滲透單元整體教學(xué)理念 致力發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)
——以《銳角三角函數(shù)（第1課時(shí)）》教學(xué)為例

鄧秀蔭

（龍巖一中分校，福建 龍巖 364000）

數(shù)學(xué)的整體性體現(xiàn)在代數(shù)、幾何、三角等各部分內(nèi)容之間的相互聯(lián)系上，同時(shí)也體現(xiàn)在同一部分內(nèi)容中知識的前后邏輯關(guān)系上。學(xué)生的學(xué)習(xí)是循序漸進(jìn)的，概念要逐個(gè)學(xué)，知識要逐步教。如何處理好這種矛盾，是教學(xué)中的核心問題。單元整體教學(xué)的構(gòu)想，要打破傳統(tǒng)的教學(xué)思路，破除“一課一學(xué)”的局面，運(yùn)用系統(tǒng)、聯(lián)系的觀點(diǎn)看待教學(xué)，通過知識體系、單元主題、知識邏輯關(guān)系、數(shù)學(xué)規(guī)律方法、數(shù)學(xué)思想、解題思路等內(nèi)在聯(lián)系將教學(xué)內(nèi)容加以整合，實(shí)施單元整體教學(xué)，節(jié)省教學(xué)時(shí)間，突出學(xué)科素養(yǎng)培養(yǎng)，提高學(xué)習(xí)整體效益。筆者將以《銳角三角函數(shù)（第1課時(shí)）》教學(xué)為例，說明在教學(xué)中滲透單元整體教學(xué)理念、致力發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的實(shí)踐體會。

一、注重章引言教學(xué)，創(chuàng)設(shè)情境引入核心內(nèi)容

數(shù)學(xué)的發(fā)展來源于實(shí)際需要或數(shù)學(xué)內(nèi)部的需要。為了體現(xiàn)本章核心知識的自然性以及學(xué)習(xí)的必要性，注意從實(shí)際問題或數(shù)學(xué)問題出發(fā)，通過創(chuàng)設(shè)適當(dāng)情境加以引入。

環(huán)節(jié)1：如何引出本章的主要內(nèi)容

章引言從比薩斜塔糾偏的實(shí)際問題出發(fā)，研究用塔身中心線與垂直中心線所成的角來描述比薩斜塔的傾斜程度的問題，引出本章所要研究的主要內(nèi)容。

從數(shù)學(xué)角度看，上述問題就是：已知直角三角形的某些邊長，求其銳角的底數(shù)。對于直角三角形的邊角關(guān)系，已經(jīng)研究了什么，還可以研究什么？本章在前面已經(jīng)研究了直角三角形中三邊之間的關(guān)系、兩個(gè)銳角之間的關(guān)系的基礎(chǔ)上，通過引進(jìn)銳角三角函數(shù)建立了直角三角形中邊與角之間的關(guān)系，使學(xué)生全面掌握直角三角形的組成要素（邊、角）之間的關(guān)系，并綜合運(yùn)用銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識解決與直角三角形有關(guān)的度量問題。

環(huán)節(jié)2：引出研究直角三角形中邊角關(guān)系的具體內(nèi)容和方式

從什么角度研究直角三角形中邊角之間的關(guān)系，以及建立邊與角之間的何種關(guān)系，是引入銳角三角函數(shù)時(shí)的首要問題，也是關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

問題如圖，為了綠化荒山，市綠化辦打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管，對坡面的綠地進(jìn)行噴灌?，F(xiàn)測得斜坡與水平面所成角的度數(shù)是30°，為使出水口的高度為35 m，那么需要準(zhǔn)備多長的水管？

在解決這個(gè)實(shí)際問題的過程中，需要用到結(jié)論“在直角三角形中，30°角所對的邊是斜邊的一半”，其等價(jià)形式為“在直角三角形中，30°角所對的邊與斜邊的比總是常數(shù)”，后者反映了直角三角形中30°角和該角的對邊與斜邊的比之間的對應(yīng)關(guān)系。

由此獲得啟示，建立直角三角形中邊角之間的關(guān)系，可以通過研究銳角和它的對邊與斜邊的比之間的關(guān)系進(jìn)行，從而引出研究直角三角形中邊角關(guān)系的具體內(nèi)容和方式。

二、按認(rèn)識規(guī)律設(shè)計(jì)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)思維

以數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程為載體，按學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律設(shè)計(jì)教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷研究一個(gè)數(shù)學(xué)對象的基本過程，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識和解決問題的能力。培養(yǎng)系統(tǒng)思維，是為了使學(xué)生養(yǎng)成全面思考問題的習(xí)慣，避免“見木不見林”，進(jìn)而使學(xué)生在面對數(shù)學(xué)問題時(shí)，能把解決問題的目標(biāo)、實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的過程、解決過程的優(yōu)化以及對問題的拓展、深化等作為一個(gè)整體進(jìn)行研究。這樣，“使學(xué)生學(xué)會思考，成為善于認(rèn)識和解決問題的人才”的教學(xué)目標(biāo)就能落在實(shí)處。

環(huán)節(jié)3：銳角三角函數(shù)的定義過程

以“比薩斜塔糾偏問題”引入，以“對于直角三角形，我們已經(jīng)知道三邊之間、兩個(gè)銳角之間的關(guān)系，它的邊角之間有什么關(guān)系呢？”提出問題，然后研究銳角的正弦，再給出銳角的余弦、正切。

環(huán)節(jié)4：銳角的正弦的定義

先利用“直角三角形中，30°角所對的邊是斜邊的一半”，得到30°角所對的邊與斜邊的比值；再討論45°、60°角所對的邊與斜邊的比值；然后討論一般情況：相似直角三角形中，一個(gè)銳角的對邊與斜邊的比，隨著這個(gè)銳角的變化而變化，隨著它的確定而唯一確定，把Rt△ABC中銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦。

環(huán)節(jié)5：銳角三角函數(shù)概念的展開

1.課題的引入。從實(shí)際需要看（比薩斜塔糾偏問題）；從數(shù)學(xué)內(nèi)部看（以往討論了直角三角形邊與邊的關(guān)系、角與角的關(guān)系，邊與角有沒有確定的關(guān)系）。

2.概念屬性的歸納。從最熟悉的問題開始：在直角三角形中，30°角所對的邊與斜邊的比值是1/2。

思考：由這個(gè)結(jié)論能解決什么問題？

當(dāng)∠A=30°時(shí)，已知斜邊就可求出∠A的對邊，反之亦然。

在直角三角形中，當(dāng)∠A的度數(shù)分別為45°、60°時(shí)，銳角A的對邊與斜邊的比是多少？由此能解決什么問題？

猜想：在直角三角形中，任意給定銳角A，∠A的對邊與斜邊的比值是否為一個(gè)確定的值？

進(jìn)一步猜想：在直角三角形中，任意給定銳角A，∠A的鄰邊與斜邊的比值、∠A的對邊與鄰邊的比值是否也都是一個(gè)確定的值？

《幾何畫板》演示、探索與驗(yàn)證，然后證明。

歸納：在Rt△ABC中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，無論三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比都是一個(gè)固定值，∠A的鄰邊與斜邊的比值、∠A的對邊與鄰邊的比值也都是一個(gè)固定值。

3.概念的明確與表示。下定義，用符號表示。

4.概念的辨析。（1）∠A為 Rt△ABC的銳角，△ABC的大小可以變化，但∠A的對邊與斜邊的比值不變，即對于每一個(gè)銳角A都有唯一確定的比值與之對應(yīng)，這個(gè)比值叫做∠A的正弦；∠A的鄰邊與斜邊的比值不變，即對于每一個(gè)銳角A都有唯一確定的比值與之對應(yīng)，這個(gè)比值叫做∠A的余弦；∠A的對邊與鄰邊的比值不變，即對于每一個(gè)銳角A都有唯一確定的比值與之對應(yīng)，這個(gè)比值叫做∠A的正切。

（2）符號sin A，cosA，tanA的理解:一個(gè)由A唯一確定的數(shù)，如sin30°=1/2 等。

（3）銳角三角函數(shù)定義中，sinA不是sin與A的乘積，sinA是一個(gè)整體，表示∠A的正弦、余弦、正切類似。

5.概念的鞏固應(yīng)用。已知直角三角形的邊求銳角三角函數(shù)值等。

在《語言、語境和語篇》（Halliday&Hasan 1985）一書中，Hasan擴(kuò)大了銜接概念的覆蓋范圍，把銜接分為非結(jié)構(gòu)銜接和結(jié)構(gòu)銜接。非結(jié)構(gòu)銜接中的成分銜接包括指稱、省略、連接詞語和詞匯銜接。結(jié)構(gòu)銜接是指平行對稱結(jié)構(gòu)、主位—述位結(jié)構(gòu)、已知信息—新信息結(jié)構(gòu)。

6.概念的精致。解直角三角形。

三、加強(qiáng)探究過程，揭示概念內(nèi)涵，發(fā)展思維能力

對一些在重要知識點(diǎn)或關(guān)鍵環(huán)節(jié)，提供學(xué)生探索交流的空間，發(fā)展學(xué)生的思維能力。

本節(jié)的一個(gè)重要教學(xué)目標(biāo)是使學(xué)生探究并理解銳角三角函數(shù)的概念，教學(xué)中讓學(xué)生充分經(jīng)歷“實(shí)際問題引入—研究特殊直角三角形—研究一般直角三角形—給出銳角的正弦概念”的定義過程，在探究直角三角形中銳角的對邊與斜邊之比的不變性上下足功夫。

這樣的探究過程可以幫助學(xué)生理解銳角三角函數(shù)的內(nèi)涵：銳角三角函數(shù)建立了直角三角形中邊與角之間的關(guān)系，具體地，在直角三角形中，對于一個(gè)確定的銳角，它的正弦、余弦、正切分別表示這個(gè)銳角的對邊與斜邊之比、鄰邊與斜邊之比、對邊與鄰邊之比，它們分別都是確定的值。

四、注重揭示知識間的聯(lián)系，呈現(xiàn)研究問題的方法

相似三角形的性質(zhì)是銳角三角函數(shù)概念的基礎(chǔ)，只有利用“相似三角形的對應(yīng)邊成比例”才能得到銳角三角函數(shù)定義的合理性，在給出銳角三角函數(shù)定義的過程中必須充分利用這一知識聯(lián)系性。

在“理解概念，鞏固提高”環(huán)節(jié)中，設(shè)計(jì)如下例題與練習(xí)：

如右圖，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB=13，BC=5，求 sin A，cosA，tanA的值。

變式：如圖（與例題同），在

Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC=12，BC=5，求∠B的正弦值、余弦值和正切值。

思考：觀察例題與變式的題目和計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么?

鞏固練習(xí)：

1.判斷下列結(jié)論是否正確，并說明理由。

（1）如圖1，sinA=0.6m 。（ ）

（2）在Rt△ABC中，銳角A的對邊和鄰邊同時(shí)擴(kuò)大100倍，tanA的值也擴(kuò)大100倍。（ ）

（3）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，則

（4）如圖3所示，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sin

通過例題與變式，鞏固銳角三角函數(shù)概念，規(guī)范學(xué)生的解題格式；引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)解題關(guān)鍵，注意觀察題目條件的變化、總結(jié)結(jié)論之間的關(guān)系；通過鞏固練習(xí)，進(jìn)一步鞏固銳角三角函數(shù)概念，加深對它們的理解；引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)解題關(guān)鍵和注意事項(xiàng)，總結(jié)解題方法，提高解題能力；從中體會數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想解決問題。

在“歸納小結(jié)，反思提升”環(huán)節(jié)中，設(shè)計(jì)如下問題引導(dǎo)學(xué)生梳理學(xué)習(xí)內(nèi)容，及時(shí)歸納總結(jié)研究數(shù)學(xué)問題的思路，提煉學(xué)習(xí)過程中的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會研究問題的方法。

1.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識？

2.研究銳角正弦的思路是如何構(gòu)建的？

3.你學(xué)到哪些研究數(shù)學(xué)問題的思想方法？

在“布置作業(yè)，拓展提升”環(huán)節(jié)中，作業(yè)設(shè)計(jì)分必做題與選做題，滿足不同層次學(xué)生需求；設(shè)計(jì)例題、鞏固練習(xí)的變式題、拓展提高題，加強(qiáng)知識間的聯(lián)系，有利于拓展學(xué)生思維。

五、加強(qiáng)與實(shí)際問題的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識

銳角三角函數(shù)和解直角三角形是緊密聯(lián)系的，銳角三角函數(shù)是解直角三角形的基礎(chǔ)，解直角三角形的理論又為解決一些實(shí)際問題提供了強(qiáng)有力的工具。因此教學(xué)中應(yīng)注意加強(qiáng)與實(shí)際的聯(lián)系。

例如，本節(jié)課通過比薩斜塔引出本章的主要內(nèi)容；利用確定山坡上所鋪設(shè)的水管的長度問題引出銳角的正弦。

六、注意數(shù)形結(jié)合，發(fā)展學(xué)生幾何直觀和想象能力

銳角三角函數(shù)的一個(gè)突出特點(diǎn)是其概念的產(chǎn)生和應(yīng)用都與圖形有著密切的聯(lián)系。銳角三角函數(shù)具有鮮明的幾何意義，其自變量是銳角，函數(shù)值是直角三角形中兩條邊的比值，因此本章內(nèi)容是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的良好載體。

例如，對于銳角三角函數(shù)的概念，利用學(xué)生對直角三角形的認(rèn)識（在直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊的一半，有一個(gè)銳角為45°的直角三角形是等腰直角三角形）以及相似三角形的有關(guān)知識引入的，結(jié)合幾何圖形來定義銳角三角函數(shù)的概念，將數(shù)形結(jié)合起來，有利于學(xué)生理解銳角三角函數(shù)的本質(zhì)。

［1］鄧秀蔭.單元整體教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的研究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2015（10）.

［2］章建躍.整體性、系統(tǒng)思維與核心素養(yǎng)［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)，2016（10）.

［3］姜風(fēng)平，侯丙生.換一種教法：單元整體課程實(shí)施與評價(jià)（初中數(shù)學(xué)）［M］.濟(jì)南：山東文藝出版社，2013.