中考數(shù)學(xué)合情推理能力的題型析解

山東省寧陽(yáng)縣教育局教科研中心 尚延亮 （郵編：271400）

合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果.在解決問題的過程中，合情推理能產(chǎn)生新知識(shí)、新思想、新理論.可見，在某些情況下，教學(xué)生合情推理、教會(huì)學(xué)生猜想，遠(yuǎn)比教學(xué)生論證推理與教證明要有意義得多.最近幾年的數(shù)學(xué)中考命題者們?cè)谶@方面進(jìn)行了有益而大膽的探索，試卷中出現(xiàn)了一些引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合情推理題目，本文從2013年各地的中考試卷中選擇部分有代表性的題目進(jìn)行分析.希望對(duì)指導(dǎo)老師們的教學(xué)有所啟迪.

1 與數(shù)形結(jié)合思想聯(lián)系在一起，考查學(xué)生類比推理的能力

例1 （重慶卷第10題）下列圖形（如圖1所示）都是由同樣大小的矩形按一定的規(guī)律組成，其中第（1）個(gè)圖形的面積為2cm2，第（2）個(gè)圖形的面積為8cm2，第（3）個(gè)圖形的面積為18cm2，…，則第（10）個(gè)圖形的面積為（ ）.

A.196cm2B.200cm2

C.216cm2D.258cm2

解析 本題創(chuàng)設(shè)了一個(gè)探究圖形個(gè)數(shù)的“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)模型，考查了與圖形面積有關(guān)的規(guī)律探究問題，解答時(shí)，需要從簡(jiǎn)單到復(fù)雜進(jìn)行探究：圖中每一個(gè)小矩形的面積為2cm2，

第（1）個(gè)圖形的面積為2＝2×12（cm2）；

第（2）個(gè)圖形的面積為8＝2×22（cm2）；

第（3）個(gè)圖形的面積為18＝2×32（cm2）；

第（4）個(gè)圖形的面積為32＝2×42（cm2）；

……

由此，可以類比猜想得到規(guī)律：第10個(gè)圖形的面積為2×102＝200（cm2）.故選B.

點(diǎn)評(píng) 類比推理是根據(jù)兩個(gè)或兩類對(duì)象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相同的一種推理.它是一種常用的合情推理形式.

從分析的過程看，本題是借助于“圖形”的形象性與直觀性逐步得到最終解決的.本題除了考察學(xué)生的類比猜想能力外，還滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡(jiǎn)便易行的成功方案.本題給我們的啟發(fā)有二：一是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，當(dāng)遇到一個(gè)問題涉及到很多或無(wú)窮多情形時(shí)，我們可以從問題的簡(jiǎn)單情形或特殊情形入手，通過簡(jiǎn)單情形或特殊情形的試驗(yàn)，從中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律或作出某種猜想，從而找到解決問題的途徑.二是在教學(xué)中，千萬(wàn)不要就知識(shí)點(diǎn)而講知識(shí)點(diǎn)，一定要把這些“顯知識(shí)”背后所“隱含”的數(shù)學(xué)思想揭示出來(lái).做到用數(shù)學(xué)思想方法來(lái)“統(tǒng)領(lǐng)”知識(shí)點(diǎn)，以達(dá)到優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)的目的，因?yàn)橹挥羞@樣被“優(yōu)化”起來(lái)的知識(shí)結(jié)構(gòu)才具有生命力和創(chuàng)造性.

2 在算式的計(jì)算中，考查學(xué)生歸納猜想規(guī)律的能力

例2 （山東省濱州卷第18題）觀察下列各式的計(jì)算規(guī)律過程：

5×5＝0×1×100＋25，

15×15＝1×2×100＋25，

25×25＝2×3×100＋25，

35×35＝3×4×100＋25，

……

請(qǐng)猜測(cè)，第n個(gè)算式（n為正整數(shù)）應(yīng)表示為＝________.

解析 本題以簡(jiǎn)單的整數(shù)計(jì)算為載體，以考查學(xué)生歸納猜想的能力為主.觀察給定的4個(gè)算式可以發(fā)現(xiàn)，等式的左邊都是［10（n－1）＋5］×［10（n－1）＋5］，等式的右邊都是（n－1）×n×100＋25，即100n（n－1）＋25，所以第n個(gè)算式（n為正整數(shù)）應(yīng)表示為［10（n－1）＋5］×［10（n－1）＋5］＝100n（n－1）＋25.

點(diǎn)評(píng) 歸納推理是從特殊到一般的推理，歸納推理是一種合情推理.給定幾個(gè)代數(shù)計(jì)算式子，在計(jì)算的過程中通過歸納、猜想得到有關(guān)的規(guī)律，然后用代數(shù)變形的方式求某個(gè)式子的值或證明猜想的正確性，并利用歸納得到的規(guī)律解答給定的問題是一種常見的題型，解答這樣的問題需要較強(qiáng)的觀察能力、分析判斷能力、類比歸納等能力.在教學(xué)過程中，教師應(yīng)結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，經(jīng)常設(shè)計(jì)一些類似的題目讓學(xué)生去分析和思考，學(xué)生的歸納猜想能力，必將得到較大的提高.

3 考查學(xué)生用統(tǒng)計(jì)的知識(shí)進(jìn)行估算的能力

例3 （廣東卷第20題）某校教導(dǎo)處為了解該校七年級(jí)同學(xué)對(duì)排球、乒乓球、羽毛球、籃球和足球五種球類運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的喜愛情況（每位同學(xué)必須且只能選擇最喜愛的一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目），進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)后繪制成了如表1和圖2所示的不完整統(tǒng)計(jì)圖表.

（1）請(qǐng)你補(bǔ)全下列樣本人數(shù)分布表（表1）和條形統(tǒng)計(jì)圖（圖2）；

（2）若七年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)為920人，請(qǐng)你估計(jì)七年級(jí)學(xué)生喜愛羽毛球運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的人數(shù).

表1 樣本人數(shù)分布表

解析 （1）羽毛球占的百分比為100%－6%－28%－20%－16%＝30%，調(diào)查的人數(shù)為15÷30%＝50.所以喜歡籃球的人數(shù)為50×20%＝10.補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖3所示.（2）用樣本估計(jì)總數(shù)，得920×30%＝276（人）.即七年級(jí)學(xué)生喜愛羽毛球運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的約有276人.

點(diǎn)評(píng) 統(tǒng)計(jì)推理是用樣本的資料對(duì)總體的某些性質(zhì)進(jìn)行估計(jì)或推斷的不完全歸納推理.統(tǒng)計(jì)推理是從樣本到總體的推理，是一種常用的統(tǒng)計(jì)推理.

本題以學(xué)生感興趣球類運(yùn)動(dòng)進(jìn)行調(diào)查為載體，得到了一些基本數(shù)據(jù)，主要考察同學(xué)們對(duì)基本統(tǒng)計(jì)概念的理解情況，對(duì)給定樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行處理的能力以及用樣本屬性估計(jì)總體屬性的能力.要求同學(xué)們能掌握這些概念和計(jì)算方法，正確理解樣本數(shù)據(jù)的特征，能根據(jù)計(jì)算結(jié)果作出準(zhǔn)確的判斷.用樣本估計(jì)總體是中考對(duì)“統(tǒng)計(jì)初步”知識(shí)考查的題型之一，求解的方法是用總體乘以考察對(duì)象在樣本中所占的比例.類似這樣的問題對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生“通過分析數(shù)據(jù)作出判斷”的能力是非常有益的.

4 在解答探索型問題的過程中，考查學(xué)生的合情推理能力

例4 （云南省八地市卷23題）如圖4，四邊形ABCD是等腰梯形，下底AB在x軸上，點(diǎn)D在y軸上，直線AC與y軸交于點(diǎn)E（0，1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，3）.

（1）求A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求經(jīng)過A、D、C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使△ACP是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 （1）根據(jù)E、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)求直線EC的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由點(diǎn)C的坐標(biāo)可得到點(diǎn)D的坐標(biāo).（2）根據(jù)A、D、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.（3）觀察圖形，可以猜想到在y軸上存在點(diǎn)P，使△ACP是等腰三角形.而且這樣的點(diǎn)P有多個(gè).

解 （1）、（2）省略.

（3）存在.

①作線段AC的垂直平分線，交y軸于點(diǎn)P1，交AC于點(diǎn)F，如圖5所示.

由OA＝OE，△OAE為等腰直角三角形，∠AEO＝45°，

求得 ∠FEP1＝∠AEO＝45°，所以△FEP1為等腰直角三角形.

②以點(diǎn)A為圓心，線段AC長(zhǎng)為半徑畫弧，交y軸于點(diǎn)P2、P3.可求得圓的半徑長(zhǎng)AP2＝AC＝3.連接AP2，則在Rt△AOP2中，

③以點(diǎn)C為圓心，線段CA長(zhǎng)為半徑畫弧，交y軸于點(diǎn)P4、P5，則圓的半徑長(zhǎng)CP4＝CA＝3，在Rt△CDP4中，CP4＝ 3，CD＝2，，

點(diǎn)評(píng) 本題是以三角形為載體的探索型問題.所謂探索型問題就是問題的條件或結(jié)論不直接給出，需要經(jīng)過觀察、分析、分類、推理、化歸、特殊化、一般化、數(shù)形結(jié)合及猜想等一系列的探索活動(dòng)，才能完成解答.解答這樣的問題，需要學(xué)生具有一定的閱讀理解能力，比較強(qiáng)的綜合分析與判斷猜想能力.

就本題而言，前兩問比較容易，第三問是需要探索的問題，解答的關(guān)鍵在于能憑借直觀猜想到存在這樣的點(diǎn)P使△ACP是等腰三角形，然后通過作圖探究點(diǎn)P的坐標(biāo).

總之，我們?cè)诮虒W(xué)中要夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)、滲透常見的思想方法，通過分析、綜合，把所學(xué)的知識(shí)序列化、結(jié)構(gòu)化.養(yǎng)成勤于思考、善于猜想的良好習(xí)慣，強(qiáng)調(diào)、重視論證推理的同時(shí)，強(qiáng)化合情推理的教育.精心設(shè)計(jì)教學(xué)，結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行二次改造，按照“問題情境—建立模型—求解驗(yàn)證”的思路引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、比較、聯(lián)想、類比、歸納素材，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想意識(shí)、猜想習(xí)慣、猜想能力.讓同學(xué)們?cè)诮?jīng)歷觀察、試驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流的過程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程.