導(dǎo)數(shù)考點(diǎn)“廣而告之”

☉江蘇省如皋市第二中學(xué) 黃 榮

縱覽歷年高考命題，對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查力度不斷增大，尤其是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用通常以壓軸題的形式出現(xiàn)，?？疾凰ィ⑶页？汲Ｐ?，而與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的基本運(yùn)算和導(dǎo)數(shù)的幾何意義也頻頻亮相.常言道：考場(chǎng)就是戰(zhàn)場(chǎng)，知己知彼，方可百戰(zhàn)百勝！考題年年變，考點(diǎn)卻“巋然不動(dòng)”.那么哪些考點(diǎn)需要引起大家的注意呢？

一、導(dǎo)數(shù)的有關(guān)計(jì)算

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決問題，首先要學(xué)會(huì)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，要牢記基本函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則.靈活應(yīng)用基本函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則，這是復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的第一步.

例1（1）（fx）=x（2018+lnx），若f（′x0）=2019，則x0等于______.

（2）設(shè)函數(shù)（fx）的導(dǎo)數(shù)為f（′x），且（fx）=f′）sinx+cosx，則f′（）=______.

點(diǎn)評(píng)：本題靈活考查了求導(dǎo)公式的基本應(yīng)用，第（1）題中已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值求自變量的值體現(xiàn)了方程思想；而第（2）題中的f′（）是個(gè)常數(shù)，需求出它的值，解題過程同樣體現(xiàn)了方程思想.在導(dǎo)數(shù)問題中，函數(shù)思想與方程思想往往“結(jié)伴而行”.

二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是函數(shù)所表示的曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率.導(dǎo)數(shù)的幾何意義每年必考，命題時(shí)常常以小題形式出現(xiàn)，要么直接寫出切線方程，要么求某參數(shù)的值.

例2已知曲線f（x）=xlnx在點(diǎn)（e，f（e））處的切線與曲線y=x2+a相切，則a=______.

解析：因?yàn)閒′（x）=lnx+1，所以曲線f（x）=xlnx在x=e處的切線斜率為k=2，則曲線f（x）=xlnx在點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程為y=2x-e.

由于切線與曲線y=x2+a相切，故y=x2+a可聯(lián)立y=2xe，得x2-2x+a+e=0，由Δ=4-4（a+e）=0，解得a=1-e.

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)解析式已知，切點(diǎn)也已知，所以利用導(dǎo)數(shù)法求出這條切線并非難事.又因?yàn)樗c二次函數(shù)曲線y=x2+a相切，故可用二次函數(shù)判別式法求解.當(dāng)然，對(duì)于二次函數(shù)問題，再次利用導(dǎo)數(shù)來解也不難，讀者可試一試！

三、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值或最值

導(dǎo)數(shù)的終極用途是研究函數(shù)的性質(zhì)，其中包含利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大（?。┲?，以及求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上的最值.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值或最值，這種解決函數(shù)問題的方法能使復(fù)雜問題變得簡單化、程序化，凸顯導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，深受命題者青睞，從而成為高考數(shù)學(xué)炙手可熱的命題熱點(diǎn).

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若f（x）的極小值為-e3，求f（x）在區(qū)間［-5，+∞）上的最大值.

令g（x）=-ax2+（2a-b）x+b-c，因?yàn)閑x＞0，故y=f′（x）的零點(diǎn)就是g（x）=-ax2+（2a-b）x+b-c的零點(diǎn)且f′（x）與g（x）符號(hào)相同.

又因?yàn)閍＞0，所以當(dāng)-3＜x＜0時(shí)，g（x）＞0，即f′（x）＞0，當(dāng)x＜-3或x＞0時(shí)，g（x）＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-3，0），單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-3），（0，+∞）.

因?yàn)椋╢x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-3，0），單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-3），（0，+∞），所以（f0）=5為函數(shù)（fx）的極大值，故（fx）在區(qū)間［-5，+∞）上的最大值取（f-5）和（f0）中的最大者，而（f-5）==5e5＞5=（f0），所以函數(shù)（fx）在區(qū)間［-5，+∞）上的最大值是5e5.

點(diǎn)評(píng)：（1）求極值、最值時(shí)，要求步驟規(guī)范，含參數(shù)時(shí)，要討論參數(shù)的大小.（2）求函數(shù)在無窮區(qū)間（或開區(qū)間）上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過單調(diào)性和極值情況，畫出函數(shù)的大致圖像，然后借助圖像觀察得到函數(shù)的最值.

四、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性

我們知道，導(dǎo)數(shù)最簡單的應(yīng)用就是求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，而已知函數(shù)的單調(diào)性可以確定函數(shù)式中特定字母的值或范圍，這種導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的“雙向性”一直是近年高考的必考點(diǎn).

（1）若函數(shù)h（x）=（fx）-g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；

（2）若函數(shù)h（x）=（fx）-g（x）在［1，4］上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.

由于h（x）在（0，+∞）上存在單調(diào)遞減區(qū)間，故當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，-ax-2＜0有解，即有解.設(shè)G（x）=，所以只要a＞G（x）min即可.而，所以G（x）min=-1.所以a＞-1.又因?yàn)閍≠0，所以a的取值范圍為（-1，0）∪（0，+∞）.

（2）因h（x）在［1，4］上單調(diào)遞減，故當(dāng)x∈［1，4］時(shí)，恒成立.

點(diǎn)評(píng)：可導(dǎo)函數(shù)f（x）在（a，b）上是單增（或單減）函數(shù)?對(duì)于任意x∈（a，b），都有f′（x）≥0（或f′（x）≤0），且f′（x）在（a，b）的任意子區(qū)間上都不恒為零.這是解這類問題的理論依據(jù)，利用這個(gè)理論依據(jù)，我們可把原問題轉(zhuǎn)化為不等式能成立問題，或者不等式恒成立問題，這種轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想正是高考命題的考查目標(biāo)，體現(xiàn)了高考“能力立意”的思想，在平時(shí)的復(fù)習(xí)中應(yīng)引起高度重視.

五、利用導(dǎo)數(shù)處理含參數(shù)的恒成立問題

恒成立問題中的參數(shù)取值范圍，也是高考的命題熱點(diǎn)之一，其解決方式較多，但導(dǎo)數(shù)法是首選，利用參變量分離法，再嘗試從導(dǎo)數(shù)知識(shí)入手，往往能鋒回路轉(zhuǎn)天地寬，柳暗花明又一村，這就再一次說明導(dǎo)數(shù)在教材中的引入，拓寬了高考的命題空間，這類問題具有一定思維層次的題目，我們同樣不可掉以輕心.

例5已知函數(shù)f（x）=alnx-bx2，a，b∈R.若不等式f（x）≥x對(duì)所有的b∈（-∞，0］，x∈（e，e2］都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：由題意可得bx2≤alnx-x.

因?yàn)閤∈（e，e2］，所以

由b∈（-∞，0］，故對(duì)任意的x∈（e，e2］，都有≥0，即alnx≥x對(duì)一切x∈（e，e2］恒成立，即對(duì)一切x∈（e，e2］恒成立.

點(diǎn)評(píng)：破解不等式恒成立問題通常需要“一構(gòu)造一分類”：“一構(gòu)造”是指通過不等式的同解變形，構(gòu)造一個(gè)與背景函數(shù)相關(guān)的函數(shù)；“一分類”是指對(duì)不等式恒成立問題，常需對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.有時(shí)也可以利用分離參數(shù)法，即將不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值，一般地，a＞f（x）對(duì)x∈D恒成立，只需a＞f（x）max；a＜f（x）對(duì)x∈D恒成立，只需a＜f（x）max.本文最后值得一提的是，高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查主要側(cè)重于導(dǎo)數(shù)的工具性和利用導(dǎo)數(shù)解決問題的靈活性.因此，我們只有多訓(xùn)練、多總結(jié)、多反思，才可達(dá)到理想的復(fù)習(xí)效果.H