例談恰當(dāng)分離策略在壓軸題中的應(yīng)用

廣東省佛山市第一中學(xué)(528000) 陳豪

本文通過對(duì)幾道高考題、高考模擬題解題思路的探究、比較、分析,旨在尋求含lnx與ex的組合函數(shù)壓軸題的一般性的解題思路和解題策略.近年來(lái)諸如此類的問題一直是全國(guó)卷的考查熱點(diǎn),如2011年全國(guó)卷21,2013年新課標(biāo)文20,2014年新課標(biāo)1理21,2015年新課標(biāo)1文21,此類題型注重理性思維和創(chuàng)新意識(shí)的考查,往往綜合性強(qiáng),思維強(qiáng)度大,方法性強(qiáng)而靈活,解題突破口不易找尋,常常需要適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化求解,對(duì)數(shù)學(xué)思維能力的要求相當(dāng)高.本文通過舉例具體說(shuō)明在解決函數(shù)恒成立、不等式證明、求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)等問題中,恰當(dāng)分離參數(shù)或分離函數(shù)的解題策略在解題中的實(shí)際應(yīng)用.

一、恰當(dāng)分離策略在恒成立中的應(yīng)用

例1(2015年武漢模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=1-x2+ln(x+1).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

分離 方式一 直接分離參數(shù)

由x0∈(2,3),知x0+1∈(3,4),所以k的最大值為3.

分離 方式二 線性分離方式

(1)當(dāng) k=1 時(shí),則 g′(x)=＞ 0,所以g(x)單調(diào)遞增,g(0)=1＞0,即g(x)＞0恒成立.

(2)當(dāng)k＞ 1時(shí),則g(x)在(0,k-1)上單調(diào)遞減,在(k-1,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)的最小值為g(k-1),只需g(k-1)＞ 0即可,即lnk-k+2＞ 0.設(shè)h(k)=lnk-k+2(k ＞ 1),h′(k)=＜0,則h(k)單調(diào)遞減,因?yàn)閔(2)=ln2＞0,h(3)=ln3-1＞0,h(4)=ln4-2＜0,所以k的最大值為3.

分離 方式三 恰當(dāng)分離方式 (盡量分離成下面8中形式或者其變式.)

圖1

只需要研究k＞ 0相切時(shí)即可,設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0).在切點(diǎn)處有兩條曲線斜率相等,函數(shù)值相同.所以代入消去x0,有l(wèi)nk-k+2=0.k∈N.

由上可知,k≤3.

評(píng)注 上述三種分離方式都可以解出k≤3,我們要關(guān)注的是哪種方式學(xué)生有可能做得出來(lái),方式一中采用了直接分離參數(shù),分離后的函數(shù)較大,求導(dǎo)比較繁瑣,需要二次求導(dǎo),方式二,則是線性的分離,函數(shù)式子還是較大,相對(duì)好一些,也需要討論,而方式三,則是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)更簡(jiǎn)單的基本函數(shù),通過數(shù)形結(jié)合的方法,容易觀察出兩個(gè)函數(shù)相切的臨界情況即為所求.在一個(gè)普通高中,學(xué)生基礎(chǔ)比較薄弱的時(shí)候,前兩種方式函數(shù)式復(fù)雜,學(xué)生看到就不愿動(dòng)手,實(shí)現(xiàn)難度大,第三種方式可以化繁為簡(jiǎn),變成兩個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù),學(xué)生容易入手,我們可以嘗試引導(dǎo)這種方式去講解.下面我們由重要函數(shù)不等式ex≥x+1,lnx≤x-1可以演變出下面幾種基本函數(shù)模型及相應(yīng)的函數(shù)圖像,值域,以供參考.

二、基本函數(shù)歸納與遷移

同種圖像可以對(duì)比去觀察變化趨勢(shì)

學(xué)生做題最怕遇到陌生情景,往往難于找到突破口,容易鉆牛角尖,盲目探究、浪費(fèi)大量時(shí)間,最后總是半途而廢,沒有堅(jiān)持下來(lái),老師上課往往是引導(dǎo)學(xué)生將陌生情景轉(zhuǎn)化到熟悉的、學(xué)過的場(chǎng)景.學(xué)生如果知道哪些函數(shù)是可以求出值域,哪些是比較難求的,他們?cè)谧鲭y題時(shí)感覺有做出來(lái)的希望,就有信心去挑戰(zhàn),堅(jiān)持實(shí)現(xiàn),最后思維力就逐漸提升.由上述的8種基本情況,我們還可以對(duì)它們進(jìn)行變形遷移,是學(xué)生能夠解決更多這種類型的問題.

遷移1自變量次數(shù)不同或者整體形式類似.

遷移2部分自變量加上常數(shù)

如:f(x)=xex+m,值域?yàn)?[f(-1),+∞);f(x)=(x+m)ex,值域[f(-m-1),+∞).

遷移3與一次函數(shù)相加求得值域

xe+bx+c(b＜0)值域?yàn)閇f(ln-b),+∞);f(x)=xlnx+bx+c值域?yàn)閇f(e-b-1),+∞);f(x)=xex+bx+c(b＜0)值域?yàn)?[f(x0),+∞),其中(x0+1)ex0+b=0.其它的也可以類似地求出.

遷移4與二次函數(shù)相乘求得值域

若 f(x)=ex(ax2+bx+c),f′(x)=ex(ax2+(2a+b)x+b+c).當(dāng) ? =(2a+b)2-4a(b+c)＞ 0時(shí),設(shè)x1,x2(x1＜x2)是方程ax2+(2a+b)x+b+c=0的解.若f(x2)＞0,則函數(shù)值域?yàn)?0,+∞),若f(x2)≤0,則函數(shù)值域?yàn)閇f(x2),+∞).當(dāng)? =(2a+b)2-4a(b+c)≤0,則函數(shù)值域?yàn)?0,+∞).

遷移5與二次函數(shù)相加求得值域

或a=0討論可以求出值域,讀者可以有其他更多遷移.

三、恰當(dāng)分離策略在不等式證明中的應(yīng)用

例2 (2014年全國(guó)理科第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=aexlnx+,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為y=e(x-1)+2.

(1)求a,b;

(2)證明:f(x)＞1.

評(píng)注 這一題比較經(jīng)典,很多老師都引用了這個(gè)例子,而且這題還可以通過重要不等式的放縮可以快速證明,文[1]藍(lán)老師提出了兩端構(gòu)造,各個(gè)擊破,觀點(diǎn)正是恰當(dāng)分離策略中的一種,文[3]中曾老師的間接“構(gòu)造函數(shù)”視角也有類似講解,注意在證明像上述的不等式時(shí),必須要有g(shù)(x)min＞h(x)max作為前提,才能得到g(x)＞h(x),兩者并非充要條件,否則不能得到g(x)＞h(x),這種方法有一定的局限性學(xué)生要理解透.

(1)求k的值.

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

(3)設(shè) g(x)=(x2+x)f′(x),其中 f′(x)為 f(x)的導(dǎo)函數(shù).證明:對(duì)任意x＞0,g(x)＜1+e-2.

令導(dǎo)易求h(x)max=h(e-2)=1+e-2,求得φ(x)min=φ(1)=1+e-2.因?yàn)閔(x)max=h(e-2)=1+e-2≤ φ(x)min,又這兩個(gè)函數(shù)取得最值時(shí)的自變量取值不同,所以h(x)max=h(e-2)=1+e-2＜φ(x)min.所以1-xlnx-x＜通過求1+e-2.

評(píng)注 本題也有其它的構(gòu)造方法,如文[2]中黃老師是采用的g(x)=h(x)φ(x),引出這個(gè)例子,就是希望學(xué)生在遇到以后代數(shù)式中既遇到lnx又遇到ex時(shí)可以將這兩個(gè)函數(shù)放到不等號(hào)兩邊構(gòu)成兩類熟悉的基本函數(shù),再來(lái)求其值域.

四、恰當(dāng)分離策略求零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題

例4已知函數(shù)f(x)=klnx-x2,k∈R.

(1)若f(x)在(0,1]上是增函數(shù),求k的取值范圍;

(2)討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

圖2

圖3

評(píng)注 這一題還有一種方法可以通過看原函數(shù)的極值的正負(fù)討論出零點(diǎn)的個(gè)數(shù),通過分離函數(shù),可以很形象地看出交點(diǎn)個(gè)數(shù)的范圍,引用這個(gè)例子主要是引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,類似上面8種基本函數(shù)或者它們的變形上去轉(zhuǎn)化,如果有多種方式轉(zhuǎn)化,還要考慮選取哪一種更為合適,討論時(shí)更方便,上例中可以看得出,方式一分理后的函數(shù)更簡(jiǎn)單,后者函數(shù)有兩段,有些學(xué)生大意會(huì)遺漏.

恰當(dāng)分離策略在恒成立,不等式或者零點(diǎn)應(yīng)用的實(shí)質(zhì)一般要滿足兩點(diǎn),一是轉(zhuǎn)化到凹凸性不同的兩個(gè)函數(shù),二是轉(zhuǎn)化到可以求出最值的基本函數(shù).例如例2(2014年全國(guó)理21)中轉(zhuǎn)化為圖4中下凸的y=xlnx以及上凸的如果轉(zhuǎn)為為圖5中的下凸的y=xex,以及局部下凸的則凹凸性不同不能直接比較最值來(lái)求,而且右邊最值也難求.

圖4

圖5

總之,零點(diǎn)問題、證明或解復(fù)雜的不等式(包括不等式恒成立或存在性問題)等函數(shù)壓軸題,常常采用分離參數(shù)或分離函數(shù)的策略,最終還是化歸為構(gòu)造函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)的性質(zhì),充分發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的工具性和應(yīng)用性的作用,往往可以獲得問題的解決！因此,在復(fù)習(xí)中,教師要注意詳細(xì)剖析解題思路的發(fā)現(xiàn),強(qiáng)化轉(zhuǎn)化意識(shí),注重分類討論,強(qiáng)化構(gòu)造函數(shù)解決問題的通性通法.

[1]藍(lán)云波.也談構(gòu)造函數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)解答不等式恒成立問題[J],中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2016(5):31-33.

[2]黃俊峰.例談高考函數(shù)中的構(gòu)造[J],中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2016(5):26-28.

[3]曾辛金.一道高考數(shù)學(xué)模擬題的多視角解析*[J],中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2016(5):18-21.