非齊次擬線性A-調(diào)和方程很弱解的正則性

朱坤杰，陳淑紅

(閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,福建漳州363000)

1 預(yù)備知識

本文中主要考慮非齊次擬線性A-調(diào)和方程

(1)

很弱解的正則性．其中Ω?Rn是有界區(qū)域,n≥2，1

(i) 算子A(x,u,h)滿足強制性條件．即存在常數(shù)a>0,使得

u∈Rn;

(ii) 算子A(x,u,h)是擬線性的．即存在常數(shù)β>0,使得

(A(x,u1,h1)-A(x,u2,h2))(h1-h2)≥

?u1,u2∈Rn，h1,h2∈RnN,x∈Ω;

(iii) 算子A(x,u,h)是有界的．即存在常數(shù)β≤γ<∞,使得

φ(x))x∈Ω,u∈Rn，h∈RnN,

定義1 稱函數(shù)u∈W1,r(Ω)(max{1,p-1}≤r≤p)為方程(1)的很弱解，若對所有的φ∈C0∞(Ω)都有

(2)

由于A-調(diào)和方程能夠反映實際生活中和物理學(xué)中眾多現(xiàn)象而被廣大的專家學(xué)者所關(guān)注．在數(shù)學(xué)中關(guān)于A-調(diào)和方程的研究主要集中在對其解的性質(zhì),尤其是對經(jīng)典弱解的存在性、唯一性、穩(wěn)定性以及正則性等方面的研究[1-2]．

但是他們所考慮的經(jīng)典弱解和很弱解之間的聯(lián)系的這些A-調(diào)和方程中,A-調(diào)和算子都是和很弱解u無關(guān)的．受到這些問題的啟發(fā),本文中主要考慮A-調(diào)和算子和很弱解u有關(guān)的二階非齊次A-調(diào)和方程(1)很弱解的正則性．這些結(jié)論都是在方程(1)很弱解存在的前提條件下進(jìn)行的,有關(guān)A-調(diào)和方程很弱解的存在性,在文獻(xiàn)[10]中有著詳細(xì)的證明,在這里不做討論,直接證明很弱解的正則性問題并得到以下結(jié)論．

2 基本引理

引理2[12-13]設(shè)u(x)∈Lp(BR),BR?Ω,f∈Lt(BR),t>p并且滿足如下不等式：

θBRdx+BRdx.

(3)

其中C′=C′(n,p,K,θ).

3 定理1的證明

(4)

(5)

(6)

令

(7)

則由一個基本的關(guān)系式

0<ε<1,X,Y∈Rn

(8)

得到

(9)

取Hodge分解中的φ為弱解定義中的檢驗函數(shù)，于是

(10)

即

I4+I5.

(11)

其中

先估計式(11)左邊,由假設(shè)條件(i)得到

由η的定義可得

(12)

下面估計I1,由條件(iii)和式(9)可得

(13)

其中

由η的定義可得

令

由H?lder不等式可得

(14)

由Young不等式可得

注意到η的定義,則由H?lder不等式可得

(15)

下面對α分情況討論.

情形1 當(dāng) 0<α<1 時,由Young不等式可得

綜上,

由H?lder不等式、Poincre不等式和Young不等式,得

(16)

因此

(17)

下面估計I2,由假設(shè)條件(iii)、H?lder不等式和式(6),可得

K1+K2+K3.

(18)

由H?lder不等式以及估計式(6)可得

(19)

由H?lder不等式、Sobolev嵌入定理和估計式(6)可得

(20)

(21)

結(jié)合估計式(19)，(20)和(21)可得

(22)

由Poincre不等式以及η的定義可得

(23)

下面對α的取值范圍分情況討論.

情形1 當(dāng)0<α≤1時,由Young不等式可得

將上面這些估計式代入I2中,并由Young不等式可得

(24)

下面估計I3.由H?lder不等式、引理2、式(5)和(15)可得

下面估計I4.由式(9)可得

類似J1的估計可知

(25)

下面估計I5.類似I2的估計可知

綜合估計式I1-I5和式(12)可得

(26)

整理可得

(27)

(28)

即存在r′∈(p-ε,p)?(p-ε,+∞),使式(28)成立．下面只須證區(qū)間(p-ε,p)是右閉的．實際上,當(dāng)r′=p時,由引理2以及式(28)可以發(fā)現(xiàn),結(jié)論顯然成立．故反復(fù)應(yīng)用引理2可得定理的結(jié)論．

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