用教材教：“根的判別式”教學(xué)與思考

☉福建省三明市第三中學(xué) 馬木龍

一元二次方程在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位，上承一元一次方程、多項(xiàng)式乘法（乘法公式）及因式分解的知識(shí)，下接二次函數(shù)等其他內(nèi)容.一元二次方程根的判別式也是一個(gè)聯(lián)通廣泛的重要內(nèi)容，而在有些教材中，卻只是將其納入一元二次方程的公式法一小節(jié)，用很小的篇幅“一帶而過”.實(shí)際教學(xué)中，多數(shù)教師都會(huì)在此處增設(shè)課時(shí)，圍繞根的判別式進(jìn)行專題教學(xué).本文梳理最近我們備課組打磨而成的教學(xué)設(shè)計(jì)，并闡釋教學(xué)立意，供研討.

一、一元二次方程求根公式教學(xué)流程

教學(xué)環(huán)節(jié)1：復(fù)習(xí)引入.

問題1：解方程：（1）x2+x－1=0；（2）x2+2x+1=0；（3）x2+x+1=0.

問題2：解關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）.

教學(xué)組織：問題1中3個(gè)一元二次方程分別有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根、沒有實(shí)數(shù)根；問題2則走向一般，安排學(xué)生利用配方法或熟記求根公式，由這個(gè)習(xí)題可以引出本課關(guān)注的主題：根的判別式.

要求學(xué)生上臺(tái)板演如下內(nèi)容（如果學(xué)生步驟不全或語句不規(guī)范，安排其他學(xué)生上臺(tái)訂正）：

當(dāng)b2－4ac＞0時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)b2－4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)b2－4ac＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.

定義符號(hào)：我們把b2－4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式，通常用符號(hào)“Δ”（讀作：/delt?）表示，記作Δ=b2－4ac.讓學(xué)生感受到引出符號(hào)“Δ”也是數(shù)學(xué)“求簡”書寫表達(dá)的追求，感受數(shù)學(xué)前后的一致性.

教學(xué)環(huán)節(jié)2：完善性質(zhì).

對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式Δ來說，逆過來思考，如果該一元二次方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則必有b2－4ac＞0.成果擴(kuò)大，我們還應(yīng)該從“正、反”兩方面來認(rèn)識(shí)，這就是：

Δ＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

Δ=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

Δ＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根.

教學(xué)組織：對(duì)于這種等價(jià)符號(hào)，要提醒學(xué)生注意，它可以“雙向推導(dǎo)，正反使用”.接下就是跟進(jìn)一些相關(guān)的習(xí)題應(yīng)用.

教學(xué)環(huán)節(jié)3：例題講評(píng).

例1不解方程，判斷方程根的情況.

跟進(jìn)練習(xí)：不解方程，判斷下列方程根的情況：

（1）3x2=－4x－5；（2）4x（x－5）+25=0；（3）2x2+6x－3=0.

教學(xué)組織：主要訓(xùn)練根的判別式的“正向”使用，教師注意示范解題格式，比如，先將一元二次方程化為一般形式，再明確二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，最后計(jì)算根的判別式，判定方程根的情況.

例2不解方程，判斷關(guān)于x的方程x2－mx－m2=0（其中m是實(shí)數(shù)）的根的情況.

教學(xué)組織：從常數(shù)走向含參數(shù)的根的判別式的計(jì)算，主要訓(xùn)練根的判別式的“正向”使用，根據(jù)其正負(fù)判定方程根的情況.

例3已知關(guān)于x的方程x2+3x－a+2=0（其中a是實(shí)數(shù)）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，試判斷關(guān)于y的一元二次方程ay2+2（a+1）y+a－1=0的根的情況.

變式跟進(jìn)：已知關(guān)于x的方程x2+3x－a+2=0（其中a是實(shí)數(shù)）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，試判斷關(guān)于y的方程ay2+2（a+1）y+a－1=0的根的情況.

教學(xué)組織：例3所給的兩個(gè)方程都是一元二次方程，前一個(gè)方程的根的判別式Δ≥0，算出a≥，進(jìn)一步計(jì)算后一個(gè)方程的Δ的表達(dá)式，并把a(bǔ)≥代入分析其取值范圍，還要注意二次項(xiàng)系數(shù)a≠0；而“變式跟進(jìn)”則去除這個(gè)限制條件，需要考慮a＝0時(shí)，關(guān)于y的方程為一元一次方程的情形.

教學(xué)環(huán)節(jié)4：小結(jié)檢測.

引導(dǎo)學(xué)生回顧本課所學(xué)，從根的判別式“正反”運(yùn)用的角度進(jìn)行小結(jié)，談學(xué)習(xí)心得體會(huì)，談解題過程中的一些注意事項(xiàng)和值得積累的方法等.

最后給出一組當(dāng)堂檢測題（.略）

二、關(guān)于根的判別式的教學(xué)思考

1.根的判別式新授課上要加強(qiáng)解題格式與解法步驟的規(guī)范表達(dá).

根的判別式的新授課教學(xué)，需要教師示范解題格式，并跟進(jìn)同類練習(xí)讓學(xué)生模仿練習(xí)，掌握先化為一般形式、找準(zhǔn)各項(xiàng)系數(shù)，然后代入根的判別式計(jì)算，最后下結(jié)論的解題順序，不能隨意跳過程、省步驟，也不要書寫更多的運(yùn)算過程，比如，根的判別式的算式是如何計(jì)算的，這類過程可以在草稿上進(jìn)行，而不必展示出來，也就是要學(xué)會(huì)“省略非必要表達(dá)成分”的解題要求.此外，根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)看，少數(shù)學(xué)生對(duì)解題格式、規(guī)范要求比較漠視，常?！霸搶懙牟粚?，不該寫的亂寫”，對(duì)于這類現(xiàn)象，可以通過黑板或投影展示他們的不規(guī)范解法進(jìn)行當(dāng)堂糾正與評(píng)析，引起他們的重視，也讓其他學(xué)生加深規(guī)范表達(dá)的要求.

2.根的判別式與“含參”一元二次方程關(guān)聯(lián)緊密，需要變式多練.

直接判斷一個(gè)一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根的題型常常有如下兩類：一類是各項(xiàng)系數(shù)均為已知常數(shù)，另一種是各項(xiàng)系數(shù)中含有1個(gè)或多個(gè)參數(shù)；后者往往較難，而且題型豐富多樣，是需要認(rèn)真組織訓(xùn)練和講評(píng)的題型.目前各地考卷中后一類的“含參”問題漸漸成為一種命題熱點(diǎn)，值得解題教學(xué)重視.根據(jù)講評(píng)經(jīng)驗(yàn)，這類問題往往有幾個(gè)障礙使得有些學(xué)生適應(yīng)性不好.障礙之一，不太容易辨識(shí)二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)或常數(shù)項(xiàng)，特別是當(dāng)它們并不是一個(gè)單項(xiàng)式時(shí)，有些學(xué)生容易看錯(cuò)、寫錯(cuò)這些系數(shù)或常數(shù)項(xiàng)中的某一項(xiàng)，造成高位錯(cuò)誤，后續(xù)計(jì)算往往就是無效解答；障礙之二，有些含參問題計(jì)算出來的根的判別式是一個(gè)二次三項(xiàng)式，需要配方成完全平方式來進(jìn)行分析，而基礎(chǔ)不好的學(xué)生對(duì)配方的訓(xùn)練不到位；障礙之三，如果有兩個(gè)及以上參數(shù)綜合起來，往往除了根的判別式會(huì)提供一個(gè)數(shù)量關(guān)系，還會(huì)有另外的條件信息帶來參數(shù)之間的等量關(guān)系，這時(shí)就需要聯(lián)立關(guān)于參數(shù)的方程，通過消元（消參）策略實(shí)現(xiàn)從“多參”到“一參”，有效轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)求解.當(dāng)然，教師對(duì)學(xué)情的了解也會(huì)影響選題或變式的方向或數(shù)量.

3.根的判別式在不同時(shí)期復(fù)習(xí)時(shí)都值得用一節(jié)習(xí)題課主題關(guān)注.

根的判別式雖然出現(xiàn)在一元二次方程求根公式的一個(gè)步驟中，但是它的地位十分重要，解題應(yīng)用也十分廣泛.像上文中介紹的課例一樣，在新授課期間值得我們安排一節(jié)課主題學(xué)習(xí)根的判別式，講解、規(guī)范相關(guān)題型的答題格式；在一元二次方程單元復(fù)習(xí)時(shí)，還需要專門安排根的判別式的專題復(fù)習(xí)，到時(shí)可結(jié)合一元二次方程的定義（二次項(xiàng)不為0）與根與系數(shù)的關(guān)系綜合訓(xùn)練；在二次函數(shù)學(xué)習(xí)之后，結(jié)合二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)的研究，需要再次提出根的判別式這個(gè)式子（“數(shù)”的視角）可對(duì)應(yīng)拋物線（“形”的視角）與x軸的交點(diǎn)問題；待到中考復(fù)習(xí)時(shí)，還可以從根的判別式的角度回看二次三項(xiàng)式、完全平方式，甚至不少數(shù)式最值（如對(duì)于正數(shù)x，分式的最大值如何分析）的問題.

三、寫在后面

李庾南老師及其“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)研究團(tuán)隊(duì)近年來倡導(dǎo)的“學(xué)材再建構(gòu)”深得各地一線教師的共鳴和響應(yīng)，從《中學(xué)數(shù)學(xué)（下）》刊發(fā)的很多課例文章來看，老師們對(duì)教材、學(xué)材的鉆研和理解都達(dá)到了一定的深度，特別是教學(xué)內(nèi)容的取舍既源于教材又高于教材達(dá)到了專業(yè)水準(zhǔn).我們?cè)谏厦娼o出的根的判別式的課例與思考，也是對(duì)教材的一次靈活處理和增加課時(shí)的專業(yè)判斷，歡迎大家提出批評(píng)與改進(jìn)意見.

1.張曉波.一元二次方程起始課：從教教材走向用教材教——對(duì)兩節(jié)“青優(yōu)展評(píng)課”的概述與商榷［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2018（3）.

2.戴璐.基于問題驅(qū)動(dòng)的單元教學(xué)實(shí)踐與反思——以一元二次方程起始課教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2018（1）.

3.劉東升.關(guān)聯(lián)性：一個(gè)值得重視的研究領(lǐng)域［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（12）.

4.劉才云.賞析經(jīng)典課例，感悟“三學(xué)”要義——李庾南老師“等腰三角形（第1課時(shí)）”賞析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2018（3）.F