條件式abc＝a＋b＋c＋2的幾個等價式與應(yīng)用

浙江省湖州市雙林中學(xué) 李建潮 錢旭鋒 （郵編：313012）

本文談?wù)剹l件式：

下的不等式證明題.

1 ①的等價式一與應(yīng)用

①式等價于

上式兩邊都加2（bc＋ca＋ab），整理得

（a＋b＋c）（a＋b＋c＋2）≥4（bc＋ca＋ab），

即（a＋b＋c）abc≥4（bc＋ca＋ab）.

兩邊同除以abc，原不等式獲證.

2 ①的等價式二與應(yīng)用

①式又等價于

例2 已知正數(shù)a、b、c滿足abc＝a＋b＋c＋2，求證：（a－1）（b－1）（c－1）≤1.

證明 已知條件等價于③式，且用反證法易知：bc、ca、ab＞1.進(jìn)而a、b、c三數(shù)中至少有兩數(shù)大于1，不妨設(shè)a＞1，b＞1.

若c≤1，則求證式顯然成立；

若c＞1，則不等式（px－qy）2≥ （p2－q2）（x2－y2）（p、q、x、y∈R）應(yīng)用于 ③ 式，有

聯(lián)立例1，可獲：

結(jié)論1 已知正數(shù)a、b、c滿足abc＝a＋b＋c＋2，則

3 ①的等價式三與應(yīng)用

①式等價變形為：

這就是①式的第三個等價式，它與如下賽題“連通”：

賽題 （第20屆伊朗奧賽題）已知正數(shù)a、b、c滿足a2＋b2＋c2＋abc＝4求證：

a＋b＋c≤3.

結(jié)論2 已知正數(shù)a、b、c滿足

（或 ④ 或 ① 或 ③），則

（1998年日本IMO選拔賽題的加強(qiáng)）

下面舉二例以示應(yīng)用：

證明 已知條件等價于

例4 （2004年上海競賽題）若α、β、γ∈ （0，），sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1，求證：

應(yīng)用結(jié)論2，得

由此易證（cotαcotβcotγ）2≥8；進(jìn)而由均值不等式，可證cotα＋cotβ＋cotγ≥ 3.

類似 若α、β、γ∈ （0，），cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，求證：