基于遺傳算法的AR譜極點(diǎn)頻率優(yōu)化方法及應(yīng)用

明廷鋒， 張 帥

(海軍工程大學(xué) 動力工程學(xué)院， 湖北 武漢 430033)

提取故障特征頻率是機(jī)械故障診斷過程中的關(guān)鍵步驟， 也是故障診斷領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一. 例如對于滾動軸承的故障診斷， 相關(guān)研究已經(jīng)有二十多年了， 最常用的方法就是對軸承的故障信號進(jìn)行分析和處理從而得出相關(guān)的故障特征， 具體包括時頻分析、 能量譜分析等[1-11]， 這些方法已經(jīng)能夠成功地對很多機(jī)械進(jìn)行故障檢測. 近年來， Suguna提出了一種基于自回歸模型(Autoregressive model, AR)和相關(guān)極點(diǎn)譜分解技術(shù)的故障檢測方法[12]， 它能直接對有用的頻率進(jìn)行分析， 從而避免了對整個頻譜進(jìn)行計算， 很大程度上提高了檢測效率和自動化水平. 從信號的AR譜中分解出的幾個極點(diǎn)與信號能量譜中的極點(diǎn)是相對應(yīng)的[13]. 利用AR譜進(jìn)行故障檢測不需要獲得整個譜， 只要對幾個靠近故障頻率的極點(diǎn)進(jìn)行檢測即可. AR譜的極點(diǎn)值只需通過估計出AR系數(shù)就能很容易得到. 較小階數(shù)的AR模型就能夠很有效地對相關(guān)故障頻率對應(yīng)的極點(diǎn)進(jìn)行估計. AR譜估計需要的信號長度短， 但卻可以達(dá)到較好的分辨率， 即便是樣本的采樣頻率比奈奎斯特采樣頻率略高， 也能表現(xiàn)出不錯的分辨率. 但是AR模型的準(zhǔn)確性受模型階數(shù)和樣本大小的影響， 如果階數(shù)和樣本大小選擇得不適宜會導(dǎo)致AR譜極點(diǎn)對應(yīng)的頻率較大地偏離對應(yīng)的故障頻率， 從而導(dǎo)致在檢測過程中對故障種類產(chǎn)生誤判， 最終造成對故障嚴(yán)重程度的判斷失誤. 而且AR譜極點(diǎn)對應(yīng)的故障頻率本身就會有偏差， 所以選擇一個較好的階數(shù)和樣本大小是使用AR譜的關(guān)鍵.

目前， 針對AR譜的階數(shù)問題已有很多研究[14]， 但大多都是用一般的定階準(zhǔn)則來確定模型階數(shù)的. 雖然一般的定階準(zhǔn)則在一定程度上能夠使模型變得相對準(zhǔn)確， 但是這些定階準(zhǔn)則算出的階數(shù)并不是最優(yōu)階數(shù). 而且這些階數(shù)很不穩(wěn)定， 有時也會讓AR譜中極點(diǎn)與其對應(yīng)的故障頻率產(chǎn)生很大的偏差. 為了能夠得到相對更為準(zhǔn)確的階數(shù)和相適應(yīng)的樣本大小， 本文提出了一種基于遺傳算法[15]的AR譜極點(diǎn)頻率優(yōu)化方法： 首先對故障信號進(jìn)行預(yù)處理(共振解調(diào)、 平方包絡(luò)等)， 得出軸承的故障頻率， 然后利用遺傳算法和相關(guān)故障頻率對預(yù)處理后的故障信號AR譜極點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化， 使AR譜極點(diǎn)與對應(yīng)的故障頻率相接近， 讓故障檢測更為準(zhǔn)確. 本文對軸承內(nèi)圈故障信號數(shù)據(jù)進(jìn)行了實(shí)驗驗證， 取得了較好的效果， 并得出了較優(yōu)的模型階數(shù)和樣本點(diǎn)數(shù)， 為AR譜的定階和樣本點(diǎn)數(shù)選擇提供了可靠的依據(jù).

1 基于AR譜的故障檢測技術(shù)

AR譜技術(shù)是一種現(xiàn)代譜分析技術(shù)， 它同時兼顧了較高的分辨率和較小的計算量， 既高效又簡單， 其表達(dá)式如式(1)所示.

(1)

式中：ak為自回歸系數(shù)；e[t]為白噪聲序列. 式(1)經(jīng)過z變換之后得到

(2)

(3)

將式(3)中的分母寫成零點(diǎn)式得到

(4)

式中：pk可以通過對式(3)的分母求根得到. 再由式(4)可以推導(dǎo)出

(5)

式中：σ2為白噪聲的方差； Δt為信號的采樣周期. 從式(4)～(5)中可以看出， 式(4)中的每一個極點(diǎn)pk在式(5)中都有一個頻率f相對應(yīng). 一般情況下， 這些極點(diǎn)pk所對應(yīng)的f就是我們要關(guān)注的故障頻率. 與這些f對應(yīng)的p[z]就可以作為軸承的健康指標(biāo)， 通過實(shí)時檢測這些f對應(yīng)的p[z]就可以知道軸承的狀態(tài). 為了方便進(jìn)行故障檢測， 把f和p[z]反映到極坐標(biāo)圖中， 換算公式如下

ρ=p[z],

(6)

(7)

式中： 用極半徑ρ長度表示p[z]； 極角θ為故障頻率f在極坐標(biāo)中的分布；fs為信號采樣頻率；ω用來調(diào)整極徑分布的密集程度， 以方便進(jìn)行檢測， 具體的取值根據(jù)實(shí)際需要而定. 檢測流程如圖 1 所示. 利用極坐標(biāo)圖進(jìn)行檢測前需要先把軸承的各理論故障頻率標(biāo)注在極坐標(biāo)上， 然后在檢測的過程中把AR譜中的極點(diǎn)轉(zhuǎn)換到極坐標(biāo)中， 在各理論故障頻率極徑上設(shè)定最大故障值λn， 就可以進(jìn)行實(shí)時檢測了.

本文的實(shí)驗數(shù)據(jù)均來自凱斯西儲大學(xué)軸承數(shù)據(jù)中心網(wǎng)站(http:∥csegroups.case.edu/bearingdatacenter). 實(shí)驗選取的具體軸承型號是6205-2RS JEM SKF， 深溝球軸承： 滾子 9個， 滾子直徑7.9 mm， 中徑39 mm. 電機(jī)轉(zhuǎn)速為1 730 rpm， 理論故障頻率經(jīng)計算可得： 內(nèi)圈故障156 Hz， 外圈故障103 Hz， 滾子故障67 Hz， 保持架故障11 Hz. 采樣頻率為12 000 Hz， 故障信號樣本點(diǎn)數(shù)是5 000， 圖中AR譜的定階方法都采用AIC定階方法和Yule-Walker估計法. 圖 2(a) 是內(nèi)圈故障軸承振動信號時域圖， 圖 2(b) 是經(jīng)過平方包絡(luò)處理后的振動信號， 圖3是平方包絡(luò)譜的AR譜和FFT頻譜， 可見AR譜的最大極點(diǎn)與FFT的故障頻率是相對應(yīng)的. 利用式(6)作出理論故障頻率的極徑，ω取值設(shè)為20， 對應(yīng)的故障極角為： 內(nèi)圈故障93.6°， 外圈故障61.8°， 滾子故障40.2°， 保持架故障6.6°. 圖 3 中的檢測樣本點(diǎn)是取自此故障軸承的一段點(diǎn)數(shù)為240 000的信號， 將此信號平均截成100組信號， 每組長度為2 400點(diǎn)數(shù). 對每組信號按照流程圖 1 進(jìn)行故障檢測， 得到檢測圖如圖 4 所示. 可見， 當(dāng)利用AR譜進(jìn)行故障檢測時， 如果最大極值點(diǎn)對應(yīng)的頻率介于兩故障頻率之間會引起故障類型的誤判. 由于每種故障的最大故障值λn是不一樣的， 因此會導(dǎo)致對最大故

障值的誤判， 最終影響故障檢測. 為了能夠讓AR譜中最大極值點(diǎn)對應(yīng)的頻率與故障頻率的偏差盡量小， 就必須選擇一個較好的階數(shù)和樣本點(diǎn)數(shù).

圖 1 故障檢測流程圖Fig.1 Fault detection flowchart

圖 2 內(nèi)圈故障軸承振動信號Fig.2 Vibration signals of bearing inner race fault

圖 3 平方包絡(luò)信號的AR譜和FFT頻譜Fig.3 AR spectrum and FFT spectrum of squared envelope signals

圖 4 故障檢測極坐標(biāo)圖Fig.4 Fault detection polar coordinates

2 基于遺傳算法的AR譜優(yōu)化算法

目前， 時間序列中常用的定階方法有很多， 如FPE， AIC， MDL， CAT等. 但這些定階方法不能很好地滿足基于AR譜的故障檢測的需要， 有時會產(chǎn)生很大的偏差， 如上節(jié)所述. 實(shí)際應(yīng)用時， 可以將這些定階準(zhǔn)則當(dāng)作一定的參考. 一些研究得出了模型階數(shù)和樣本大小的一般取值范圍[8]. 本文利用遺傳算法對AR譜進(jìn)行優(yōu)化， 使AR譜的最大值極點(diǎn)與故障頻率更接近， 同時得到了對應(yīng)的模型階數(shù)和樣本點(diǎn)數(shù)， 從而更好地實(shí)現(xiàn)故障檢測.

2.1 遺傳算法編碼

本算法中的編碼采用二進(jìn)制編碼， 共需要2段編碼， 每段編碼位數(shù)是10位. 第一段為AR模型階數(shù)K的偏碼， 第二段為樣本數(shù)為N的編碼. 具體如圖 5 所示， *代表二進(jìn)制編碼0或1. 編碼的換算如式(8)～(9). AR模型的階數(shù)取值一般為25～45， 樣本點(diǎn)數(shù)的取值范圍可以根據(jù)需要進(jìn)行設(shè)置， 不同的點(diǎn)數(shù)都會對應(yīng)一個較優(yōu)的階數(shù). 一般的定階準(zhǔn)則在4 000時能呈現(xiàn)出較好的效果， 所以本文將其范圍定為2 000～6 000以便設(shè)置初始種群.

圖 5 二進(jìn)制編碼圖Fig.5 Binary coded

(8)

(9)

2.2 遺傳算法操作步驟

編碼完成后就可以進(jìn)行遺傳運(yùn)算， 具體過程如下：

1) 設(shè)置起始種群. 遺傳算法起始種群的編碼是隨機(jī)產(chǎn)生的. 它們的取值范圍是在階數(shù)和樣本大小的一般取值范圍內(nèi)隨機(jī)選擇的， 當(dāng)然也可以按照對樣本大小和階數(shù)的需求設(shè)置編碼取值范圍. 種群的起始數(shù)量按照經(jīng)驗進(jìn)行判斷， 從實(shí)驗中發(fā)現(xiàn)40～100較為合適， 文中設(shè)為60.

2) 種群的適應(yīng)性. 為了讓AR譜的極點(diǎn)對應(yīng)的頻率與故障頻率更接近， 選擇故障頻率作為比較對像. 把AR譜的極點(diǎn)頻率與軸承故障頻率的誤差作為適應(yīng)度， 誤差越小， 適應(yīng)性越強(qiáng). 為了方便適應(yīng)度的比較， 具體公式如下

S(f)=ft-|f-ft|,

(10)

式中：f為極點(diǎn)頻率；ft為軸承的故障頻率， 并由共振解調(diào)等信號處理方法預(yù)先算出， 或根據(jù)需要換成理論故障頻率；S為適應(yīng)度，S的值越大， 表示適應(yīng)性越強(qiáng).

3) 復(fù)制. 復(fù)制操作能夠決定適應(yīng)性較強(qiáng)的個體進(jìn)入下一代， 本文采用的是賭輪盤選擇法. 當(dāng)適應(yīng)性概率大于復(fù)制概率時， 部分子代就可以復(fù)制并繼承父代的編碼. 適應(yīng)性概率計算如下

(11)

(12)

4) 交叉. 群體中的每個個體之間都以一定的概率pc交叉， 即兩個個體從各自字符串的某一位置開始互相交換， 這類似生物進(jìn)化過程中的基因分裂與重組. 概率pc按照經(jīng)驗進(jìn)行選取.

圖 6 基于遺傳算法的優(yōu)化的流程圖Fig.6 Optimization based on genetic algorithm flowchart

5) 變異. 基因的突變普遍存在于生物的進(jìn)化過程中. 變異是指父代中的每個個體的每一位都以概率pm翻轉(zhuǎn)， 即由“1”變?yōu)椤?”， 或由“0”變?yōu)椤?”. 遺傳算法的變異特性可以使求解過程隨機(jī)地搜索到解可能存在的整個空間， 因此可以在一定程度上求得全局最優(yōu)解.

6) 運(yùn)算結(jié)束. 當(dāng)出現(xiàn)以下情況時可以結(jié)束運(yùn)算： ① 當(dāng)個體的適應(yīng)度發(fā)生了收斂， 即在進(jìn)行了相當(dāng)次數(shù)的迭代后， 適應(yīng)度的最大值沒有明顯的變化； ② 當(dāng)?shù)拇螖?shù)達(dá)到了設(shè)定的迭代次數(shù). 本算法的流程圖如圖 6 所示.

3 實(shí)驗驗證

實(shí)驗驗證仍然利用前文所述的實(shí)驗平臺. 信號采樣長度為500 000， 均分為100組信號， 每組5 000個. 設(shè)置的階數(shù)范圍為25～45， 樣本點(diǎn)數(shù)范圍為2 000～6 000. 基于遺傳算法優(yōu)化的故障檢測結(jié)果圖 7 所示.

圖 7 基于遺傳算法的故障檢測極坐標(biāo)圖 Fig.7 Fault detection polar coordinates based on genetic algorithm

與圖4比較， 易看出優(yōu)化后的圖7的極坐標(biāo)圖很清晰， 故障基本上都集中在內(nèi)圈故障附近， 與相臨的故障極徑區(qū)域沒有重疊的部分， 那么就可以只針對內(nèi)圈故障進(jìn)行檢測和判斷， 而不需要考慮與其相鄰的理論故障的檢測. 而圖4中的檢測值則分布在內(nèi)圈和外圈的理論故障之間的區(qū)域， 無法進(jìn)行精確故障診斷. 圖8(a)是經(jīng)過遺傳優(yōu)化后的AR譜和FFT譜， 圖8(b)是用AIC定階準(zhǔn)則直接得出的AR譜. 從圖8(a)中可以看出最大的極點(diǎn)對應(yīng)的頻率更接近故障頻率， 而圖8(b)中有較明顯的偏差. 對其它的樣本進(jìn)行優(yōu)化后， 也得到同樣的結(jié)果. 因此， 本算法較一般的定階準(zhǔn)則有明顯的改進(jìn).

圖 8 信號的AR譜和FFT譜圖Fig.8 AR spectrum and FFT spectrum of the signals

表 1 所示為100個信號樣本進(jìn)行階數(shù)和樣本點(diǎn)數(shù)優(yōu)化后的部分?jǐn)?shù)據(jù). 從表1中可以看出， 同一機(jī)械系統(tǒng)中同一類型軸承在一定的故障時間段的AR譜階數(shù)基本上是很穩(wěn)定的， 與之對應(yīng)的樣本點(diǎn)數(shù)總體上也是比較穩(wěn)定的. 因此， 在應(yīng)用AR譜進(jìn)行故障檢測時， 只需在整個故障檢測周期的某幾個階段進(jìn)行基于遺傳算法的AR譜優(yōu)化， 就可以得出適用于這幾個故障檢測周期所需的最優(yōu)模型階數(shù)和點(diǎn)數(shù).

表 1 優(yōu)化階數(shù)和樣本點(diǎn)數(shù)

4 結(jié) 論

1) 針對基于AR譜中的故障頻率與相關(guān)極點(diǎn)的偏差問題， 提出了一種基于遺傳算法的AR譜故障頻率極點(diǎn)優(yōu)化方法， 使AR譜極點(diǎn)與其對應(yīng)的故障頻率更接近， 從而實(shí)現(xiàn)了精確故障檢測， 并通過實(shí)驗數(shù)據(jù)驗證取得了較好的結(jié)果.

2) 影響AR模型的因素中除了階數(shù)和樣本點(diǎn)數(shù)外， 還有估計法的影響， 本文只考慮了采用Yule-Walker估計法， 而最小二乘法、 Burg估計法等也可以應(yīng)用文中提出的方法進(jìn)行頻譜頻率估計， 可在后續(xù)研究工作中開展.

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