立足“微觀”視角的數(shù)學選修課三“微”設計探索

☉浙江省安吉縣昌碩高級中學 王家斌

《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》提到：高中數(shù)學課程由必修系列課程和選修系列課程組成，必修系列課程是為了滿足所有學生的共同數(shù)學需求；選修系列課程是為了滿足學生的不同數(shù)學需求，它仍然是學生發(fā)展所需要的基礎性數(shù)學課程.近年來，在教學中開設選修課程，大量研究資料表明，多數(shù)學校在高一、高二年級中安排有固定的選修課時，但如何開設好選修課？怎樣選修課程才是對必修課程的有效補充？才能實現(xiàn)開拓學生視野？促進學生學習數(shù)學興趣產(chǎn)生的目標呢？通過閱讀大量資料，借鑒一些比較成熟成功的案例，筆者形成了一些自己淺顯的思考.考慮到選修課程課時的限制，同時又要發(fā)揮其促進必修課教學的作用，筆者認為選修課選題盡量著眼微觀，以小促大，實現(xiàn)短、平、快.

一、微專題

（一）微專題的定義

微專題是指一個相關聯(lián)的、可以單獨研究的知識體系、某種數(shù)學思想方法、一個研究主題等.微專題教學是指針對某一具體知識點，從該知識點的基本概念、基本原理、基本規(guī)律入手，內(nèi)化知識，構(gòu)建結(jié)構(gòu)，進行知識遷移、整合并能運用基本概念和原理解決問題的一種“小切口”教學方法.微專題教學通常選擇熱點、難點、疑點等“點問題”進行較深層次的研究，根據(jù)知識點的聯(lián)系和相通之處，讓學生理解知識、方法的本質(zhì)，達到以點帶面、舉一反三的目的.

（二）微專題的基本結(jié)構(gòu)

微專題的基本結(jié)構(gòu)包括以下四個方面：知識清單（交代本微專題的基礎知識、基本方法）；基礎練習（比較簡單的便于學生回顧知識的練習題）；例題精選（有代表性的典型例題）；鞏固練習（有針對性的練習題）.

（三）微專題一例：《數(shù)列單調(diào)性問題的研究》

【知識清單】

數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，其單調(diào)性的研究通常也是伴隨著數(shù)列最值的求解.這類問題的解決通常還是借助函數(shù)單調(diào)性的研究方法如圖像法和恒成立的思想.

【基礎練習】

（1）求以下數(shù)列中的最大項：an=n2-8n+5；an=n2-7n+6.

（2）若an=n2+λn+3（其中λ為實常數(shù)），n∈N*，且數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，求實數(shù)λ的取值范圍.

【例題精講】

例題：通項公式為an=an2+n的數(shù)列{an}，若滿足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且an＞an+1對n≥8恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是______.

變式：數(shù)列{an}滿足λ為實常數(shù)，n∈N*），最大項為a8，最小項為a9，則實數(shù)λ的取值范圍為______.

意圖：選修課對必修內(nèi)容的有效補充，恰恰是其“短小、精悍”的特點，選修課因為可以對難點知識進行專題性解決，從而成為教學的有效輔助手段.本案例的本質(zhì)恰恰從函數(shù)角度思考了數(shù)列最值的研究，將單調(diào)性研究的重點滲透到數(shù)列之中，成為學生理解數(shù)列最值的關鍵，是高效、有效的典范.

二、微探究

微探究案例一則：《拋物線的一個特有性質(zhì)及其應用探究》

提出問題：AB是拋物線y2=2px（p＞0）的過焦點F的動弦，試問：弦AB何時最短？

學生憑直觀感受回答：當AB垂直x軸時，弦AB最短.（有待證明）

教師拋出一個想法：設A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|=，即AB垂直于x軸時取得最小值.

學生提出疑惑：這里不等式用得有點奇怪，好像有點問題.我們在應用基本不等式求最值的三個條件（一正、二定、三相等）中“定值”是否滿足？（引導學生探究x1x2是否為定值）

將點F一般化為x軸上任意一點（m，0），探究拋物線的一條特殊性質(zhì)：若過拋物線y2=2px（p＞0）對稱軸上一點M（m，0）的直線l與拋物線交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，則x1x2=m2，y1y2=-2pm成立.特別地，當M為拋物線焦點成立（.具體探究過程仿照文［4］，此處省略，由于課堂時間的限制，文［4］中提到的兩條推論并沒有在實際教學中探究）

意圖：選修的“微”還可以體現(xiàn)在師生就單一問題的積極深入研究和探討之中，這樣的研究在常態(tài)化教學中顯然并不多見，但是在選修課中可以放手一試，其主要目的在于將學生的參與性開發(fā)出來，有效地提高學生主動參與交流的情境之中，形成真正的建構(gòu)教學和有效教學.另一方面，《普通高中數(shù)學課程標準》（實驗）倡導積極主動、勇于探索的學習方式.普通高中數(shù)學教材中，幾乎每章每節(jié)都設有“思考”和“探究”欄目，可見教材編者用心之良苦.然而，在具體教學過程中，受教學進度的影響，教師無法給予學生充足的時間進行探究，往往是教師直接給出結(jié)論，抑或是公開課中的“偽探究”.

三、微辯論

（一）選題理由

平時和學生交流的過程中，多數(shù)學困生都反映上課能聽懂，就是課后作業(yè)不太會做，考試也不理想，即使是考試成績好的學優(yōu)生有時也是糊里糊涂說不出個所以然來.教育同行也經(jīng)常感嘆，某道題我講過多少遍了不知道，學生還是考不出或還會犯錯.從認知心理學的角度來理解，學習應該是個主動參與的過程而不是被動的接受，教師僅憑個人預想學生會出現(xiàn)的誤解，往往做不到有針對性的教學.讓學生說，使其暴露思維的缺陷或理解的偏差，顯得尤為重要.

（二）選題原則

學生在說解題思路的過程中，將自己的思維暴露在老師和同學面前，將自己思考的得與失都能展現(xiàn)，教師在選題時，有意識地選擇一些參與度高，容易產(chǎn)生爭議又能在短時間達成共識的辯題.

（三）案例一則：《判斷三角形形狀》

例題：在△ABC中，已知角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若（a+b+c）（a+b-c）=3ab，且2cosAsinB=sinC，試判斷△ABC的形狀.

學生乙：因為A+B+C=π，所以sinC=sin（A+B）.

又2cosAsinB=sinC，所以2cosAsinB=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，所以sinAcosB-cosAsinB=0，所以sin（A-B）=0，所以A=B，又（a+b+c）（a+b-c）=3ab，所以a2+

又A=B，所以△ABC是等邊三角形.

意圖：本討論課是筆者嘗試的一次選修辯論，我們知道判定三角形形狀通常有兩種途徑：一是通過正弦定理和余弦定理，化邊為角（如：a=2RsinA，a2+b2-c2=2abcosC等），利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關系進行判斷.此時注意一些常見的三角等式所體現(xiàn)的內(nèi)角關系.如：sinA=sinB?A=B；sin（A-B）=0?A=B；sin2A=sin2B?A=B或A+等；二是利用正弦定理、余弦定理化角為邊，如sin等，通過代數(shù)恒等變換，求出三條邊之間的關系進行判斷.相比老師的直接灌輸，如果是學生自己說出來，效果就會完全不一樣.

總之，就高中數(shù)學課程內(nèi)容而言，由于課時的限制，我們只能讓學生學習基礎且重要的內(nèi)容.為此，合理選題，正確引導，充分發(fā)揮選修課對正常教學的補充完善和有益補充的作用，成為選修課教師必須深入思考的問題.近幾年非常流行的微課，對教師能力的培養(yǎng)起到了很大幫助.如果將微探究、微辯論甚至微研討引入選修課堂，相信也一定能讓學生對數(shù)學學科不再畏懼，甚至充滿激情并能享受其中.

參考文獻：

1.中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）［S］.北京：人民教育出版社，2003.

2.王第成.教學：請讓學生先來［J］.中學數(shù)學教學參考，2014（9）.

3.沈恒，王勇強.碎片化學習下的云端微視頻教學初探［J］.中學數(shù)學（上），2014（10）.

4.趙祥枝.引導學生主動探究，促進數(shù)學思維發(fā)展［J］.中學數(shù)學教學參考，2014（5）.F