模型思想在聾校數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

錢賢紗

摘要：“模型思想”是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中的十大核心概念之一。滲透模型思想，能使聽障學(xué)生更好地理解問(wèn)題的本質(zhì)，感受解決問(wèn)題的快樂(lè)，進(jìn)而愿意學(xué)習(xí)，樂(lè)于思考。教學(xué)中，構(gòu)建模型，凸顯知識(shí)的本質(zhì)屬性，使知識(shí)理解入木三分;運(yùn)用模型，探尋問(wèn)題解決的程序化操作，使思考過(guò)程有章可循;整合模型，搭建知識(shí)間的網(wǎng)絡(luò)化結(jié)構(gòu)，使知識(shí)習(xí)得融會(huì)貫通。

關(guān)鍵詞：模型思想;聾校;數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)：要打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有兩個(gè)必經(jīng)過(guò)程——先學(xué)習(xí)、接受“由薄到厚”，再消化、提煉“由厚到薄”。其中，“由薄到厚”是知識(shí)的積累，“由厚到薄”是方法的提煉;沒(méi)有知識(shí)積累的教學(xué)是沒(méi)有根基的，沒(méi)有方法提煉的教學(xué)則是沒(méi)有深度的。新課標(biāo)三維教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定，要求數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要關(guān)注知識(shí)與技能的傳授，更要關(guān)注思想方法的滲透。東北師范大學(xué)史寧中教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)思想可以歸納為三個(gè)方面：抽象、推理和模型?！澳Ｐ退枷搿笔恰稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》十大核心概念之一，新課標(biāo)首次提出：數(shù)學(xué)課程中應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的模型思想。那么，模型思想在聾校數(shù)學(xué)教學(xué)中有怎樣的教育價(jià)值？聾校數(shù)學(xué)教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生感悟并發(fā)展模型思想？對(duì)于這些問(wèn)題的探索與研究必將改變聾校數(shù)學(xué)教學(xué)方式。

模型思想與數(shù)學(xué)模型

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。孔凡哲認(rèn)為：數(shù)學(xué)模型，是指根據(jù)問(wèn)題實(shí)際和研究對(duì)象的特點(diǎn)，為了描述和研究客觀現(xiàn)象的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律，運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象、概括等方法而形成的，用以反映其內(nèi)部因素之間的空間關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式，包括數(shù)學(xué)公式、邏輯準(zhǔn)則、具體算法和數(shù)學(xué)概念。費(fèi)嶺峰認(rèn)為：數(shù)學(xué)模型思想是以數(shù)學(xué)概念和符號(hào)刻畫數(shù)學(xué)為內(nèi)容的，在揚(yáng)棄一切非本質(zhì)屬性的同時(shí)，逐步抽象、提煉出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的思維過(guò)程?？梢哉f(shuō)，模型思想的本質(zhì)在于抓住問(wèn)題的核心信息，提煉、抽象，并運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題;培養(yǎng)模型思想的關(guān)鍵在于能夠敏銳的發(fā)現(xiàn)一類問(wèn)題的共同特點(diǎn)，緊緊抓住事物的本質(zhì)屬性解決問(wèn)題。

基于聽障學(xué)生的教學(xué)分析

任何教學(xué)行為都是作用于教學(xué)對(duì)象的活動(dòng)，仔細(xì)分析教學(xué)對(duì)象的特點(diǎn)，才能更好地指導(dǎo)教學(xué)活動(dòng)。聽障學(xué)生由于生理特點(diǎn)的特異性，其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特點(diǎn)與健聽學(xué)生有較大差異，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

文本理解能力較弱 研究表明：聽力損失帶來(lái)的最大問(wèn)題是語(yǔ)言溝通問(wèn)題。聾人在閱讀中更多地依靠視覺(jué)信息。聽障兒童整體閱讀水平明顯落后于普通兒童，而且年齡越大，差距越明顯，大多數(shù)中學(xué)聾生的閱讀水平，只能達(dá)到普通小學(xué)生中、低年級(jí)的水平。文本理解能力弱，直接影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解與掌握。

抽象思維能力較弱 聽覺(jué)障礙兒童的概念體系中，具體概念發(fā)展較快，抽象概念發(fā)展遲緩，他們的思維更多受到事物外在形象影響，對(duì)事物的本質(zhì)特征和內(nèi)在聯(lián)系缺乏深入理解。通常到青少年晚期，他們的抽象思維才逐漸占據(jù)主要地位。抽象思維能力較弱，使得聾生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中養(yǎng)成重模仿，輕思考的習(xí)慣。

知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)化構(gòu)建能力較弱 聽覺(jué)障礙兒童由于思維能力的限制，對(duì)知識(shí)的梳理和整合能力較弱，看待問(wèn)題只關(guān)注表面現(xiàn)象，對(duì)于深層次的原因缺乏探究的欲望，對(duì)知識(shí)的理解往往浮于表面，很少關(guān)注知識(shí)的本質(zhì)與內(nèi)在聯(lián)系。

綜合上述特點(diǎn)，讓學(xué)習(xí)過(guò)程為聽障學(xué)生理解，促使他們會(huì)思考、愛(ài)思考的教學(xué)活動(dòng)，才能給聾校的數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展帶來(lái)動(dòng)力。在教學(xué)中滲透模型思想，將由現(xiàn)實(shí)生活中提煉的概念、性質(zhì)，用簡(jiǎn)潔的符號(hào)語(yǔ)言加以概括，簡(jiǎn)化成一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)模型，再利用這些數(shù)學(xué)模型去解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，并能將一個(gè)問(wèn)題的解決，拓展為一類問(wèn)題的解決，使聽障學(xué)生更好地理解問(wèn)題的本質(zhì)，感受解決問(wèn)題的快樂(lè)，進(jìn)而愿意學(xué)習(xí)，樂(lè)于思考。

模型思想的嘗試

知識(shí)的習(xí)得是一個(gè)長(zhǎng)期的、循序漸進(jìn)、螺旋上升的過(guò)程，思想方法的獲得同樣如此。教學(xué)中有意識(shí)地滲透模型思想，將思想方法的滲透蘊(yùn)含在知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，這樣獲得的思想才會(huì)鮮活、生動(dòng)，富有生命力。

構(gòu)建模型，凸顯知識(shí)的本質(zhì)屬性，使知識(shí)理解入木三分 數(shù)學(xué)的概念、公式、性質(zhì)、法則，是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活現(xiàn)象的高度概括。數(shù)學(xué)中的一系列公式、法則都可以看看作一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程就是數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建過(guò)程。數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建過(guò)程中要注意去偽存真，凸顯知識(shí)的本質(zhì)屬性。例如，基本的數(shù)量關(guān)系：總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量、路程=速度×?xí)r間、工作總量=工作效率×工作時(shí)間。在學(xué)習(xí)整數(shù)的計(jì)算時(shí)，這些基本的數(shù)量關(guān)系就已經(jīng)滲透在教學(xué)中，后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、小數(shù)、有理數(shù)、方程、不等式等一系列知識(shí)后，都會(huì)安排運(yùn)用這些數(shù)量關(guān)系解決實(shí)際問(wèn)題的題目。不同階段的題目，看似紛繁復(fù)雜，實(shí)際都是對(duì)這些基本數(shù)量關(guān)系的變式運(yùn)用。只要對(duì)基本的數(shù)量關(guān)系把握清晰，認(rèn)真梳理，就能找到對(duì)應(yīng)關(guān)系解決問(wèn)題。再如整式的乘法中的乘法公式，以平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2為例，公式中的a、b可以表示數(shù)，也可以表示一個(gè)整體。深入理解這個(gè)公式可以發(fā)現(xiàn)，（a+b）（a-b）中，a表示的是前后兩個(gè)式子中相同分部分，b表示的是前后兩個(gè)式子中符號(hào)相反的部分。當(dāng)兩個(gè)式子相乘，且這兩個(gè)式子中有部分相同，有部分符號(hào)相反時(shí)，它就符合平方差公式，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃尉湍芑善椒讲罟降男问饺ソ鉀Q。模型就像是固定軌道上的一節(jié)空車廂，起點(diǎn)固定，終點(diǎn)也不變，只要在運(yùn)輸中關(guān)注每種貨物本身的特點(diǎn)，輔以相應(yīng)安全措施，就能將貨物安全運(yùn)抵終點(diǎn)。教學(xué)過(guò)程中，多做思想層面的提煉，有意識(shí)地滲透模型的思想，讓學(xué)生可以透過(guò)模型看清事物的本質(zhì)屬性，將有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握。

運(yùn)用模型，探尋問(wèn)題解決的程序化操作，使思考過(guò)程有章可循 構(gòu)建模型是從實(shí)際問(wèn)題中提煉數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，運(yùn)用模型則是通過(guò)模型解決問(wèn)題的過(guò)程。學(xué)習(xí)模型思想的一個(gè)重要意義就是能夠運(yùn)用模型解決一系列的問(wèn)題。數(shù)學(xué)中，這類構(gòu)建模型并運(yùn)用模型解決問(wèn)題的過(guò)程尤其明顯。例如，兩角和與差的正切公式有兩組：tan（α+β）= ;tan（α-β）= ? ? ? ? ?。這兩組公式常用來(lái)解決一些相關(guān)的求值、化簡(jiǎn)、證明類的題目。常見題型中，有一些是直接運(yùn)用公式代入就能解決的，這類問(wèn)題比較簡(jiǎn)單;另一些則需要根據(jù)已知條件分析后選擇針對(duì)性的公式才能解決。①證明： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

②化簡(jiǎn)： 。聽障學(xué)生初次接觸到這類題型時(shí)，往往比較迷惘，不知道該從何入手。教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生分析兩個(gè)公式的特點(diǎn)：tan（α+β）= ? ? ? ? ，與tanα+tanβ與tanαtanβ這兩個(gè)式子有關(guān);tan（α-β）= ? ? ? ?，與tanα-tanβ與tanαtanβ這兩個(gè)式子有關(guān);再觀察①證明，題中含有tan95°+tan25°與tan95°tan25°這兩個(gè)式子，因此考慮由tan（95°+25°）切入，得tan（95°+25°）= ? ? ? ? ? ?，即- 3= ? ? ? ? ?，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行一些恒等變換，即可證明。類似的，觀察②化簡(jiǎn)，題中含有tan95°-tan35°與tan95°tan35°這兩個(gè)式子，則考慮由tan（95°-25°）切入，可得tan95°-tan35°= 3-tan95°tan35°，將其代入原式中，即可化簡(jiǎn)。緊扣模型特點(diǎn)，能夠在解決問(wèn)題中快速的確定所需模型，從而找到解決問(wèn)題的切入口。在運(yùn)用模型解決問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)由淺入深地設(shè)計(jì)例題，在循序漸進(jìn)中引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問(wèn)題的本質(zhì)屬性運(yùn)用模型，有理有據(jù)地解決問(wèn)題，不僅能夠快速判斷需要使用的數(shù)學(xué)模型，而且能夠使思維過(guò)程條理清晰、有章可循。

整合模型，搭建知識(shí)間的網(wǎng)絡(luò)化結(jié)構(gòu)，使知識(shí)習(xí)得融會(huì)貫通 數(shù)學(xué)知識(shí)本身是環(huán)環(huán)相扣的。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中如果缺乏統(tǒng)籌的眼光，知識(shí)點(diǎn)將會(huì)以散亂的形式出現(xiàn)在眼前，不利于學(xué)生的理解與掌握。只有當(dāng)知識(shí)點(diǎn)以網(wǎng)絡(luò)化的形式呈現(xiàn)時(shí)，才能便于學(xué)生理解與記憶。關(guān)注模型間的聯(lián)系，能使知識(shí)的理解更加容易，知識(shí)的記憶更加深刻。例如：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）、二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）、一元二次不等式ax2+bx+c〉0（a≠0）是從三類不同現(xiàn)實(shí)情境中提煉出來(lái)的數(shù)學(xué)模型。三者分屬三個(gè)不同章節(jié)，但三者的實(shí)質(zhì)是從不同的角度看待同一個(gè)函數(shù)：二次函數(shù)為函數(shù)的一般狀態(tài);一元二次方程為函數(shù)的瞬時(shí)狀態(tài);一元二次不等式為函數(shù)在特定范圍內(nèi)的狀態(tài)。通過(guò)將不同狀態(tài)的三種模型整合，可以大大減少這三類問(wèn)題中需要記憶的知識(shí)點(diǎn)的數(shù)量，即使某一知識(shí)點(diǎn)發(fā)生遺忘，網(wǎng)絡(luò)化的知識(shí)結(jié)構(gòu)也會(huì)增加記憶提取的線索，提高回憶成功的概率。

在整合模型的過(guò)程中，充分感受不同模型之間的聯(lián)系與區(qū)別，多分析、多推斷、多做由此及彼的網(wǎng)絡(luò)化構(gòu)建，能使知識(shí)的掌握事半功倍。

模型思想滲透應(yīng)關(guān)注的問(wèn)題

模型思想的滲透是一個(gè)長(zhǎng)期的潤(rùn)物無(wú)聲過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中要注意以下幾點(diǎn)：一是運(yùn)用模型思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，關(guān)鍵在于構(gòu)建模型，價(jià)值在于運(yùn)用模型思想解決實(shí)際問(wèn)題。聾校模型思想的滲透要從簡(jiǎn)單模型開始，讓學(xué)生理解與記憶一些基本模型，然后通過(guò)變式練習(xí)，拓展學(xué)生對(duì)基本模型的本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)，將其內(nèi)化為自身的知識(shí)儲(chǔ)備，再次遇到相關(guān)問(wèn)題時(shí)，能夠有意識(shí)地運(yùn)用相關(guān)模型去解決。二是模型思想與整體思想、轉(zhuǎn)化思想相輔相成。單一模型的問(wèn)題往往比較簡(jiǎn)單，但實(shí)際問(wèn)題往往是以基本模型的變式出現(xiàn)的。解決問(wèn)題的過(guò)程中，把問(wèn)題中的某些部分看成一個(gè)整體，就可能把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)熟悉的簡(jiǎn)單模型，再將這樣的多個(gè)整體逐個(gè)擊破，問(wèn)題可能就迎刃而解了。三是學(xué)習(xí)模型思想的意義不在于掌握多少種模型，而在于能夠運(yùn)用模型思想解決實(shí)際問(wèn)題。基于聽障學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，教學(xué)中應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注基本模型的構(gòu)建與應(yīng)用，適當(dāng)降低運(yùn)算數(shù)據(jù)的復(fù)雜程度，以便凸顯思想方法。只有熟練掌握了基本模型，才有可能舉一反三、靈活運(yùn)用。

結(jié)束語(yǔ)

模型思想旨在搭建一個(gè)高度概括、程序化的平臺(tái)，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言對(duì)紛繁的世界加以整理，使其更具條理性，更易于被解讀。聾校數(shù)學(xué)教學(xué)中，模型思想的滲透雖然只是初步的、淺顯的，但它能夠?yàn)閷W(xué)生打開一扇思維活動(dòng)的大門，使聽障學(xué)生感受更多解決問(wèn)題的方式方法。

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（作者單位：江蘇省無(wú)錫市特殊教育學(xué)校）