運用幾何直觀 助力數學思考

李淑媚

數學思考是一種深層次的、全面的思維活動?！读x務教育數學課程標準（2011年版）》指出，幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象。幾何直觀貫穿整個數學學習過程，而數學思考是數學教學中最有價值的行為。筆者結合自己的教學實踐，談一談如何在概念、計算、解決問題等方面的教學中運用幾何直觀來促進學生的數學思考。

一、運用幾何直觀，建立表象，助力概念理解

概念教學是大多數學教學的起點。有些數學概念比較抽象枯燥，小學生受到自身知識經驗水平和思維水平的限制與影響，往往不易理解。合理運用幾何直觀，幫助學生建立豐富的表象，可以讓概念變得形象、有趣，使得他們勤于思考，形象記憶深刻，概念理解變得簡單。

例如：教學“角的初步認識”一課。角的概念對于學生來說是極其抽象的。教師創(chuàng)設參觀校園的情境，讓學生找出各種熟悉的圖形，從而引出角的認識。接著，借助實物直觀，讓每位學生都拿出事先準備的三角尺。學生自選一個角，模仿教師操作，用手摸一摸，初步感知角的頂點和邊的特征。當學生對角已經有了一些感覺，便可以借助圖形直觀，讓學生觀察圖中的物體，如鐘面、剪刀、三角尺上的角，想一想角都藏在哪兒，并指出來。教師明確操作要領：要先指頂點，從頂點出發(fā)，再分別指角的兩條邊。借助幾何直觀讓學生充分地感知、認識角以后，教師利用課件演示從實物中抽象出的角。教師引導：“這些生活中的角在數學上該怎樣表示呢？你們看，我們把剪刀、三角尺、鐘面先請回去，就是數學上的角了。這三個圖形都是角。閉上眼睛想一想，角是什么樣的？再用手比劃比劃角的模樣。”最后，學生在教師的指導下認識角各部分的名稱及特征。

學生通過找一找、摸一摸、指一指，從實物直觀、圖形直觀中抽象出角的形狀，初步體會角是從物體表面抽象出來的幾何圖形，再通過比較不同的角，找到共同特征，逐步建立角的正確表象。讓學生在借助幾何直觀進行思考的過程中發(fā)展形象思維和抽象思維。

二、運用幾何直觀，溝通聯系，助力算理理解

《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確指出要發(fā)展學生的運算能力。在小學數學計算教學中，我們希望學生算得又對又快，這個目標的達成必須建立在學生準確理解算理，掌握算法的基礎上。借助幾何直觀，能幫助學生積極參與數學思考，理解算理，從而掌握算法。幾何直觀在小學數學計算教學中起著舉足輕重的作用。

例如：人教版三上“筆算乘法”例1一課。對于問題“怎樣算一共有多少支彩筆？”學生都能列出算式12×3。這時，教師先讓學生估一估12×3大約是多少，接著讓學生獨立算出12×3的準確結果。有的學生利用乘法的意義列出加法算式，12+12+12=36（方法1）。有的學生用口算10×3=30，2×3=6，30+6=36（方法2）。這時，就有部分學生不太明白方法2的算理。當學生的思維出現障礙的時候，教師及時指導學生通過擺小棒來幫忙理解，并提出活動要求。如擺一擺：擺小棒表示12×3；想一想：想每一個算式對應的小棒在哪里；圈一圈：圈每一個算式對應的小棒。讓學生在操作中能有序地思考。

操作活動完成后，教師先提問：“10×3=30表示什么意思，它對應的小棒在哪里？”請學生到黑板前說一說，將對應的算式和小棒圈起來。學生發(fā)現10×3=30表示3個十相加，小棒里也有3個十。接著讓學生分別說一說、圈一圈2×3=6與30+6=36。在這一環(huán)節(jié)中，學生借助小棒擺一擺，然后想一想、圈一圈，能夠較為順利地理解方法2的算理，為理解乘法豎式做準備。

課堂最后呈現方法3（列豎式）。教師通過問題：“你們能看懂這豎式是怎么算的嗎？”讓學生指一指、說一說，初步理解乘法豎式的意義。學生發(fā)現12×3用豎式和口算都能解決，進而思考它們之間的聯系。教師適時引導學生思考：課件中的小棒圖、算式、豎式之間有什么聯系。當教師指出豎式中的一個數字（6或3）時，請學生想一想它相當于小棒的哪一部分，也相當于口算的哪一部分。以擺小棒為橋梁，將口算與筆算進行了有效溝通，學生直觀地理解筆算乘法的算理，掌握筆算乘法的計算方法。

三、運用幾何直觀，深入思考，助力數量關系分析

解決問題向來是小學數學的教學難點，純文字題極大考驗學生的數學思考能力，而理清數量關系是解決問題的關鍵。在教學時，充分利用幾何直觀，來描述和表征問題情境中抽象的數量關系，能將抽象的問題變得直觀。學生在經歷幾何圖形、數學語言、符號表征的合情轉化中一次次深入地思考，體會到運用幾何直觀解決數學問題的優(yōu)勢。

比較下面兩道題，選擇合適的方法解答。

（1）有4排桌子，每排5張，一共有多少張？

（2）有2排桌子，一排5張，另一排4張，一共有多少張？

例如：進行上述解決問題教學。獨立觀察兩題，都是學生根據以往的知識經驗便能直接列式解答的。教材把這樣的兩道題放在一起，顯然是為了讓學生在解決問題的過程中進一步區(qū)分乘法和加法的意義。如果只借助語言表征來區(qū)分意義，學生對問題的思考可能浮于表面。而借助幾何直觀，便能有效地將具體問題和運算意義聯系起來，由此來解釋算法的合理性。

在教學中，學生列出算式（1）5×4=20（張），（2）5+4=9（張）。教師適時追問：“這兩題中都有4和5，為什么解答的方法不同？你能用什么方法讓大家一眼就能看明白嗎？”問題激發(fā)了學生的思考，他們按照自己喜歡的方法把算式的意義表示出來。有的學生根據題（1）的信息，每一排擺5張卡片，擺了4排。教師順勢引導學生根據信息檢查擺圖是否正確并啟發(fā)他們數“1個5，2個5，3個5，4個5”。學生發(fā)現要解決的問題是“一共有多少張”，其實就是把4個5加起來，所以用乘法計算5×4=20（張）。教師再讓學生檢查剛才列的算式是否正確表示了圖意。接著，教師展示學生用不同的圖示方法，也都表示了“把4個5加起來”。分析第二個算式，學生根據題中信息，第一排擺5張卡片，第二排擺4張卡片，問題也是“一共有多少張”。但這里是把1個4和1個5合起來，所以列的算式是5+4=9（張）。至此，學生驚喜地發(fā)現，抽象的數學問題經過擺一擺、畫一畫已經變得簡單明了。最后，教師追問：“現在你們能明白為什么兩道題中都有4和5，一道用乘法計算，一道用加法計算嗎？”這時，學生已經能用數學語言清楚地進行表達了。

借助替代物，學生經歷了擺或畫的過程；直觀的圖示，為枯燥的文字和算式之間搭起一座橋梁。學生借助幾何直觀進行多次思考，對數量關系的理解清晰而深刻。

幾何直觀是小學生必須具備的一種數學素養(yǎng)，它可以直觀呈現問題的本質，是學生進行數學思考的推動力，有助于他們理解抽象概念，掌握算理，分析數量關系，從而有效地解決問題。endprint