高考中三視圖還原幾何體的對(duì)策研究

廣東省雷州市第八中學(xué)(524232) 魏欣 鄧春梅

在近幾年的高考考察中,利用三視圖求直觀圖體積或表面積的題型屢見不鮮,這種題型的本質(zhì)即為由三視圖還原直觀圖,所以要求學(xué)生掌握由三視圖還原直觀圖的解題技巧顯得尤其重要.畫簡單幾何體的三視圖對(duì)大部分學(xué)生來說并不困難,但是,由三視圖還原出幾何體,對(duì)學(xué)生的空間想象能力和綜合分析能力提出了較高的要求,出現(xiàn)錯(cuò)誤的機(jī)會(huì)明顯增加.本文針對(duì)出現(xiàn)的問題“對(duì)癥下藥”,給出確定的三視圖還原直觀圖的方法,讓學(xué)生有跡可循,為學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)打好基礎(chǔ),進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力.

一、熟悉基本概念

正視圖是指光線從幾何體的前面向后面正投影得到的投影圖;側(cè)視圖是指光線從幾何體的左面向右面正投影得到的投影圖;俯視圖是指光線從幾何體的上面向下面正投影得到的投影圖.其規(guī)律為:一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖高度一樣,正視圖和俯視圖長度一樣,側(cè)視圖與俯視圖寬度一樣.簡稱:長對(duì)正,寬相等,高平齊.如下圖所示,正四棱錐的三視圖,從中我們可以看出,三視圖還原原幾何體的線段很清晰對(duì)應(yīng)著.

二、熟悉基本的幾何體的三視圖特點(diǎn)

1.直棱柱的三視圖特點(diǎn):正視圖與左視圖是矩形(可以有若干條平行于矩形一條邊實(shí)線或虛線),俯視圖為多邊形.如圖1.2.

圖1

圖2

2.直棱錐的三視圖特點(diǎn):主(正)視圖與左(側(cè)視圖)視圖是三角形(可以有若干條從頂點(diǎn)到底邊的實(shí)線或虛線),俯視圖為多邊形(可以有若干個(gè)共同頂點(diǎn)的三角形).如圖3.4.

圖3

圖4

3.棱臺(tái)的三視圖特點(diǎn):主(正)視圖與左(側(cè)視圖)視圖為若干個(gè)上下底共線的梯形排成的大梯形;俯視圖為若干個(gè)梯形,其上下底分別圍成多邊形,形成網(wǎng)狀.如圖5.6.

圖5

圖6

4.圓柱的三視圖特點(diǎn):主(正)視圖與左(側(cè)視圖)視圖為全等的矩形,俯視圖為圓.如圖7.

圖7

圖8

5.圓錐的三視圖特點(diǎn):主(正)視圖與左(側(cè)視圖)視圖為全等的三角形,俯視圖為圓.如圖8.

6.圓臺(tái)的三視圖特點(diǎn):主(正)視圖與左(側(cè)視圖)視圖為全等的梯形,俯視圖為兩個(gè)同心圓.如圖9.

圖9

圖10

7.球體的三視圖特點(diǎn):三個(gè)視圖均為全等的圓.如圖10.

8.斜棱柱的三視圖特點(diǎn):主(正)視圖為平行四邊形,左(側(cè)視圖)視圖為矩形,俯視圖為矩形(可以有若干條平行于矩形一條邊實(shí)線或虛線).如圖11.

圖11

為了方便記憶,由以上八種熟悉的基本的幾何體的三視圖特點(diǎn),可以總結(jié)出破解此類題型的“高考秘訣”為:

兩視矩形,看柱體,另為圓,則圓柱;另為多邊形,則棱柱.兩視三角形,看錐體,另有曲,則圓錐;另全直,則棱錐.兩視梯形,看臺(tái)體,另為同心圓,則圓臺(tái);另網(wǎng)狀,則棱臺(tái).三視為圓則為球.

三、三視圖還原的基本方法

方法 1.定型式—先底面,再頂點(diǎn)

例1(2016年新課標(biāo)全國III文科第10題)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為( )

解析 由斜棱柱的三視圖特點(diǎn),正視圖為平行四邊形,側(cè)視圖為矩形,俯視圖為矩形,則還原圖為斜四棱柱,上下底面為正方形,其面積:3×3×2;前后面為兩個(gè)平行四邊形,其面積:3×6×2;左右側(cè)面為矩形,其面積:3×35×2.則該多面體的表面積為

3×3×2+3×6×2+3×35×2=54+185,所以選擇B.

變式1(2016年四川文科第12題)已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積等于.

解析 由“高考秘訣”,三個(gè)視圖都是三角形,則該幾何體為三棱錐.由該幾何體的三視圖還原三棱錐的直觀圖,易知底面與一個(gè)側(cè)面垂直,如圖所示.且底面積為高為1,所以該幾何體的體積為

根據(jù)“高考秘訣”,一般可以先由俯視圖確定幾何體底面的形狀,俯視圖通常情況下與幾何體底面全等,再由正(主)視圖、側(cè)(左視圖)視圖、俯視圖確定其它頂點(diǎn)的位置,從而畫出原幾何體的直觀圖.

方法 2.切割式—補(bǔ)外殼,再切割

例2(2014年全國I第12題)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的各條棱中,最長的棱的長度為( )

解析 認(rèn)真分析三視圖,你會(huì)發(fā)現(xiàn)它們的橫邊,豎邊均為4,所以猜測此幾何體寄居在正方體內(nèi);故先畫正方體,根據(jù)三視圖(先俯視圖,后正視圖、側(cè)視圖)找出滿足題意的直觀圖,該幾何體是如圖所示的棱長為4的正方體內(nèi)的三棱錐E-CC1D1(其中E為BB1的中點(diǎn)),其中最長的棱為

故選B.

變式2(2017年北京文科第6題)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為( ).

A.60 B.30 C.20 D.10

解析 認(rèn)真分析三視圖,發(fā)現(xiàn)該幾何體的正視圖的橫邊為5,豎邊為4,側(cè)視圖的橫邊為3,所以猜測此幾何體寄居在長方體內(nèi);故先畫長方體,根據(jù)三視圖(先俯視圖,后正視圖、側(cè)視圖)找出滿足題意的直觀圖,該幾何體是如圖所示的長為5、寬為3、高為4的長方體內(nèi)的三棱錐S-ABC,

若能在三視圖中發(fā)現(xiàn)原幾何體是由我們熟悉的幾何體如正方體、長方體、直三棱柱等進(jìn)行切割加工而成的,即原幾何體“寄居”在這一“母體”內(nèi),則可以先由各個(gè)視圖的外形確定其外殼,再由各個(gè)視圖內(nèi)的有關(guān)線段確定其加工的過程,從而確定原幾何體的形狀.特別注意是,在補(bǔ)形后的三視圖所對(duì)應(yīng)的幾何體中,抓住關(guān)鍵點(diǎn)對(duì)應(yīng)的投影點(diǎn).

方法 3.組合式—先猜想,再驗(yàn)證

例3(2016年新課標(biāo)全國II文科第7題)如圖是圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為().

A.20π B.24π C.28π D.32π

解析 該幾何體為組合體,上面是圓錐,下面是圓柱,如圖所示.設(shè)圓柱底面圓半徑為r,周長為c,圓錐母線長為l,圓柱高為√h.由三視圖得:r=2,c=2πr=4π,由勾股定理得,l

故選C.

變式3(2014年浙江理科第3題)某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的表面積是( )

A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm2

解析 由三視圖可知該幾何體由一個(gè)直三棱柱與一個(gè)長方體組合而成(如圖),其表面積為

+2×4×3+2×4×6+3×6=138(cm2)

所以選擇D.

對(duì)于組合體問題,最好能根據(jù)三視圖的性質(zhì),猜想組成組合體各個(gè)部分的幾何體形狀,然后加以驗(yàn)證,從而得到原幾何體的直觀圖,解答時(shí)將其分解為若干個(gè)簡單幾何體,然后再根據(jù)“高考秘訣”,各個(gè)擊破.

三視圖的實(shí)質(zhì)是從正、側(cè)、俯三個(gè)角度平行的投影幾何體,得到的投影圖;三視圖還原出幾何體直觀圖的高考題目中,培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)造正方體或長方體為母體的解題意識(shí)很重要,這樣可以化陌生為熟悉,體現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.因此在掌握三視圖實(shí)質(zhì)的同時(shí),再注意培養(yǎng)構(gòu)造正方體或長方體為母體的意識(shí),就可以以不變應(yīng)萬變,自信面對(duì)高考.