探討高等數(shù)學(xué)中輔助函數(shù)的構(gòu)造方法

袁曉華

摘 要：輔助函數(shù)在高等數(shù)學(xué)的解題及理論證明中有著廣泛地運(yùn)用，若選擇適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)可以使解題或證明思路簡(jiǎn)潔，可以將一般問(wèn)題化為特殊問(wèn)題，將復(fù)雜問(wèn)題化為簡(jiǎn)單問(wèn)題。文章對(duì)高等數(shù)學(xué)中輔助函數(shù)的應(yīng)用做了一定的研究，闡述了輔助函數(shù)的構(gòu)造方法，從而為相關(guān)問(wèn)題的學(xué)習(xí)和研究提供參考。

關(guān)鍵詞：輔助函數(shù);構(gòu)造;中值定理

在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常運(yùn)用輔助函數(shù)，如何構(gòu)造輔助函數(shù)始終是一個(gè)難點(diǎn)，因此應(yīng)努力尋找一些構(gòu)造輔助函數(shù)的方法，使難的問(wèn)題化為比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)解決數(shù)學(xué)中的難題。另外，輔助函數(shù)到底在數(shù)學(xué)中有哪些應(yīng)用呢，為此，文章進(jìn)行了詳細(xì)的歸納和總結(jié)。結(jié)合例子，文章主要分析和介紹了輔助函數(shù)的構(gòu)造方法，這些方法有常數(shù)值法，原函數(shù)法，中值定理法，逆向思維法等，這些常用輔助函數(shù)的構(gòu)造方法，可為相關(guān)問(wèn)題的研究提供一定的借鑒和參考。

一、構(gòu)造輔助函數(shù)的方法

在解題的過(guò)程中若我們用好輔助函數(shù)，則能起到事半功倍的效果，文章主要通過(guò)具體事例來(lái)介紹構(gòu)造輔助函數(shù)的方法。

（一）常數(shù)值法

此法適用于常數(shù)已分離出的命題。構(gòu)造輔助函數(shù)可以分為三個(gè)步驟：

（1）將常數(shù)部分令作k;

（2）恒等變換使等式的一端為a及f（a）構(gòu)造成代數(shù)式，另一端為b及f（b）構(gòu)造成代數(shù)式;

（3）分析關(guān)于端點(diǎn)的表達(dá)式是否為對(duì)稱式或輪換對(duì)稱式，若是只要把端點(diǎn)a改寫(xiě)成x，相應(yīng)的函數(shù)值f（a）改寫(xiě)為f（x），則變量后的端點(diǎn)表達(dá)式就是所求的輔助函數(shù)F（x）。

例1.1 設(shè)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，試證：存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使等式=ξf′（ξ）+f（ξ）成立。

證明：令F（x）=xf（x）-，顯然F（x）在[a，b]上連續(xù)在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)。又設(shè)F（a）=F（b）=0，滿足羅爾定理，于是至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得F′（ξ）=0，即

ξf′（ξ）+f（ξ）-=0，

=ξf′（ξ）+f（ξ）。

（二）原函數(shù)法

在利用微分中值定理求解介值（或零點(diǎn)）問(wèn)題時(shí)，要證明的結(jié)論往往是某一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，因此可通過(guò)不定積分反求原函數(shù)作為輔助函數(shù)，其步驟可以總結(jié)為：

（1）將要證明結(jié)論中的ξ或（x0）轉(zhuǎn)化成x;

（2）通過(guò)恒等變換將結(jié)論轉(zhuǎn)化為易積分（或容易清除導(dǎo)數(shù)符號(hào)）的形式;

（3）用觀察法或湊微分法求出原函數(shù)（必要時(shí)，可在等式兩端同乘以非零的積分因子，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)可以將積分常數(shù)取為零）;

（4）移項(xiàng)，使等式一邊為零，則等式的另一邊所需的輔助函數(shù)。

例2.1 設(shè)函數(shù)f（x）在[0，1]上連續(xù)，f（0）=0，f（x）dx=0。證明存在ξ∈[0，1]，使得f（x）dx=ξf（ξ）成立。

證明：=f（0）=0= F（0）所以F（x）在x=0處右連續(xù)，而F（x）在（0，1]上連續(xù)是顯然的，因此F（x）在[0，1]上連續(xù)。此外，F(xiàn)（x）在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且F（0）=0，F(xiàn)（1）=f（t）dt=0

因此由羅爾中值定理知，存在ξ∈[0，1），使得

F′（ξ）==0，

即f（x）dx=ξf（ξ）。

（三）中值定理法

利用輔助函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題是高等數(shù)學(xué)中的一種常見(jiàn)的方法。而這一我們不太熟悉的思維方式，卻可以通過(guò)拉格朗日定理的證明使我們得以認(rèn)識(shí)，并從中揣摩其構(gòu)造方法以及證明方法。不管最初定理證明時(shí)是否如此引入輔助函數(shù)，但這幾種引入的方法卻使我們?nèi)ニ伎?，去設(shè)想，去判斷，去驗(yàn)證，從而合理模擬，從中體會(huì)到數(shù)學(xué)證明新的創(chuàng)意。

例3.1 設(shè)a>0，在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且f′（x）≠0，證明存在ξ，η∈（a，b），使得f′（ξ）=f′（η）。

證明：根據(jù)拉格朗日定理，在（a，b）中存在ξ，使得

f′（ξ）=，

再根據(jù)柯西中值定理，存在η∈（a，b），使

，

于是f′（ξ）=f′（η）。

以上構(gòu)建輔助函數(shù)的方法在一類證明中應(yīng)用非常廣并且行之有效，值得一用。在應(yīng)用該方法構(gòu)建輔助函數(shù)時(shí)應(yīng)該注意一下兩點(diǎn)：

（1）如果在所證的等式中只有一個(gè)變量，只要對(duì)照公式找出p（x）和q（x），計(jì)算出輔助函數(shù)即可;

（2）如果待證明的微分等式含有多個(gè)變量，可以先固定其中的若干個(gè)變量，然后用類似的方法構(gòu)造輔助函數(shù)。

例3.2 設(shè)函數(shù)f（x）在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且f（0）=0，f（1）=0。試證明：

（1）存在點(diǎn)ξ∈（a，b），使得f（ξ）=;

（2）存在點(diǎn)x1，x2∈（0，1） =2。

證明：（1）由于f（x）在（0，1）上連續(xù)，所以由連續(xù)函數(shù)的介值性定理知，對(duì)∈（0，1）使得f（ξ）=。

（2）由于f（x）在[0，ξ]上連續(xù)，在（0，ξ）內(nèi)可導(dǎo)，所以由拉格朗日中值定理知存在點(diǎn)x1∈（0，ξ）使得f（ξ）-f（0）=f′（x1）（ξ-0），即

（3）

由于f（x）在[ξ，1]上連續(xù)，在（ξ，1）內(nèi)可導(dǎo)，所以由拉格朗日中值定理知，存在點(diǎn)x2∈（ξ，1），使得f（1）-f（ξ）=f′（x2）（1-ξ），即

（4）

綜合（3）（4）可得。

（四）逆向思維法

例4.1 設(shè)f（x）在[0，1]上可微，且滿足f（1）=xf（x）dx，證明在[0，1]內(nèi)至少存在一點(diǎn)θ使f′（θ）=-。

證明：由所要證明的結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已知的條件，因此要探尋恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，

將f′（θ）=變形為f（θ）+θf(wàn)′（θ）=0，聯(lián)想到[xf（x）]′|x=θ= f（θ）+θf(wàn)′（θ）可考慮輔助函數(shù)F（x）=xf（x），x∈[0，1]。

因?yàn)閒（1）=xf（x）dx，由積分中值定理知，至少存在一點(diǎn)使得f（1）=ξf（ξ）。

而對(duì)于F（x）而言，有F（ξ）=ξf（ξ），F(xiàn)（1）=f（1）所以F（ξ）=f（1），

由Rolle定理知，至少存在一點(diǎn)θ∈（ξ，1）使F′（θ）=0，即

f′（θ）=-。

（五）按圖索驥法

例5.1 證明（x>0，y>0<x≠y，n>1）。

證明：因?yàn)樗C明的不等式中，多次出現(xiàn)了tn這樣的表達(dá)式，聯(lián)想到凹函數(shù)的定義，不難發(fā)現(xiàn)應(yīng)考慮輔助函數(shù)f（t）=tn（t>0），由于f′（t）=ntn-1，f″（t）=n（n-1）tn-2>0，因此可以知道f（t）是凹函數(shù)，從而當(dāng)x>0，y>0，x≠y時(shí)即有，即。

二、結(jié)語(yǔ)

通過(guò)這幾個(gè)例子我們總結(jié)了微分中值定理構(gòu)造輔助函數(shù)的原函數(shù)法，中值定理法等其他方法和一般規(guī)律。構(gòu)造輔助函數(shù)沒(méi)有什么萬(wàn)靈的方法，它是一種創(chuàng)造性的思維過(guò)程，具有較大的靈活性。運(yùn)用基本的數(shù)學(xué)思想，經(jīng)過(guò)認(rèn)真的觀察，深入的思考能構(gòu)造出合適的輔助函數(shù)，從而解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)難題。

參考文獻(xiàn)

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