物體在不可壓縮流場中所受的流體動力表達(dá)式

林新武,林獻(xiàn)武,蘭維瑤

(廈門大學(xué)航空航天學(xué)院,福建廈門361005)

平流層飛艇用作高空信息平臺時,與空基平臺相比具有低能耗、駐留時間長和覆蓋區(qū)域廣的優(yōu)點(diǎn);與天基平臺相比又具有距離地面近、觀察時間長、發(fā)射和維護(hù)成本低的優(yōu)點(diǎn),可成為空基和天基信息平臺的有益補(bǔ)充．由于平流層飛艇的這種誘人應(yīng)用前景,近10多年來,許多國家投入了大量的人力物力研究平流層飛艇技術(shù),并取得了一些進(jìn)展．作為一種飛行器,氣動力仍然是平流層飛艇技術(shù)的一個研究重點(diǎn);同時,飛艇作為一種平均密度與周圍流體密度接近的飛行器,人們往往認(rèn)為其飛行過程受到非定常氣動力的影響超過傳統(tǒng)的重飛行器[1]．

Lamb等[2]總結(jié)并完善了在不考慮粘性的情況下非定常氣動力的計算方法．由于粘性對氣動力具有重要的影響作用,許多研究者[3-7]經(jīng)過不懈的努力，發(fā)展了一套飛艇氣動力的工程估算方法．他們的主要思想是利用圓柱比擬的方法來估計艇體的定常升力,用平板氣動力或薄彈翼理論來估算尾翼的氣動力,用等效附加攻角的思想來估算飛艇非定常運(yùn)動時的氣動力,用翼體干擾因子來考慮組合體氣動力與翼體單獨(dú)氣動力之和的差異．該工程方法后來被許多研究者引用和完善[1,8-11],然而它缺乏堅實的理論基礎(chǔ)并且只能估算小部分非定常氣動力,大部分的非定常氣動力如附加質(zhì)量和附加慣量等仍需要采用Lamb等[2]所提供的無粘流結(jié)果，因此人們期待一種能計算有粘流非定常氣動力的方法．

著名的渦動力學(xué)學(xué)者Wu[12-13]針對有粘流不可壓縮流場提出了一種流體動力表達(dá)式,該理論與Lamb的理論[2]區(qū)別在于其采用了有粘流假設(shè)，這種處理方法考慮了真實流體對能量的耗散性，更加符合實際情況.其相關(guān)理論后來在Wu等[14-15]的一些專著中不斷得到完善,也被其他學(xué)者改進(jìn)和演繹[16-17],為有粘不可壓縮流情況下的運(yùn)動體氣動力計算提供了理論依據(jù)．然而在應(yīng)用這個表達(dá)式計算運(yùn)動體非定常氣動力時存在如下困難:1) 在去除流場粘性的情況下,基于渦動力學(xué)理論的氣動力表達(dá)式與Lamb的無粘流氣動力表達(dá)式并不一致,其他學(xué)者也注意到這種情況,即有粘流中的附加質(zhì)量表達(dá)式與無粘流的情況不同[16];2) 使用渦動力學(xué)理論計算運(yùn)動體氣動力時,需要計算速度在運(yùn)動體所占領(lǐng)空間上的積分,但這個速度場的具體概念并不明確,一般認(rèn)為是運(yùn)動體上對應(yīng)剛體質(zhì)點(diǎn)的速度.若按這種概念來理解就會導(dǎo)致一個悖論,即空心或內(nèi)部含多剛體結(jié)構(gòu)的運(yùn)動體與實心運(yùn)動體的氣動力不同．出現(xiàn)這種現(xiàn)象的根本原因在于這個流體動力表達(dá)式的推導(dǎo)過程中或多或少地將運(yùn)動體所占領(lǐng)的空間和流體所占領(lǐng)的空間視為一體．事實上,流體動力與剛性運(yùn)動體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)并無關(guān)系,因此本研究嘗試僅針對流體進(jìn)行分析來獲得不可壓縮流場中的運(yùn)動體流體動力表達(dá)式．這種表達(dá)式不但與運(yùn)動體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)無關(guān),而且在無粘流情況下收斂于Lamb的結(jié)果,在有粘流場的情況下與渦動力學(xué)理論的結(jié)果一致,為人們進(jìn)一步理解不可壓縮流場的特點(diǎn)提供理論參考．

1 流體動力表達(dá)式

對于不可壓縮流場,其速度v控制方程為[13]

(1)

(2)

其中：式(1)為連續(xù)性方程,式(2)為Navier-Stokes方程或動量方程;ρ,p,ν分別是流體的密度、壓力和運(yùn)動粘性系數(shù)；式(2)中已略去保守力如重力等．定義渦量為速度的旋度[16]

(3)

由于不可壓縮流場中ρ為常數(shù),則對動量方程(2)兩邊同求旋度可得渦量傳輸方程

(4)

(5)

記運(yùn)動體所占領(lǐng)的空間區(qū)域為Rb,其邊界記為Sb,與Sb接觸的流體表面記為Si,Sb和Si的空間形狀和位置是完全一致的．對于有粘流而言,根據(jù)無滑移邊界條件，Sb和Si上的對應(yīng)點(diǎn)速度是一致的；對于無粘流而言,滑移邊界條件將使得Sb和Si上的對應(yīng)點(diǎn)速度出現(xiàn)差異．在流場空間中取一個位置固定的封閉曲面Se使得其包含Rb和部分流體,且位于Si和Se之間流體所占領(lǐng)的空間區(qū)域記為Rf．取Rf中的流體作為研究對象,將式(5)在Rf上積分并利用張量形式的高斯公式可得積分形式的流場動量定理[18]

(6)

其中，n表示Si∪Se的法向量,指向Rf外部為正．

式(6)最后一項在Si上的積分結(jié)果就是運(yùn)動體所受流體動力F的反作用力,因此

(7)

先討論式(7)等號右端的第1項．考慮到Rf不是控制體,則根據(jù)文獻(xiàn)[18]中的研究結(jié)果,對于不可壓縮流場Rf有

(8)

其中vs為邊界Si∪Se的運(yùn)動速度．由于Se是固定的,因此在Se上vs=0;在Si上,由于流體沒有進(jìn)出物面,因此(vs-v)·n=0．這樣,式(8)可簡化為

(9)

根據(jù)文獻(xiàn)[14],有如下導(dǎo)數(shù)矩轉(zhuǎn)換(derivative moment transformation,DMT)公式

(n(t)×f) dS,

(10)

(11)

(12)

合并上式和式(9)得

(13)

現(xiàn)在討論式(7)等號右端的第2項．根據(jù)Wu[12-13]的理論,在有限時間內(nèi),渦量場隨距離物面長度的增加以指數(shù)形式衰減,令Se離物面足夠遠(yuǎn),這時其附近流場可視為無旋,根據(jù)式(5)可知

(14)

(15)

由于Rps是任意選取的,為了使上式在Rp中恒成立,必須有n·σ=-pn，于是式(7)等號右端的第2項可寫為

(16)

令式(11)中的積分區(qū)域取S(t)=Se,f取流場靜壓力p,則

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

最后根據(jù)速度在遠(yuǎn)場的漸進(jìn)特性[20],式(21)等號右邊在Se上的積分結(jié)果為0,于是得流體動力的最終表達(dá)式為

(22)

(23)

上式成立的條件為v在Rb和Si上連續(xù),其中第2項改變了符號是為了使n的方向與式(6)中n的方向保持一致,即指向Rf外部為正．合并上述兩式可得

(24)

Rb上的v和ω是虛擬存在且不確定的,僅需保證v在Rb和Si上連續(xù)．對于有粘流而言,一個符合此條件的v分布是將運(yùn)動體視為實心剛體,這樣上式的結(jié)果就是Wu[13]所給出的有粘不可壓縮流場氣動力表達(dá)式．如果運(yùn)動體是空心的,或者運(yùn)動體內(nèi)部出現(xiàn)多剛體結(jié)構(gòu),則v的分布仍可按實心剛體來計算,說明運(yùn)動體是氣動力與其內(nèi)部的結(jié)構(gòu)無關(guān),符合事實．

如果流場是無粘的,則不能將Rb上的v用實心剛體所對應(yīng)的速度場來替代,這是因為滑移邊界條件導(dǎo)致這種處理方法并不能保證v在Si上連續(xù)．這時需要根據(jù)Si上的v來重新確定其在Rb上的分布以保證連續(xù)性．這里給出一種確定Rb上v和ω的具體方法:有一個不滲透的殼體,其形狀與Si一致且殼體上各質(zhì)點(diǎn)的速度分布等于流場在Si上的速度分布;然后往殼體內(nèi)部注入含磁性物質(zhì)的粘性流體,利用電磁力使殼體內(nèi)部的流體運(yùn)動起來,這時殼體內(nèi)部流場所對應(yīng)的v和ω就能滿足Rb以及Si上的連續(xù)性要求．當(dāng)電磁力和時間不同時,殼體內(nèi)部的流場分布也是不同的,這意味著虛擬渦的分布并不是唯一的．然后將得到的Rb上的v和ω的分布代入式(24)來計算氣動力；或者,更簡單地,直接根據(jù)式(22)來計算氣動力．

在上面的推導(dǎo)結(jié)果中,Rf的外邊界處于無窮遠(yuǎn)處,而在實際應(yīng)用中只能夠取到有限區(qū)域,這將導(dǎo)致一定的計算誤差．對于實際飛行器的運(yùn)動過程中,其運(yùn)動時間總是有限的,因此滿足Wu所設(shè)定的條件[12]．于是,渦量的強(qiáng)度隨著與物面的距離增加以指數(shù)規(guī)律衰減．指數(shù)衰減要比冪級數(shù)衰減更快,因此在實際應(yīng)用中,并不需要取太大的空間區(qū)域即可達(dá)到足夠的計算精度．

2 與無粘流氣動力表達(dá)式的兼容性

(25)

其中F為運(yùn)動體所受到的流體動力．對于不可壓縮無粘流場而言,Lamb根據(jù)能量守恒定律證明了[2]

(26)

其中u,v,w為運(yùn)動體速度vb的3個分量,T表示Rf中流體所包含的動能．由于流場動能可根據(jù)流場的速度分布來確定,因此Iimp和F均可通過實際計算得到．

由此可見,Lamb在推導(dǎo)無粘流氣動力表達(dá)式時并沒有用到流場的動量和流場的動量定理．為了證明式(24)兼容Lamb的流體動力表達(dá)式,需要建立Lamb方法與動量定理之間的關(guān)系．記流場的總動量

(27)

則根據(jù)物理學(xué)中的沖量定理,流場的總動量等于外力沖量之和,它不但包括運(yùn)動體所提供的沖量,也包括Se上流場壓力p所產(chǎn)生的沖量,因此

(28)

(29)

上式和基于流場動量定理得到的流體動力表達(dá)式(7)是一致的,因此式(24)兼容于Lamb給出的結(jié)果即式(25)．從式(29)還可以看出,Lamb利用沖量的概念巧妙地回避了無窮遠(yuǎn)邊界上的壓力計算問題．但他所提出的基于流場動能計算沖量的方法,即表達(dá)式(26)僅在無粘流場中成立,難以推廣到存在粘性和能量耗散的有粘流場,這是其局限性．

3 算 例

式(22)和(24)在有粘流場中的等效性已被Wu[13]證明，式(24)的正確性,也在文獻(xiàn)[12]中有所論述和驗證,因此這里將僅討論式(22)與無粘流場中Lamb理論的等效性.以圓球在靜止無粘流場中直線運(yùn)動的附加質(zhì)量為例來進(jìn)行討論．

由文獻(xiàn)[2]可知,無粘流場中直線運(yùn)動圓球的速勢為

(30)

其中U為球直線運(yùn)動速度的大小,a為球的半徑,r、θ為球面坐標(biāo)．那么在以球心為原點(diǎn)的固連直角坐標(biāo)系中,令

(31)

其中θ∈[0,π],ψ∈[0,2π]，則可得

(32)

將式(32)代入式(30)中可得圓球速勢在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式如下:

(33)

于是流場速度在直角坐標(biāo)系下的速度分量為

(34)

又圓球表面位矢r及法向量n分別如下:

(35)

(36)

進(jìn)而可將式(34),式(35)和式(36)代入式(22)來計算無粘流場中圓球直線運(yùn)動氣動力,由于無粘流場中ω為0,可得無粘流場中圓球直線運(yùn)動氣動力為

(37)

(38)

4 結(jié) 論

本研究在流場Rf上速度分布連續(xù)的基礎(chǔ)上重新推導(dǎo)了運(yùn)動體在不可壓縮流體中運(yùn)動時所受的氣動力．由于回避了流體在物面邊界上的連續(xù)性問題,所得的公式不僅適用于有粘流場,也適用于無粘流場．研究結(jié)果表明,渦動力學(xué)理論所給出的式(24)在實際應(yīng)用中,運(yùn)動體所占領(lǐng)空間Rb上速度場分布并非唯一,但需要在保證內(nèi)部連續(xù)的同時與Rf中的速度分布在Si上連續(xù)．對于有粘流而言,這種速度分布可以取實心剛體上的速度場；對于無粘流而言,由于滑移邊界條件,實心剛體所對應(yīng)的速度場并不一定能滿足v在Si上的連續(xù)性,這時可直接采用式(22)來計算氣動力．

[1] KHOURY G A,GILLETT J D.Airship technology[M].2nd ed.New York:Cambridge University Press,2012:36-38.

[2] LAMB H.Hydrodynamics[M].6th ed.New York:Dover,1945:160-201，214.

[3] ALLEN H J.Estimation of the forces and moments acting on inclined bodies of high fineness ratio,RM-A9I26[R].Washington D C:NACA,1949.

[4] ALLEN H J,PERKINS E W.A study of effects of viscosity on flow over slender inclined bodies of revolution,REPORT1048[R].Washington DC:NACA,1951.

[5] HOPKINS E J.A semi-empirical method for calculating the pitching moment of bodies of revolution at low Mach numbers，RM-A51C14[R].Washington DC:NACA,1951.

[6] JONES S P,DELAURIER J D.Aerodynamic estimation techniques for aerostats and airship[J].Journal of Aircraft,2015,20(2):120-126.

[7] 基里林·阿列克桑徳拉·尼卡拉伊維奇.現(xiàn)代飛艇設(shè)計導(dǎo)論[M].吳飛,王培美,譯.北京:國防工業(yè)出版社,2009：5-26.

[8] MUELLER J B,PALUSZEK M A,ZHAO Y Y.Development of an aerodynamic model and control law design for a high altitude airship[C]∥AIAA 3rd "Unmanned Unlimited" Technical Conference.Chicago:Workshop and Exhibit,2004:1-17.

[9] LI Y,NAHON M.Modeling and simulation of airship dynamics[J].Journal of Guidance Control & Dynamics,2007,30(6):1691-1700.

[10] LI Y,NAHON M,SHARF I.Airship dynamic modeling:a literature review[J].Progress in Aerospace Sciences,2011,47(3):217-239.

[11] SEBBANE Y B.Lighter than air robots[M].Netherlands:Springer,2012：34.

[12] WU J C.Theory for aerodynamic forces and moments in viscous flow[J].AIAA Journal,2012,19(4):432-441.

[13] WU J C.Elements of vorticity aerodynamics[M].Shanghai:Shanghai Jiaotong University Press,2014:12,51,78,83-89,93.

[14] WU J Z,MA H Y,ZHOU M D.Vorticity and vortex dynamics[M].Berlin Heidelberg:Springer,2006：600-603.

[15] WU J Z,MA H Y,ZHOU M D.Vortical flows[M].Berlin Heidelberg:Springer,2015：312-320.

[16] 吳子牛.空氣動力學(xué)(下冊)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2008：85.

[17] 童炳剛,尹協(xié)遠(yuǎn),朱克勤.渦運(yùn)動理論[M].合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2009：69.

[18] 林獻(xiàn)武,蘭維瑤,李智斌,等.時變系統(tǒng)流場動量定理的積分形式及其在流體動力系數(shù)分析中的應(yīng)用[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2016,37(6):551-566.

[19] 易中,吳萱,周麗珍.低速空氣動力學(xué)[M].北京:冶金工業(yè)出版社,2005：9.

[20] BATCHELOR G K.An introduction to fluid dynamics[M].Beijing:China Machine Press,2014:114-117.