通過解決問題的反思獲得解決問題的途徑

摘 要：張奠宙老師說：“核心素養(yǎng)基于數(shù)學(xué)知識(shí)技能，又高于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)技能。它反應(yīng)數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想?！笨梢姡诵乃仞B(yǎng)的獲得少不了探究和反思的教學(xué)過程。教師在精心設(shè)計(jì)問題的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)研究的方式和方法，指導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行多角度的分析與探索，從學(xué)習(xí)材料中選擇或確定專題進(jìn)行研究，并在研究的過程中學(xué)生能主動(dòng)獲取知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)、解決問題，進(jìn)一步提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和探究能力及綜合素質(zhì)。下面筆者談?wù)剰恼n本一個(gè)性質(zhì)推導(dǎo)過程的反思中，總結(jié)解決一些問題的途徑，以期待培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；知識(shí)技能；教學(xué)

一、 課本環(huán)節(jié) 提出問題

（浙教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)4.3 相似三角形的性質(zhì)2）

我們知道相似三角形中有關(guān)相似比與周長(zhǎng)比和面積比的關(guān)系是：相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方。這句話本身不難記，學(xué)生也應(yīng)該很容易接受，為什么教材中要安排這樣一個(gè)探索的環(huán)節(jié)？花這么長(zhǎng)的時(shí)間解決一個(gè)看似很簡(jiǎn)單的問題到底要傳授學(xué)生什么呢？

二、 歸納總結(jié) 提煉思想

經(jīng)過前面的操作過程，不僅讓每位學(xué)生有一個(gè)非常直觀的感受，而且也兼顧學(xué)生的主體發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生不斷主動(dòng)參與到知識(shí)的形成過程中，為后面的學(xué)習(xí)作了一個(gè)很好的鋪墊。

（一） 探索——撥開云霧見月明

學(xué)生們很快給出了兩個(gè)相似三角形，我請(qǐng)了一個(gè)利用方格子畫出兩個(gè)相似三角形的學(xué)生展示他的結(jié)果。顯然可以得到以下結(jié)論：

相似三角形的周長(zhǎng)之比是相似比，面積之比是相似比的平方。

師：同學(xué)們都有這樣的結(jié)論嗎？

生：是的。

師：那我們是不是可以說這就是相似三角形的一個(gè)性質(zhì)了呢？

生1：是相似三角形的性質(zhì)。

生2：但是我們舉的例子畢竟還是有限的幾種，并不能代表所有的相似三角形啊。所以我們得證明任意情況才能說它是性質(zhì)。

師：這位同學(xué)分析的非常有道理，那任意情況又要怎么證呢？

生3：把具體的數(shù)值變成字母就可以了。

師：很好。那我們看看，上面我們已經(jīng)總結(jié)出來的這個(gè)結(jié)論中，已知條件是什么呢？

生4：兩個(gè)相似三角形，還有就是不管是周長(zhǎng)之比還是面積之比都是與相似比建立關(guān)系，所以相似比也是已知條件。

經(jīng)過師生的交流合作，于是有了以下的證明過程（見書本）。最后板書。

（二） 總結(jié)——喝水不忘挖井人

師：反正都是要證明任意情況的，前面的合作學(xué)習(xí)還有什么必要呢？不是多此一舉嗎？

生5：如果沒有前面的合作學(xué)習(xí)，那我們就不會(huì)知道周長(zhǎng)比和面積比與相似比的具體關(guān)系，那我們證什么都不知道啊。

生6：而且我們?cè)谧C任意兩個(gè)相似三角形的時(shí)候，也是要和前面特殊情況一樣，把周長(zhǎng)、面積分別求出來，也就是說其實(shí)方法是一樣的，就是把具體數(shù)值換成字母。

通過上面的教學(xué)過程，我們不妨做一個(gè)實(shí)踐總結(jié)：

第一步：操作。學(xué)生手頭上首先得構(gòu)造一對(duì)相似三角形，這也是對(duì)已學(xué)過的判定方法的一種運(yùn)用，用三角板畫，用方格子畫，用尺規(guī)畫等等，總之，所畫的這對(duì)相似三角形三對(duì)對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度已知，即給出了一種已知值、特殊值。既然要選一個(gè)特殊值，也為了避免一些不必要的麻煩，可以引導(dǎo)學(xué)生選擇更特殊的直角三角形及數(shù)據(jù)，以利于后面猜想結(jié)論的總結(jié)。

第二步：猜想。因?yàn)橛芯唧w的數(shù)值，很快可以得到三邊都已知的相似三角形的周長(zhǎng)比及面積比的值，并發(fā)現(xiàn)它們分別與相似比的關(guān)系：周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方。于是猜想：對(duì)所有的相似三角形都有周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方這樣的結(jié)論。

第三步：探索。首先，從特殊到一般，我們常用的是把相應(yīng)的數(shù)值替換成字母；然后需要理清剛才解決該問題的方式，即把兩個(gè)周長(zhǎng)或者面積求出來，然后再比一比。當(dāng)其中一個(gè)三角形用字母表示后，另一個(gè)三角形的周長(zhǎng)和面積需借助相似比進(jìn)行表示，然后再把兩者比一比。所以不僅是思想上從特殊到一般的轉(zhuǎn)化，也是方法上的一種延伸，為后面的證明過程鋪石修路。

第四步：證明。最后是整個(gè)過程的一個(gè)呈現(xiàn)，完成一般情況的嚴(yán)密證明。

《新課標(biāo)》“四基”中，新強(qiáng)調(diào)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和基本思想方法在這里就是一次很好的解讀，通過實(shí)踐操作，從特殊情況出發(fā)反思解決問題的過程，獲得解決問題的途徑。數(shù)學(xué)教學(xué)離不開例題習(xí)題，離不開教材教法，而教學(xué)中如何從中挖掘潛在的智能價(jià)值，充分展示教學(xué)功能，落實(shí)培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)就會(huì)顯得格外的重要。

三、 利用已學(xué) 水到渠成

現(xiàn)在越來越多的題目不是直接可以看出方法的，特別是變換類問題，學(xué)生要不摸不著頭腦接，要不就談虎色變。接下來我們看看，用剛才教材中的處理模式，很多大山一樣壓得學(xué)生喘不過氣的問題如何迎刃而解。

（一） 典例1：已知：如圖，△ABC與△DEF均為等邊三角形，O為BC、EF的中點(diǎn)，則AD∶BE的值是（）

A. 3∶1B. 2∶1C. 5∶3D. 不確定

實(shí)踐1：

第一步：尋找特殊位置和特殊值。如圖1所示位置，且邊長(zhǎng)是2倍關(guān)系。令小邊長(zhǎng)為1，由圖很快可以得到BE=1，AD=3。如圖2所示位置，直接可以根據(jù)特殊角30°看出AD=3BE。

第二步：猜想AD∶BE的比值是3。如果對(duì)于選擇題，答案已經(jīng)出來了，可見這種特殊值法在類似這種不要求解題過程的題型中很有優(yōu)勢(shì)，也為一般情況的探索提供了一個(gè)明確的方向和線索。

第三步：探索中摸索一般情況下的解決方案。由前面的兩個(gè)特殊位置和特殊值，均得到3這樣的結(jié)論。不禁要問：這是偶然嗎？還是有什么共同的隱性條件決定著這樣的結(jié)論。接著觀察我們不難發(fā)現(xiàn)這個(gè)3都和30°角有關(guān)，再結(jié)合條件：O為BC、EF的中點(diǎn)，我想我們會(huì)很容易想到連接OA和OD。這正是我們解決這個(gè)問題的突破口。endprint

第四步：梳理環(huán)節(jié)，充實(shí)證明。由剛才添的輔助線OA、OD，再加上要研究的兩邊AD、BE，不難發(fā)現(xiàn)這些線段都集中在△AOD和△BOE中，其中OA、OD、OB、OE四邊又成比例，再加上已經(jīng)有比值是3這個(gè)明確結(jié)論，所以容易聯(lián)想到證這兩個(gè)三角形相似。已經(jīng)有四邊成比例，所以只要再加夾角∠AOD和∠BOE相等。

（二） 典例2：若一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直且相等，則稱這個(gè)四邊形為“奇妙四邊形”。如圖1，四邊形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，則稱四邊形ABCD為奇妙四邊形。根據(jù)“奇妙四邊形”對(duì)角線互相垂直的特征可得“奇妙四邊形”的一個(gè)重要性質(zhì)：“奇妙四邊形”的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半。根據(jù)以上信息回答：

（1）矩形“奇妙四邊形”（填“是”或“不是”）；

（2）如圖2，已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD是“奇妙四邊形”，若⊙O的半徑為6，∠BCD=60°。求“奇妙四邊形”，ABCD的面積；

（3）如圖3，已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD是“奇妙四邊形”作OM⊥BC于M。請(qǐng)猜測(cè)OM與AD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

實(shí)踐2：針對(duì)第（3）問

第一步：尋找特殊位置（如圖）。讓AC與BD都經(jīng)過圓心，且互相垂直，則四邊形ABCD是正方形，顯然AD=BC=AB=2OM。

第二步：猜想AD=2OM。

第三步：根據(jù)猜想出的結(jié)論的特征及方法探索本題的證明過程。

方法1：構(gòu)造與AD相等的線段且與OM有2倍關(guān)系。由于有明確的結(jié)論，又有2倍作引導(dǎo)，因此想到了三角形的中位線。M是BC的中點(diǎn)，O是誰(shuí)的中點(diǎn)呢？顯然是直徑的中點(diǎn)，所以有了作經(jīng)過C點(diǎn)的直徑CE。接下來就是探索為什么CE=AD。由于它們都是圓O的弦，通過圓周角來證也是很常規(guī)的思路。

方法2：取AD的一半并證明與OM相等。弦的一半容易聯(lián)想到的是垂徑定理，所以過O點(diǎn)作AD的弦心距OE，然后通過△AOE與△BOM全等證明AE=OM即可。

第四步：梳理過程，完成證明。

通過這兩個(gè)典例，我們可以感受到不管是主觀題還是客觀題，在“操作——猜想——探究——證明”的理念引導(dǎo)下，我們可以解決一系列的問題，而這個(gè)可以解決一系列難題的理念是能在課本例題或教材教法中找到它的原型。尤其是在解決問題時(shí)，以特殊問題為起點(diǎn)，抓住數(shù)學(xué)問題的特點(diǎn)，逐步分析、比較、討論，層層深入，揭示方向，從解決特殊問題的規(guī)律中尋求解決一般問題的方法和規(guī)律，又用以指導(dǎo)特殊問題的解決，從而進(jìn)一步加深對(duì)特殊問題與一般問題的相互聯(lián)系和認(rèn)識(shí)。

四、 課后思考 拓展延伸

如果從特殊到一般是人們認(rèn)識(shí)世界的開始，那再加上從一般到特殊這個(gè)認(rèn)識(shí)過程，就是完整的特殊與一般的數(shù)學(xué)思想了。數(shù)學(xué)大師希爾伯特曾說：“在討論數(shù)學(xué)問題時(shí)，我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用，這種方法是克服很多數(shù)學(xué)難題的杠桿之一。”下面提供典例3供老師們研究拓展：第一步：特殊位置；第二步：猜想解決新問題的方式方法；第三步：完成求解過程。

典例3：如圖1，對(duì)于平面上不大于90°的∠MON，我們給出如下定義：若點(diǎn)P在∠MON的內(nèi)部或邊界上，作PE⊥OM于點(diǎn)E，PF⊥ON于點(diǎn)F，則稱PE+PF為點(diǎn)P相對(duì)于∠MON的“點(diǎn)角距離”，記為d（P，∠MON）。如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于∠xOy，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)或兩條坐標(biāo)軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足d（P，∠xOy）=5，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)形成的圖形記為圖形G。

（1）滿足條件的其中一個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是，圖形G與坐標(biāo)軸圍成圖形的面積等于；

（2）設(shè)圖形G與x軸的公共點(diǎn)記為點(diǎn)A，已知B（3，4），M（4，1），求d（M，∠AOB）的值；

（3）如果拋物線y=-12x2+bx+c經(jīng)過（2）中的A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在A，B兩點(diǎn)之間的拋物線上（點(diǎn)Q可與A，B兩點(diǎn)重合），求當(dāng)d（Q，∠AOB）取最大值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)。

《數(shù)學(xué)課程2011》中明確描述課程內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，作為一線教師更要注重引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)問題的解法，同時(shí)注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透，時(shí)刻做一個(gè)“歸納”“猜想”者，力求做到“做一題、通一片，會(huì)一類”，讓學(xué)生走出題海、學(xué)會(huì)思考、善于思考，提高四個(gè)能力，落實(shí)核心素養(yǎng)的實(shí)施。

作者簡(jiǎn)介：

毛燕玲，浙江省衢州市，浙江省衢州市菁才中學(xué)。endprint