，克服了最速下降法收斂慢的缺點(diǎn)，又避免了牛頓法需要存儲(chǔ)和計(jì)算Hesse矩陣并求逆的缺點(diǎn)，是解決大型線性方程組最有用的方法之一[2]。共軛梯度法的求解步驟如下：

1、給定迭代精度0≤ε≤1和初始點(diǎn)f0，計(jì)算初始梯度g0=(TTT+αL(f0))·f0-TT·g，令k：=0

2、若‖gk‖≤ε，停止計(jì)算，輸出f*≈fk

3、計(jì)算搜索方向dk，

gk+1=(TTT+αL(fk+1))·fk+1-TT·g

5、令k：=k+1，轉(zhuǎn)步2.

3 仿真實(shí)驗(yàn)及數(shù)據(jù)分析

為方便計(jì)算，選取兩幅大小200×200的漢字“王”和“爺”的灰度圖像Wang和Ye，moonfcce圖像及rice圖像作為原始圖像。為了模擬因大氣湍流而導(dǎo)致的圖像模糊，選取高斯函數(shù)為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，并取高斯函數(shù)的方差為0.03，并給模糊圖像附加方差為10的白噪聲。

圖1的(a)、(d)、(g)、(j)為原始圖像，(b)、(e)、(h)、(k)為模糊圖像，(c)、(f)、(i)、(l)分別為以模糊圖像為迭代初始向量，利用共軛梯度法迭代500次而得的復(fù)原的結(jié)果。為了得到較好的復(fù)原效果，四幅復(fù)原圖像的正則化參數(shù)分別選取為0.000089，0.000065，0.000035和0.000065。

(a) (d) (g) (j)

(b) (e) (h) (k)

(c) (f) (i) (l)圖1 四幅源圖像、模糊圖像和復(fù)原圖像

對(duì)復(fù)原圖像的客觀評(píng)價(jià)一般采用無(wú)參考圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)方法。無(wú)參考圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)方法就是在沒(méi)有一個(gè)可以進(jìn)行參考和對(duì)比的原始圖像的情況下，得出一個(gè)與人類(lèi)視覺(jué)系統(tǒng)的視覺(jué)感知相一致的質(zhì)量分?jǐn)?shù)值的方法。近些年來(lái)，無(wú)參考圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)得到了越來(lái)越多的關(guān)注。常用的有灰度平均梯度(Gray Mean Grads，GMG)及拉普拉斯算子和(LS)。

灰度平均梯度是分別將圖像長(zhǎng)度和寬度方向上的相鄰像素灰度值的差求平方和再求均方根，它能較好的反映圖像的對(duì)比度和紋理變化特征，其值越大表示圖像越清晰，圖像質(zhì)量越好。

拉普拉斯算子和是對(duì)每一個(gè)像素點(diǎn)在 3×3 的鄰域內(nèi)采用拉普拉斯算子得到8鄰域微分值，然后在圖像范圍內(nèi)求和。一幅圖像越清晰，輪廓越鮮明，則每一個(gè)像素點(diǎn)附近的灰度值變化越大，LS值就越大。

灰度平均梯度值與拉普拉斯算子和雖然都不用參照原始圖像進(jìn)行計(jì)算，但它們的值對(duì)于不同目標(biāo)所成的不同圖像由于背景、對(duì)比度及紋理結(jié)構(gòu)等成像條件不一樣差別是很大的，不具有可比性，因此只能用于對(duì)相同目標(biāo)圖像質(zhì)量的比較，也可以用于比較對(duì)同一幅圖像經(jīng)過(guò)不同處理手段后的質(zhì)量以判斷處理方法的效果和有效性。

表1給出了上面四幅圖像分別經(jīng)過(guò)500次迭代后的GMG值LS值。

表1 各圖像在Tikhonov正則化復(fù)原，全變差復(fù)原循環(huán)預(yù)條件的GMG值和LS值Table 1 GMG and LS of images

從表1可以看出，全變差圖像復(fù)原的GMG值及LS值顯然比Tikhonov正則化復(fù)原的GMG值和LS值要大，即圖像的復(fù)原效果要比較好。