歐氏空間中兩兩夾角相等的向量組的一些性質(zhì)

凌雪岷，潘娟娟，李 寧

（1.安徽新華學(xué)院通識(shí)教育部，安徽合肥230031；2.淮南師范學(xué)院金融學(xué)院，安徽淮南232038）

設(shè)n為任意正整數(shù)，如果把有序?qū)崝?shù)組（x1，x2，…，xn）叫做點(diǎn)，記作X；將所有這樣的點(diǎn)X的集合叫做n維空間，又叫做n+1維空間中的“超”平面；把滿足某種關(guān)系諸如不等式、方程（組）關(guān)系的有序?qū)崝?shù)集合叫做n維空間中的幾何圖形［1］。若對(duì)這樣的點(diǎn)賦予線性性質(zhì)與度量性質(zhì)，則可以討論n維歐氏空間中的有關(guān)問題。本文將解析幾何和線性代數(shù)相結(jié)合，利用行列式和齊次線性方程組的若干性質(zhì)［2］，對(duì)平面解析幾何中的向量角進(jìn)行高維推廣，研究歐氏空間En中兩兩夾角相等的向量組的性質(zhì)，得到4個(gè)有意義的結(jié)論，為歐氏空間性質(zhì)的進(jìn)一步研究提供一定的理論基礎(chǔ)，在一定程度上也說明了學(xué)科結(jié)合的證明方法在日常高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用。

本文給出關(guān)于歐氏空間的相關(guān)定義和說明，其他未明確指出的參見文獻(xiàn)［3-6］。

定義1［6］如果對(duì)n維向量，引進(jìn)二維向量中定義的加法、數(shù)乘運(yùn)算，則稱此空間為n維向量空間（或線性空間），并記作Ln。

定義2［6］對(duì)于如上定義的n維向量空間Ln，引進(jìn)二維向量中定義的內(nèi)積，則稱這樣的向量空間為歐幾里得空間，簡稱為歐氏空間，記為En（n≥2）。

定義3［6］在En中，n維非零向量之間的夾角規(guī)定為

性質(zhì)1 En中單位向量組兩兩成相等的銳角 θ=arccosσ1，其中，則線性無關(guān)。

因此

記

由行列式的性質(zhì)知，detD（σ）=（1-σ）k-1［1+（k-1）σ］＞0，所以方程（1）只有零解，即λ1=λ2=…=λk=0，因此線性無關(guān)。

性質(zhì)2 任意k≤n，En中存在單位向量，兩兩成相等的銳角θ=arccosσ2，其中σ2=

證明 由于D（σ）是正定實(shí)對(duì)稱矩陣，故存在k階實(shí)對(duì)稱矩陣Pk，使得D（σ）=PkPkT。取En的一組基｛ε1，ε2，…，εn｝，其中 εi=（0，…，0，1，0，…，0），令

由于 dimV（e1，e2，…，ek）≤n 及｛e1，e2，…，ek｝線性無關(guān)，因此 k≤n。

性質(zhì)3 En中至多有n+1個(gè)兩兩成鈍角的向量。

證明 對(duì)歐氏空間的維數(shù)n進(jìn)行歸納。

當(dāng)n=2時(shí)，命題顯然成立。

假設(shè)維數(shù)為n-1（n≥3）時(shí)命題成立，現(xiàn)證明對(duì)n維空間命題也成立。用反證法，設(shè)V中有單位向量組｛e1，e2，…，en+1，en+2｝，（ei，ej）＜0且1≤i≠j＜n+2。

記 en+2生成的空間為 U，et=ξt+λten+2，ξt∈U⊥，λt∈R，1≤t≤n+1。于是

所以，（ξt，ξs）＜-λtλs＜0。這樣，在n-1維空間U⊥中存在n+1個(gè)向量ξ1，ξ2，…，ξn+1兩兩成鈍角，與歸納假設(shè)矛盾。

再證En中存在n+1個(gè)兩兩成鈍角的向量。在V中取兩兩正交的單位向量組｛e1，e2，…，en｝組成一組基，在這組基下向量 α=x1e1+x2e2+…+xnen，其坐標(biāo)為 α=（x1，x2，…，xn）。作

則

從而

這就證明了用n+1個(gè)坐標(biāo)αk代表的向量兩兩不共線且兩兩內(nèi)積小于0，因此兩兩成鈍角。

性質(zhì) 4 En中存在 n+1 個(gè)單位向量｛e1，e2，…，en+1｝兩兩成相等的鈍角且角度唯一。

證明 取 En中的一組基｛ε1，ε2，…，εn+1｝，令

再證唯一性。設(shè) En中單位向量組｛α1，α2，…，αn+1｝兩兩成鈍角 θn'，cosθn'=λ。取該空間的一組基｛ε1，ε2，…，εn｝，設(shè)（α1，α2，…，αn+1）=（ε1，ε2，…，εn）P，P∈Rn×（n+1），則

由于r（PTP）=r（P）＜n+1，于是detPTP=（1-λ）n（1+nλ）=0，而-1＜λ＜0，得，即 θn'=θn。

鑒于平面解析幾何的直觀性和線性代數(shù)的抽象性特點(diǎn)，本文將解析幾何和線性代數(shù)兩門學(xué)科結(jié)合起來，利用行列式和齊次線性方程組的有關(guān)結(jié)論，研究了歐氏空間En中兩兩夾角相等問題，得出如下結(jié)論：

（1）兩兩夾角相等的向量組是線性無關(guān)的；

（2）En中存在 k（k≤n）個(gè)單位向量，它們兩兩成相等的銳角 θ=arccosσ2；

（3）En中至多有n+1個(gè)兩兩成鈍角的向量；

（4）En中存在n+1個(gè)單位向量，它們兩兩成相等的鈍角且角度唯一。

這些結(jié)論豐富了線性代數(shù)的內(nèi)容，為后續(xù)的研究提供了一定的理論基礎(chǔ)。

［1］陳志杰.高等代數(shù)與解析幾何［M］.北京:科學(xué)出版社,2002.

［2］李尚志.線性代數(shù)［M］.北京:高等教育出版社,2011.

［3］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)［M］.北京:高等教育出版社,1988.

［4］張禾瑞,郝丙新.高等代數(shù)［M］.北京:高等教育出版社,1999.

［5］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)［M］.北京:高等教育出版社,2016.

［6］沈文選.單形論導(dǎo)引［M］.長沙:湖南師范大學(xué)出版社,2000.