例談插空法解不相鄰問(wèn)題

趙碧波

【摘要】 排列組合問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn).本文針對(duì)插空法解決排列組合中的不相鄰問(wèn)題進(jìn)行了深入而細(xì)致的研究.讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)核心概念，數(shù)學(xué)思想方法，特殊技巧是相輔相成的，才能從本質(zhì)上理解“插空法”.

【關(guān)鍵詞】 插空法;樹(shù)形圖;數(shù)學(xué)本質(zhì)

不相鄰問(wèn)題是排列組合中常見(jiàn)的一種題型.但常見(jiàn)的問(wèn)題，不見(jiàn)得就簡(jiǎn)單.下面，通過(guò)具體的例題，體會(huì)從數(shù)學(xué)本質(zhì)上把握插空法精髓的重要性.

例1 ??電影院某排有7個(gè)座位連成一排，3人就座，若3人順序一定，且互不相鄰，則不同的坐法共有______種.

分析 ?這個(gè)具體的生活場(chǎng)景，學(xué)生（包括初學(xué)者）還是很好理解的.把7個(gè)座位，理解成7個(gè)相同的元素.由插空法可知：3人就座，需要占用3個(gè)座位，因此，還剩下4個(gè)座位形成5個(gè)空位，再將3個(gè)座位放入5個(gè)空位中的任意3個(gè)空位上，人再按序入座，即可.由于3人順序一定，由計(jì)數(shù)原理共有N=C3 5·1=10種.

下面看，一個(gè)類似地，但相對(duì)抽象的不相鄰問(wèn)題：

例2 ??從1，2，3，…，20這20個(gè)正整數(shù)中，取出3個(gè)互不相鄰的正整數(shù)，共有多少種不同的取法？

分析 ?這是一個(gè)不相鄰問(wèn)題，但不少學(xué)生不知所措.因?yàn)樗麄儗?duì)“不相鄰問(wèn)題，插空法”這句話的理解存在偏差.常停留在這句話的表面，認(rèn)為“放入”不相鄰元素是插空法，而沒(méi)有利用“一一對(duì)應(yīng)”的思維模式，“取出”不相鄰的元素，其實(shí)也是一種典型的插空法.為了使學(xué)生能夠形象地理解這個(gè)比較抽象的問(wèn)題.我們可以類比創(chuàng)造出形如例題1的具體情境.例如，將“1～20這20個(gè)正整數(shù)”理解成“電影院某排有20個(gè)座位連成一排”，“取出3個(gè)互不相鄰的元素”理解成“有3人按序且互不相鄰入座”，這種“一一對(duì)應(yīng)”的想法，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了合理的轉(zhuǎn)化，就豁然開(kāi)朗.因此，剩下的17個(gè)座位就有18個(gè)空位，選擇3個(gè)空位放入3個(gè)元素即可.因此，共有N=C3 ?18 =816種.

例3 ??集合A={1，2，3，…，2018}的12元子集B={a 1，a 2，…，a ?12 }中，任取兩個(gè)元素的差的絕對(duì)值不為1，這樣的12元子集B的個(gè)數(shù)為多少（用公式表達(dá)）？

分析 ?“任取兩個(gè)元素的差的絕對(duì)值不為1”等價(jià)于“任意兩個(gè)元素互不相鄰”，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成例題2的模式：從1，2，…，2018這2018個(gè)正整數(shù)中，取出12個(gè)互不相鄰的正整數(shù)，共有多少種不同的取法？

因此，共有N=C 12 ?2018-12+1 =C 12 ?2007 種.

例4 ??某次文藝匯演中有5個(gè)指定節(jié)目，其中歌曲2個(gè)，小品2個(gè)，舞蹈1個(gè)，規(guī)定表演時(shí)同一類型的節(jié)目都不連續(xù)演出，則這5個(gè)節(jié)目演出順序共有______種.

這是一道相鄰與不相鄰問(wèn)題的綜合題，屬于中檔題.許多中等偏下的學(xué)生，考慮不全，甚至無(wú)處下手.殊不知，畫(huà)樹(shù)形圖也是解決排列組合最基本、最有效的方法之一（但不少同學(xué)認(rèn)為這種方法不入眼，覺(jué)得是一種笨方法）.可事實(shí)并非如此.曾記否，以前文科的學(xué)生，解決排列組合的問(wèn)題都是“畫(huà)”出來(lái)的.

畫(huà)樹(shù)形圖前（追求簡(jiǎn)潔性），我們首先要進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象：分別把2個(gè)歌曲，2個(gè)小品，1個(gè)舞蹈用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)，如分別用a 1，a 2;b 1，b 2;c表示.再放手讓學(xué)生去畫(huà)，發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生“畫(huà)”出了正確結(jié)果.但花的時(shí)間比較長(zhǎng)，究其原因，本質(zhì)上，學(xué)生還是沒(méi)有掌握“畫(huà)”的技巧.不少學(xué)生畫(huà)的面面俱到，有的甚至畫(huà)錯(cuò).有如下5個(gè)位置，我們按照要求把5個(gè)節(jié)目“畫(huà)”好就行.

第一個(gè)位置的節(jié)目可以“畫(huà)”：a 1，a 2，b 1，b 2，c，這5個(gè)元素中的任意一個(gè)，但我們仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)放入a 1，a 2，b 1，b 2，中的每一個(gè)元素，后面畫(huà)的分支的總數(shù)，從數(shù)量上看是完全一樣的.因此，我們只需畫(huà)出a 1與c開(kāi)始的樹(shù)形圖即可.

如圖1所示，有（4×2+2）×4+4×2=48種.

方法2 ?直接法.

當(dāng)2個(gè)歌曲不相鄰時(shí)（此時(shí)，2個(gè)小品可以相鄰也可以不相鄰），有A3 3·A2 4=72種，而歌曲和小品都相鄰時(shí)，有 A2 2· A2 2·A2 3=24.因此，符合條件的有N=72-24=48種.

方法3 ?間接法.

“正難或正繁，則反”.用間接法處理，5個(gè)節(jié)目的全排列，減去歌曲、小品都相鄰的時(shí)候和歌曲、小品只有一類相鄰，另一類不相鄰的時(shí)候.則符合條件的有N=A5 5-A2 2· A2 2· A3 3-C1 2·A2 2·A2 2·A2 3=120-24-48=48種.

總結(jié)：通過(guò)上述4個(gè)例題的設(shè)置與分析，要使學(xué)生理解“插空法解決不相鄰問(wèn)題”的應(yīng)用方法，作為一線教師，就需要精心設(shè)計(jì)出具體而形象的問(wèn)題，通過(guò)具體問(wèn)題的解決，抽象問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與遷移，再結(jié)合具體的這類問(wèn)題的練習(xí)，使學(xué)生從數(shù)學(xué)本質(zhì)上理解插空法的精髓.

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉勝林.例談排列組合中的“不相鄰”問(wèn)題[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高一二版），2014（4）：35-37.

[2]樊友年.“插空法”應(yīng)用系列[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1995（1）：18-21.