“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)設(shè)計(jì)

王荔枝

雙曲線是圓錐曲線的一個(gè)重要幾何模型.它在日常生活、生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用.本節(jié)課是在學(xué)生初步認(rèn)識(shí)圓錐曲線橢圓的基礎(chǔ)上，運(yùn)用類比的方法研究雙曲線，使學(xué)生體會(huì)聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點(diǎn).在雙曲線的學(xué)習(xí)中，學(xué)生要熟練掌握探究定義、推導(dǎo)方程的思想方法，為解析幾何的學(xué)習(xí)起到承上啟下、完善建構(gòu)、拓展提高的作用.

一、學(xué)情分析及教學(xué)重難點(diǎn)

1.學(xué)情分析.學(xué)生已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了解析幾何課程的特征，并且已經(jīng)初步體驗(yàn)到數(shù)形結(jié)合及等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，有了研究橢圓的概念和標(biāo)準(zhǔn)方程的經(jīng)歷.這些知識(shí)都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).在研究橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，學(xué)生已有動(dòng)手體驗(yàn)和探究興趣，有一定的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芰σ约耙欢ǖ挠^察分析、猜想判斷及邏輯推理的能力.學(xué)生剛剛升入高二，分析問題、解決問題的能力和運(yùn)算能力還有待提高，對(duì)于復(fù)雜問題的解決還需教師的啟發(fā)、引導(dǎo)、示范.

2.教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).重點(diǎn)是雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程.難點(diǎn)是對(duì)雙曲線定義的剖析和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程的化簡(jiǎn).

二、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能.通過實(shí)驗(yàn)，抽象出雙曲線的定義；通過類比橢圓，推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2.過程與方法.讓學(xué)生經(jīng)歷雙曲線的形成過程，建構(gòu)模型，抽象概括定義.運(yùn)用自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流的學(xué)習(xí)方式.通過類比橢圓，學(xué)習(xí)雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程.

3.情感態(tài)度價(jià)值觀.通過查找實(shí)例資料和動(dòng)手實(shí)踐，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐又作用于實(shí)踐，生活中處處有數(shù)學(xué).讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

三、教學(xué)過程

1.問題導(dǎo)引，進(jìn)入新課（進(jìn)入定義研究）.問題1：同學(xué)們，圓錐曲線的家族有幾個(gè)成員？（容易回答：3個(gè).）問題2：我們認(rèn)識(shí)了幾個(gè)？都是誰？（容易回答：1個(gè)，橢圓.）問題3：我們是如何學(xué)習(xí)橢圓的？（容易回答：先學(xué)習(xí)定義，再探究方程，最后研究性質(zhì).）設(shè)計(jì)意圖：回顧橢圓定義為引出雙曲線的定義作好鋪墊.問題4：我們今天要研究第二個(gè)成員雙曲線，如何研究呢？（容易回答：類比橢圓，按照相同的順序和方法研究.）問題5：橢圓的是如何定義的呢？如何畫出來的？（容易回答：闡述定義，并敘述實(shí)踐做橢圓的過程.）問題6：我們把橢圓定義中的“和”改為“差”會(huì)如何呢？對(duì)于這個(gè)問題課前已以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的形式布置給學(xué)生（讓學(xué)生以小組形式完成），學(xué)生可以通過上網(wǎng)搜索、查閱資料等方式探究平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.

2.學(xué)生實(shí)踐，感知曲線.各小組學(xué)生根據(jù)自己組的設(shè)計(jì)（自制拉鏈或筆筒教具），完成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).設(shè)計(jì)意圖：動(dòng)手操作，直觀感知，提高學(xué)合作意識(shí)和合作能力，激發(fā)學(xué)生興趣.

3.動(dòng)態(tài)演示，分析曲線.問題7：根據(jù)你們的作圖，誰能給出雙曲線的定義？教師借助幾何畫板展示與學(xué)生一道抽象出雙曲線定義.問題8：形成雙曲線的動(dòng)點(diǎn)滿足什么幾何條件？絕對(duì)值問題：左右兩支上的點(diǎn)分別滿足的幾何條件.參數(shù)限制問題：參數(shù)2a可以是任意數(shù)嗎？

4.小組展示，實(shí)際應(yīng)用.各小組利用PPT展示雙曲線的實(shí)際應(yīng)用，如冷卻塔，埃菲爾鐵塔，北京交通規(guī)劃圖等圖片.設(shè)計(jì)意圖：（1）讓學(xué)生了解雙曲線在科研、生產(chǎn)、實(shí)際生活的作用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活，以數(shù)學(xué)模型為素材.（2）從具體到抽象，將實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)模型，有利于認(rèn)識(shí)事物.問題9：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程又是怎樣的呢？該如何探究？

5.設(shè)計(jì)方案，獨(dú)立完成（推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程）.問題10：根據(jù)橢圓的研究方法，我們應(yīng)該如何探究雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？（學(xué)生類比橢圓的研究過程，說出研究方案，然后獨(dú)立完成.）問題11：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有幾種形式？雙曲線呢？（容易產(chǎn)生另一種形式的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)一步鞏固類比的方法.）

6.學(xué)以致用，鞏固提高.已知雙曲線的焦點(diǎn)為F1（-5，0），F(xiàn)2（5，0），雙曲線上一點(diǎn)P到F1、F2的距離差的絕對(duì)值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

四、教學(xué)反思

在本節(jié)課的教學(xué)中，重點(diǎn)放在定義的形成和標(biāo)準(zhǔn)方程的掌握，符合高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的要求，引導(dǎo)學(xué)生把新舊知識(shí)有機(jī)融合，掌握知識(shí)系統(tǒng)結(jié)構(gòu).運(yùn)用多媒體輔助教學(xué)，既能直觀地展示點(diǎn)的軌跡，又能體現(xiàn)其中的數(shù)量關(guān)系，對(duì)于學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生既起到了激發(fā)興趣的作用，又能從數(shù)與形的關(guān)系中找到解決問題的切入點(diǎn).endprint