等效電源法原理及應(yīng)用

王利福+付艷明+郭繼成

摘 要：本文探討了物理等效電源法的基本方法和思想，并舉例說(shuō)明了等效電源法在很多方面的應(yīng)用，該方法能夠化繁為簡(jiǎn)，巧妙解決物理問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：等效電源；戴維南定理；等效電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻

一、 舉例說(shuō)明電源的等效電動(dòng)勢(shì)和等效內(nèi)阻的求法

戴維南定理：任意線性有源二端網(wǎng)絡(luò)可用一個(gè)恒壓源與一個(gè)電阻的串聯(lián)來(lái)等效替換，恒壓源的電動(dòng)勢(shì)等于被換網(wǎng)絡(luò)的開路電壓，串聯(lián)電阻的阻值等于被換網(wǎng)絡(luò)的“除源”（只除掉其電動(dòng)勢(shì)而保留其內(nèi)阻）網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。

求解虛線框內(nèi)等效電源的等效電動(dòng)勢(shì)和等效內(nèi)阻。

例1 圖1中等效電動(dòng)勢(shì)E′=E，等效內(nèi)阻r′=r+R1。

例2 圖2中等效電動(dòng)勢(shì)E′等于外電路斷開時(shí)的路端電壓，即等于AB兩端接上理想電壓表時(shí)的示數(shù)，所以，圖2中的等效電動(dòng)勢(shì)等于電阻R2兩端的電壓，E′=R2r+R2E。“除源”網(wǎng)絡(luò)的等效內(nèi)阻r′等于r和R2的并聯(lián)總電阻，也等于將其短路后的等效電動(dòng)勢(shì)除以短路電流，圖2（c）（d）中理想電流表的示數(shù)相同，I=Er（電流表將R2短路）=E′r′，計(jì)算得等效內(nèi)阻r′=E′E·r=r·R2r+R2。

例3 圖3中等效電動(dòng)勢(shì)E′=R2r+R1+R2E，等效內(nèi)阻r′=（r+R1）·R2（r+R1）+R2。

例4 圖4中等效電動(dòng)勢(shì)E′=E1R2+E2R1R1+R2，等效內(nèi)阻r′=R1R2R1+R2。

求解等效電源電動(dòng)勢(shì)：當(dāng)AB間斷路時(shí)，流經(jīng)兩電源的電流相等，設(shè)在兩電源組成的閉合回路里，電流順時(shí)針?lè)较?，大小為I，則UAB=E1-I·R1=E2+I·R2①，根據(jù)基爾霍夫定律E1-I·R1-E2-I·R2=0得I=E1-E2R1+R2②，將②式代入①式中得UAB=E′=E1R2+E2R1R1+R2。

求解等效電源內(nèi)阻：當(dāng)AB間短路時(shí)，流經(jīng)AB的電流最大，Imax=E1R1+E2R2=E1R2+E2R1R1R2，又因?yàn)镮max=E′r′，所以等效內(nèi)阻r′=R1R2R1+R2，即等于除源網(wǎng)絡(luò)R1和R2的并聯(lián)總電阻。

當(dāng)E1=E2=E且R1=R2=r時(shí)，E′=E且r′=r2，本結(jié)論可以推廣到n個(gè)相同電源并聯(lián)的情況，其電動(dòng)勢(shì)等于原電源（指每個(gè)）的電動(dòng)勢(shì)，其內(nèi)阻等于原電源內(nèi)阻的1/n。并聯(lián)電源的好處不在于提高電動(dòng)勢(shì)，而在于把負(fù)載電流平分給每個(gè)電源，從而減輕每個(gè)電源的負(fù)擔(dān)。所以，要提供大電流可用并聯(lián)電源，要提供高電壓可用串聯(lián)電源。

二、 舉例說(shuō)明等效電源法的應(yīng)用

1. 計(jì)算通過(guò)某一電阻的電流

例5 如圖5所示，已知E1=32 V，E2=24 V，R1=5 Ω，R2=6 Ω，R3=54 Ω，求各支路的電流。

解：由例4得E′=31211V，r′=3011Ω。根據(jù)I3=E′r′+R3得：I3=0.5 A，UAB=27 V；根據(jù)UAB=E1-I1R1得：I1=1 A；根據(jù)UAB=E2+I2R2得：I2=0.5 A，且向下流過(guò)R2。通過(guò)分析結(jié)果，發(fā)現(xiàn)流過(guò)R1的電流I1是干路電流，它等于流過(guò)R2和R3的這兩個(gè)支路電流之和，這說(shuō)明電源E2和R2、R3一樣，相當(dāng)于E1的用電器，在實(shí)際應(yīng)用中，一般不將兩個(gè)電動(dòng)勢(shì)不等的電源并聯(lián)起來(lái)給外電阻供電。

例6 如圖6所示，若電源與電阻R1、R2的參數(shù)均未知，當(dāng)A、B端接入電阻R3時(shí)，測(cè)得通過(guò)R3的電流為Ix。當(dāng)R3=10 Ω，Ix=1 A；當(dāng)R3=18 Ω時(shí)，Ix=0.6 A，則當(dāng)R3等于多少時(shí)，Ix=0.1 A？

解：由例3得，將虛線框內(nèi)的電路等效成一個(gè)新的電源，就可以成功避開未知參數(shù)R1、R2，再根據(jù)題中已知，E′、r′、R3三個(gè)未知數(shù)，三個(gè)方程有唯一解。解得R3=118 Ω。

2. 計(jì)算可變電阻的最大功率

例7 如圖6所示，若已知E=6 V，r=1 Ω，R1=2 Ω，R2=6 Ω，求可變電阻R3等于多少時(shí)它消耗的功率最大？

解：由例3得E′=4 V、r′=2 Ω，所以當(dāng)R3=r′=2 Ω時(shí)，它消耗的功率最大，P3max=2 W。

定性分析：當(dāng)可變電阻R3的阻值接近等效電源的內(nèi)阻時(shí)，其消耗的功率增大；遠(yuǎn)離時(shí)，其消耗的功率減小。

3. 巧解電路動(dòng)態(tài)問(wèn)題

例8 在圖6中R3兩端電壓的變化量與其電流的變化量之比隨R3的增大/減小而怎么變化呢？

解：根據(jù)E′=U3+I3r′和E′=U3′+I3′r′得：ΔU3ΔI3=U3′-U3I3′-I3=r′，與R3的增減無(wú)關(guān)。

4. 計(jì)算可變電阻實(shí)際消耗的功率

例9 若將圖6中的電阻R3替換成已知伏安特性曲線的白熾燈泡L，且已知電源的電動(dòng)勢(shì)E=100 V，r+R1=100 Ω，R2=100 Ω，白熾燈泡L的IU圖線如圖7中實(shí)線所示。求燈泡兩端的電壓和通過(guò)燈泡的電流以及燈泡的實(shí)際電功率。

解：由例3得E′=50 V、r′=50 Ω，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式I=E′r′-Ur′=1-U50，作出等效電源的IU圖像，如圖7中虛線所示，與燈泡的IU圖像交于N點(diǎn)，從圖中讀出：IN=0.45 A，UN=28 V，計(jì)算實(shí)際功率得PN=UNIN=12.6 W。

對(duì)等效電源和燈泡只能列出兩個(gè)歐姆定律的方程，而本題有電壓、電流和電阻三個(gè)未知數(shù)，所以本題是無(wú)法通過(guò)計(jì)算法算出結(jié)果的，那么什么情況下才能使得燈泡兩端的電壓等于等效電源的路端電壓，流經(jīng)燈泡的電流等于等效電源的干路電流？既然不能運(yùn)用計(jì)算法，我們就借助圖像法，尋找等效電源的伏安特性曲線與燈泡的交點(diǎn)N，再?gòu)淖鴺?biāo)軸上讀出數(shù)據(jù)來(lái)，這也是解決實(shí)際問(wèn)題的重要方法。

5. 分析伏安法測(cè)定電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻的系統(tǒng)誤差

由例2得：采用圖8所示的電路，電動(dòng)勢(shì)測(cè)量值E′=R2r+R2E小于真實(shí)值E，內(nèi)阻測(cè)量值r′=r·R2r+R2也小于真實(shí)值r。

同理，由例1得：采用圖9所示的電路，電動(dòng)勢(shì)測(cè)量值等于真實(shí)值，內(nèi)阻測(cè)量值r′=r+R1大于真實(shí)值r。

通過(guò)前面的例題總結(jié)出：運(yùn)用等效電源法解題的最大優(yōu)勢(shì)就是利用等效電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻是個(gè)常量，與外電路無(wú)關(guān)的特點(diǎn)，將復(fù)雜的混聯(lián)電路轉(zhuǎn)化為只有等效電源與某一外電阻串聯(lián)的簡(jiǎn)單電路，從而實(shí)現(xiàn)題目的化繁為簡(jiǎn)，化難為易，巧妙地解決了很多高中物理中的難題。

參考文獻(xiàn)：

[1]梁燦彬，秦光戎，梁竹健.電磁學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1980.

[2]王平杰.高中物理思想方法提煉與拓展[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2012.

作者簡(jiǎn)介：

王利福，內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市，內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院；

付艷明，郭繼成，內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市，內(nèi)蒙古師范大學(xué)附屬中學(xué)。endprint