高考中的新定義問題

☉江蘇省口岸中學(xué) 陳 岑

從2018年高考數(shù)學(xué)《考試大綱》可以看出，考綱堅(jiān)持對五種能力（空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力）和兩種意識（應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識）的考查，這是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng)在高考中的體現(xiàn).而新定義型問題，是指給出相關(guān)材料，設(shè)計(jì)一個相對陌生的數(shù)學(xué)情景，新定義一個數(shù)學(xué)問題（新概念、新性質(zhì)、新運(yùn)算等），并給出已定義的新概念、新性質(zhì)、新運(yùn)算所滿足的條件，要求同學(xué)們應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和方法遷移到這段材料中從而使問題得到解決的一類題.往往是創(chuàng)新意識最突出的表現(xiàn)，是每年高考中的亮點(diǎn)之一，也是命題者青睞的熱點(diǎn)之一.

一、新規(guī)范

通過創(chuàng)新規(guī)范，規(guī)范相應(yīng)的集合、函數(shù)、數(shù)列等所對應(yīng)的元素、自變量、通項(xiàng)等，結(jié)合相關(guān)知識加以邏輯推理，進(jìn)而通過創(chuàng)新思維來分析問題與解決問題.

例1 （2016·全國Ⅲ理·12）定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若m=4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有（ ）.

（A）18個 （B）16個 （C）14個 （D）12個

分析：根據(jù)數(shù)列新規(guī)范，先確定數(shù)列的首項(xiàng)與末項(xiàng)，再利用中間項(xiàng)的特征，結(jié)合排列與組合思維，通過間接法來確定.

解析：根據(jù)定義，{an}的首項(xiàng)必為0，末項(xiàng)必為1，

若m=4，則該數(shù)列{an}有8項(xiàng)，其中4項(xiàng)為0，4項(xiàng)為1，

那么下面只要考慮a2到a7的情況即可，從6項(xiàng)中選3項(xiàng)填0有=20個，

排除掉不滿足條件的有：以111開頭的有1個（000），以110開頭的有3個（100、010、001），以101開頭的有1個（100），以011開頭的有1個（100），

所以不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有20-6=14個，故選C.

點(diǎn)評：解決此類創(chuàng)新規(guī)范問題的關(guān)鍵：一是明確創(chuàng)新規(guī)范的內(nèi)容，一般涉及相應(yīng)的集合、函數(shù)、數(shù)列等所對應(yīng)的元素、自變量、通項(xiàng)等；二是根據(jù)規(guī)范確定相應(yīng)之間的關(guān)系，建立相應(yīng)的聯(lián)系（包括關(guān)系式、不等式等）；三是借助相應(yīng)的方法來處理解決，并回歸創(chuàng)新規(guī)范實(shí)質(zhì)加以驗(yàn)證，從而得到創(chuàng)新與應(yīng)用.

二、新性質(zhì)

通過創(chuàng)新性質(zhì)，可以直接利用創(chuàng)新性質(zhì)來確定相應(yīng)的要素，也可以用創(chuàng)新性質(zhì)來轉(zhuǎn)化達(dá)到判斷相關(guān)知識的常規(guī)性質(zhì)等，重在知識點(diǎn)的交匯與綜合，性質(zhì)間的化歸與轉(zhuǎn)化.

例2（2017·山東文·10）若函數(shù)exf（x）（e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）在f（x）的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f（x）具有M性質(zhì).下列函數(shù)中具有M性質(zhì)的是（）.

（A）f（x）=2-x（B）f（x）=x2

（C）f（x）=3-x（D）f（x）=cosx

分析：通過創(chuàng)新性質(zhì)可知，若函數(shù)f（x）具有M性質(zhì)，則有f（x）+f′（x）＞0恒成立，結(jié)合各選項(xiàng)中f（x）+f′（x）的取值情況加以分類討論，進(jìn)而確定具有M性質(zhì)的函數(shù).

解析：由題目條件可設(shè)g（x）=exf（x），則有g(shù)′（x）=ex［f（x）+f′（x）］，結(jié)合題目條件可得f（x）+f′（x）＞0，

選項(xiàng)A中，f（x）+f′（x）=（1-ln2）2-x＞0恒成立，則函數(shù)f（x）=2-x具有M性質(zhì)；

選項(xiàng)B中，f（x）+f′（x）=x2+2x＞0不恒成立，則函數(shù)f（x）=x2不具有M性質(zhì)；

選項(xiàng)C中，f（x）+f′（x）=（1-ln3）3-x＜0恒成立，則函數(shù)f（x）=3-x不具有M性質(zhì)；

選項(xiàng)D中，f（x）+f′（x）=cosx-sinx＞0不恒成立，則函數(shù)f（x）=cosx不具有M性質(zhì).

故選A.

點(diǎn)評：解決此類創(chuàng)新性質(zhì)問題的關(guān)鍵是建立題目條件中的創(chuàng)新性質(zhì)與相應(yīng)知識的常規(guī)性質(zhì)之間的聯(lián)系，構(gòu)造相互之間聯(lián)系的橋梁，利用常規(guī)性質(zhì)來分析與解決問題，從而朝著創(chuàng)新性質(zhì)的角度轉(zhuǎn)化，達(dá)到創(chuàng)新意識的培養(yǎng)、創(chuàng)新能力的提升的目的.

三、新構(gòu)造

通過創(chuàng)新構(gòu)造，根據(jù)題目條件構(gòu)造相關(guān)的對應(yīng)關(guān)系、關(guān)系式或不等式等，通過新構(gòu)造的關(guān)系來轉(zhuǎn)化與處理，結(jié)合特例、構(gòu)造模型等方式來分析與解決問題.

例3 （2016·四川文·15）在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)P（x，y）不是原點(diǎn)時，定義P的“伴隨點(diǎn)”為是原點(diǎn)時，定義P的“伴隨點(diǎn)”為它自身.現(xiàn)有下列命題：

①若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A′，則點(diǎn)A′的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A；

②單位圓上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”仍在單位圓上；

③若兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，則它們的“伴隨點(diǎn)”關(guān)于y軸對稱；

④若三點(diǎn)在同一條直線上，則它們的“伴隨點(diǎn)”一定共線.

其中的真命題是______（寫出所有真命題的序號）.

分析：根據(jù)創(chuàng)新構(gòu)造的“伴隨點(diǎn)”，①和④通過舉特例來加以排除；②中通過單位圓上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”的坐標(biāo)關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，從而得以確定；③中通過兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱時所對應(yīng)的“伴隨點(diǎn)”的坐標(biāo)來確定.

解析：對于①，設(shè)A（2，0），則點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A′（0， -），而點(diǎn)A′的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)（-2，0），與A不同，則①是錯誤的.

對于②，設(shè)單位圓C：x2+y2=1上的任意點(diǎn)P（x，y），其“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)P，即點(diǎn)P′仍在單位圓上，則②是正確的.

對于③，設(shè)任意點(diǎn)P（x，y）的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)而點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)P1（x，-y）的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)顯然點(diǎn)P′與點(diǎn)P1′關(guān)于y軸對稱，則③是正確的.

對于④，設(shè)同一條直線上的三點(diǎn)A（2，0），B（0，-1），C（4，1），它們對應(yīng)的“伴隨點(diǎn)”分別為A′（0，-），B（′-1，0），顯然此三點(diǎn)不共線，則④是錯誤的.故填②③.

點(diǎn)評：解決此類創(chuàng)新構(gòu)造問題的常見思維：一是通過舉出特例，包括特殊點(diǎn)、特殊函數(shù)、特殊數(shù)列、特殊圖形等方式來說明；二是通過邏輯推理，結(jié)合創(chuàng)新構(gòu)造的關(guān)系建立相應(yīng)的關(guān)系式等來化歸與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得以判斷.有時多種思維方式并用，綜合來處理與判斷此類創(chuàng)新問題.

四、新概念

通過創(chuàng)新概念，以集合、函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等的常規(guī)知識為問題背景，直接利用創(chuàng)新概念的內(nèi)含來構(gòu)造相應(yīng)的關(guān)系式（或不等式等），結(jié)合相關(guān)知識中的性質(zhì)、公式來綜合與應(yīng)用.

例4 （2017·江蘇卷·19）對于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列{an}滿足：an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan對任意正整數(shù)n（n＞k）總成立，則稱數(shù)列{an}是“P（k）數(shù)列”.

（1）證明：等差數(shù)列{an}是“P（3）數(shù)列”；

（2）若數(shù)列{an}既是“P（2）數(shù)列”，又是“P（3）數(shù)列”，證明：{an}是等差數(shù)列.

分析：（1）根據(jù)條件設(shè)出等差數(shù)列{an}的公差d，并確定對應(yīng)的通項(xiàng)公式，通過n≥4時，結(jié)合相應(yīng)通項(xiàng)之間的轉(zhuǎn)化，并利用創(chuàng)新概念來證明即可；（2）結(jié)合數(shù)列{an}既是“P（2）數(shù)列”，又是“P（3）數(shù)列”，建立相應(yīng)的關(guān)系式，通過轉(zhuǎn)化并結(jié)合等差數(shù)列的定義來證明即可.

證明：（1）因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則an=a1+（n-1）d，從而，當(dāng)n≥4時，an-k+an+k=a1+（n-k-1）d+a1+（n+k-1）d=2a1+2（n-1）d=2an，k=1，2，3，所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an，因此等差數(shù)列{an}是“P（3）數(shù)列”；

（2）數(shù)列{an}既是“P（2）數(shù)列”，又是“P（3）數(shù)列”，因此，

當(dāng)n≥3時，an-2+an-1+an+1+an+2=4an， ①

當(dāng)n≥4時，an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an. ②

由①知，an-3+an-2=4an-1-（an+an+1）， ③

an+2+an+3=4an+1-（an-1+an）， ④

將③④代入②，得an-1+an+1=2an，其中n≥4，

所以a3，a4，a5，…是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d′，

在①中，取n=4，則a2+a3+a5+a6=4a4，所以a2=a3-d′，

在①中，取n=3，則a1+a2+a4+a5=4a3，所以a1=a3-2d′.

所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

點(diǎn)評：解決此類創(chuàng)新概念問題的關(guān)鍵：一是認(rèn)真審題，讀懂創(chuàng)新概念的含義；二是活用概念，即會利用創(chuàng)新概念，在相關(guān)知識的基礎(chǔ)上加以類比、提升與拓展，轉(zhuǎn)化為熟悉的相關(guān)問題；三是根據(jù)題意，并結(jié)合相關(guān)知識加以分析與求解，達(dá)到創(chuàng)新能力與轉(zhuǎn)化思維的統(tǒng)一，知識與能力的綜合，真正達(dá)到創(chuàng)新的目的.

其實(shí)，許多新定義型問題所給信息量大、復(fù)雜，難以一步建立聯(lián)系.此時需通過綜合分析，在紛繁的信息中提煉有用的信息，通過提煉信息、原形遷移、類比推理等方法，逐步逼近問題，最后求解.解決此類新定義型問題的要求相對較高，它要求考生在考場上能夠?qū)τ嘘P(guān)信息進(jìn)行提取、加工和處理，充分考查了考生的臨場應(yīng)變能力、靈活應(yīng)用基礎(chǔ)知識分析問題和解決問題的能力.J