長方體內(nèi)有乾坤

王園靜+鐘彩容

【摘要】解決某些代數(shù)問題時，可根據(jù)所給代數(shù)形式上的特點，構(gòu)造出一個適合題意的幾何圖形，比如，長方體.再賦予代數(shù)式中的數(shù)與字母一定的幾何意義，利用幾何圖形解代數(shù)問題.

【關(guān)鍵詞】代數(shù)問題幾何化；長方體模型

例1若x≥y≥z≥1，且xyz=4，則（log2x）2+（log2y）2+（log2z）2的取值范圍是.

分析設(shè)log2x=a，log2y=b，log2z=c，則有l(wèi)og2xyz=log2x+log2y+log2z=2.則可理解題意為：已知a≥b≥c≥0，a+b+c=2，求a2+b2+c2的取值范圍.如圖1所示，在棱長為2的正方體中建立空間直角坐標系D-abc.題目所求可轉(zhuǎn)化為：三角形平面區(qū)域A′BD內(nèi)一點到原點A（0，0，0）的距離d的平方，則AG≤d≤AB，

而A到面A′BD的最短距離為AG=43，AB=2，故（log2x）2+（log2y）2+（log2z）2=d2∈43，4.正方體作為特殊的長方體，其長、寬、高都相等，并且同一頂點上的三條棱具有兩兩垂直的特殊位置關(guān)系.例1應(yīng)用以上正方體的性質(zhì)將求代數(shù)式范圍的問題轉(zhuǎn)化為求正方體中頂點到某個平面距離的最值問題，使得所要解決的問題具體化、形象化.

例2已知正數(shù)a，b，c滿足a2+b2+c2=1，求證1-a2+1-b2+1-c2>3-（a+b+c）.

分析由題目已知條件形式會聯(lián)想到長方體長、寬、高的平方和等于長方體對角線的平方，因此，根據(jù)題意構(gòu)造一個長方體ABCD-A′B′C′D′（如圖2所示）.使AA′=a，A′B′=b，A′D′=c.

由a2+b2+c2=1得AC′=1，因而，AB′=1-c2，AD′=1-b2，A′C′=1-a2.在△AB′C′中，AB′+B′C′>AC′，即1-c2+c>1①.同理可得出1-a2+a>1②，1-b2+b>1③.將①②③式相加即得：1-a2+1-b2+1-c2>3-（a+b+c）.

例3已知α，β，γ均為銳角，且滿足cos2α+cos2β+cos2γ-1=0，求證cotα·cotβ·cotγ≤24.

分析由已知條件有：cos2α+cos2β+cos2γ=1，同樣此形式也很容易會聯(lián)想到長方體對角線與三條棱的夾角恰好滿足此關(guān)系式.因此，構(gòu)造長方體ABCD-A′B′C′D′（如圖3所示），使得AC′與棱C′D′，B′C′，CC′的夾角分別為α，β，γ，且滿足cos2α+cos2β+cos2γ=1，令A′B′=a，A′D′=b，AA′=c.則cotα·cotβ·cotγ=ab2+c2·ba2+c2·cb2+a2≤a2bc·b2ac·c2ab=24.

例2、例3都是長方體對角線性質(zhì)定理的具體應(yīng)用，由此可以看出，長方體對角線性質(zhì)定理如果得到了巧妙的應(yīng)用，可以幫助我們解決許多問題，并且起到事半功倍的作用.endprint