Python在微積分實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用

徐明

【摘要】 Python語言具有強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算功能，將該語言引入到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)有重要意義.選取高等數(shù)學(xué)教材中的實(shí)例，通過Python語言分別實(shí)現(xiàn)了對函數(shù)求解微分和積分的實(shí)驗(yàn).結(jié)果表明，Python語言能夠用簡潔的命令語句求解各類常見的微分和積分.

【關(guān)鍵詞】 Python;數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);微分;積分

一、引 言

Python是一種解釋型、面向?qū)ο蟮母呒壋绦蛟O(shè)計(jì)語言.近年來，Python語言在數(shù)學(xué)建模和各類算法大賽中的應(yīng)用備受關(guān)注.與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)軟件MATLAB相比，MATLAB的大部分常用功能都可以在Python中找到相應(yīng)的擴(kuò)展庫（或模塊）來實(shí)現(xiàn).此外，用Python做科學(xué)計(jì)算有自身的優(yōu)勢 [1] ：一方面，MATLAB是一款商用軟件，且價(jià)格昂貴，而Python及其絕大多數(shù)擴(kuò)展庫則是完全免費(fèi)的.另一方面，相對于MATLAB等數(shù)學(xué)軟件，Python具有強(qiáng)大的網(wǎng)絡(luò)通信等功能，使開發(fā)者更容易實(shí)現(xiàn)完整的應(yīng)用程序開發(fā).鑒于Python語言強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算功能和廣闊的應(yīng)用前景，將Python引入到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)具有特殊的意義.下面僅從求解微分和積分方面介紹Python在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)方面的應(yīng)用.

二、相關(guān)實(shí)驗(yàn)

求解微分和積分是高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的基本內(nèi)容，也是進(jìn)行其他數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的重要基礎(chǔ) [2] .本實(shí)驗(yàn)分為兩部分：求解函數(shù)的微分（或?qū)?shù)）;求解函數(shù)的積分.實(shí)驗(yàn)的目的是掌握相關(guān)命令求解函數(shù)微分和積分.實(shí)驗(yàn)用到的例子均來自同濟(jì)大學(xué)編寫的《高等數(shù)學(xué)》 [3，4] 教材（第七版）.本實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)環(huán)境是Windows10+Python3.5，最主要的工具是Python中符號計(jì)算模塊SymPy.

（一）求解函數(shù)的微分或?qū)?shù)

求解函數(shù)的微分關(guān)鍵是求導(dǎo)運(yùn)算，因此，這里僅討論求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，它可以通過SymPy模塊中的命令diff來實(shí)現(xiàn).diff命令的基本語法是：diff（f，x，kwargs），其中f表示待求導(dǎo)的函數(shù)，x為函數(shù)的求導(dǎo)自變量，kwargs表示求導(dǎo)運(yùn)算的其他設(shè)置，如階數(shù)等.下面從求解單變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和多變量函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)兩方面進(jìn)行實(shí)驗(yàn).

先看diff命令用于單變量函數(shù)求導(dǎo)的例子.

例1 ??f（x）=x3+4cosx-sin π 2 ，求f′（x）及f′? π 2?Symboln@@

為了有效地調(diào)用相關(guān)命令，在程序開始時(shí)需先導(dǎo)入SymPy模塊.代碼如下：

from sympy import *

另外，在進(jìn)行符號運(yùn)算前還需先指定符號變量.代碼如下：

x=symbols（′x′）

接著，用diff命令求解f′（x），代碼如下：

diff（x**3+4*cos（x）-sin（pi/2），x）

輸出結(jié)果為：3*x**2-4*sin（x），

即f′（x）=3x2-4sinx.

最后，計(jì)算f′? π 2? ，代碼如下：

expr1=diff（x**3+4*cos（x）-sin（pi/2），x）

expr1.subs（x，pi/2）

輸出結(jié)果為：3*x**2-4*sin（x），

即f′? π 2? =-4+ 3π2 4 .

diff命令還可以用于對多變量函數(shù)求偏導(dǎo).

（二）求解函數(shù)的積分

求解函數(shù)的積分，可以使用SymPy模塊中的命令integrate，其基本語法是：integrate（f，x），或integrate（f，（x，a，b）），其中f表示待求積分的函數(shù)，x表示函數(shù)的自變量，a，b分別表示積分上下限.下面從求解一元函數(shù)的積分和多元函數(shù)的重積分兩方面進(jìn)行實(shí)驗(yàn).

先看求解一元積分的例子.

例2 ??分別計(jì)算不定積分∫e ?x ?dx和定積分∫1 0e ?x ?dx

先調(diào)入SymPy模塊，并指定符號變量.代碼為：

from sympy import*;x=symbols（′x′）

使用integrate命令求不定積分∫e ?x ?dx，代碼為：

integrate（exp（sqrt（x）），x）

輸出結(jié)果為：2*sqrt（x）*exp（sqrt（x））-2*exp（sqrt（x）），即 2 x e ?x ?-2e ?x ?.

使用integrate命令也可求定積分∫1 0e ?x ?dx，代碼為：

integrate（exp（sqrt（x）），（x，0，1））

輸出結(jié)果為：2.

另外，使用integrate命令也可以求反常積分.例如，計(jì)算反常積分∫ +∞ ?-∞ ?1 1+x2 dx，可使用命令integrate（1/（1+x**2），（x，-oo，oo）），其中，兩個(gè)o表示無窮.

重積分的計(jì)算比一元積分的計(jì)算往往要復(fù)雜得多，下面僅對求解二重積分進(jìn)行討論.

如果積分區(qū)域是矩形，重積分的計(jì)算與一般積分的計(jì)算類似，例如，求解

D xydσ，其中D是由直線

ySymbol}@@1，xSymbol}@@2以及兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的矩形區(qū)域.此時(shí)，可直接使用integrate命令求解積分為：integrate（x*y，（x，0，1），（y，0，2））.如果積分區(qū)域不是矩形，用integrate往往不能一次性地直接計(jì)算出結(jié)果，而需要將重積分轉(zhuǎn)化為累次積分再計(jì)算.

三、小 結(jié)

綜上可知，恰當(dāng)利用Python的相關(guān)模塊SymPy，能夠用簡潔的命令語句求解出常見的函數(shù)微分和積分.與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)軟件相比，Python目前在計(jì)算復(fù)雜積分方面的功能還不夠強(qiáng)大.但Python是純粹的免費(fèi)軟件，且在數(shù)值計(jì)算方面的能力仍在不斷提升.這里，對Python在微積分實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的應(yīng)用做了積極探索.可以看出，此類數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)除了有助于學(xué)生理解和應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識，對于學(xué)生領(lǐng)會Python語言本身的編程思想也有一定幫助.

【參考文獻(xiàn)】

[1]張若愚.Python科學(xué)計(jì)算[M].北京：清華大學(xué)出版社，2012.

[2]程村.微積分實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式研究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究：教研版，2015（21）：24-25.

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊）：第七版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[4]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊）：第七版[M].北京：高等教育出版社，2014.