利用建系法巧解向量題

摘 要：在解有關(guān)向量運算問題時，大部分學生會選擇利用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則及平面向量基本定理進行求解。筆者認為只要適當建立直角坐標系，用坐標表示向量，將向量運算轉(zhuǎn)化為向量的坐標運算，把向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進行求解，可以使圖形中復(fù)雜的幾何關(guān)系變得簡單、明朗化，減少推理過程，有效地降低了思維量，起到事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞：建系法；向量問題；轉(zhuǎn)化思想；代數(shù)問題

平面向量是高考考查的熱點，每年高考基本上以1個小題來考查向量知識，若考查有關(guān)向量運算，解這類題一般有兩種解法。解法（一）利用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則及平面向量基本定理進行求解，解法（二）建立平面直角坐標系，將向量坐標化，運用向量坐標運算法則進行求解。大部分學生采用解法（一）居多，整個解題的過程較復(fù)雜，對學生掌握向量知識的嫻熟度要求較高，相當一部分學生解到最后卻無功而返。而解法（二）避開了向量的幾何意義，減少推理過程，將向量運算轉(zhuǎn)化為向量的坐標運算，把向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進行求解，此解法思路條理清晰，學生用起來得心應(yīng)手，解題的準確率大大提高。

下面筆者將有關(guān)向量運算問題分為三種類型進行講解，利用建系法巧妙快捷地解決各種有關(guān)向量運算題。

一、 在特殊圖形中建立直角坐標系，解向量問題

解這類向量題，可根據(jù)題目已知條件的正方形、矩形、正三角形或已知角的特殊性，以特殊角的頂點為原點，適當建立直角坐標系，表示各頂點坐標，進而表示各向量坐標，利用向量坐標運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來求解。

例1 在正方形ABCD中，M、N分別是BC、CD的中點，若AC=λAM+μBN，則λ-3μ= 。

解：如圖建立平面直角坐標系，設(shè)正方形邊長為1，可得A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），M（1，12），N（12，1），

∴AC=（1，1），AM=（1，12），BN=（-12，1），

∵AC=λAM+μBN，∴（1，1）=λ（1，12）+μ（-12，1）=（λ-12μ，12λ+μ），

∴λ-12μ=1

12λ+μ=1，解得λ=65

μ=25，∴λ-3μ=65-3×25=0.

例2 （2017天津理）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，若BD=2DC，AE=λAC-AB（λ∈R），且AD·AE=-4，則λ的值為 。

解：如圖建立直角坐標系，可得A（0，0），C（2，0），設(shè)B（x1，y1），D（x2，y2）

∴x1=3cos60°=32，y1=3sin60°=332，∴B（32，332），

∵BD=2DC，∴（x2，y2）-（32，332）=2[（2，0）-（x2，y2）]，∴（x2，y2）=（116，32），即D（116，32），∴AD=（116，32），

∵AE=λAC-AB，∴AE=λ（2，0）-（32，332）=（2λ-32，-332），

∴AD·AE=116（2λ-32）-332×32=-4，解得λ=311.

例3 （2017江蘇卷）如圖，在同一平面內(nèi)，向量OA、OB、OC的模分別為1，1，2，OA與OC的夾角為α，且tanα=7，OB與OC的夾角為45°，若OC=mOA+nOB（m，n∈R），則m+n= 。

解：如圖建立直角坐標系，可得O（0，0），A（1，0），設(shè)C（x1，y1），B（x2，y2），OB與x軸負半軸夾角為β由tanα=7，得cosα=210，sinα=7210，

∴x1=2cosα=15，y1=2sinα=75，∴C（15，75），

∵β+α+45°=180°，∴tanβ=-tan（α+45°）=-tanα+tan45°1-tanαtan45°=43.

∴cosβ=35，sinβ=45，∴x2=-1·cosβ=-35，y2=1·sinβ=45，得B（-35，45），

∵OC=mOA+nOB，∴（15，75）=m（1，0）+n（-35，45）=（m-35n，45n），

∴m-35n=15

45n=75，解得m=54

n=74，∴m+n=54+74=3.

二、 將一般圖形特殊化，建立直角坐標系，解向量問題

解這類向量題，可將題目已知條件中的一般四邊形、三角形進行特殊化為正方形、正三角形來處理，再建立直角坐標系，這樣有利于表示各頂點坐標，進而運用向量坐標運算進行求解。

例4 在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，若AC=a→，BD=b→，則AF等于（ ）

A. 14a→+12b→

B. 23a→+13b→

C. 12a→+14b→

D. 13a→+23b→

解：將平行四邊形ABCD特殊化為邊長為1的正方形，如圖建立直角坐標系，可得A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），O（12，12），E（14，34），

設(shè)F（x，1），∴AE=（14，34），AF=（x，1），

∵AE∥AF， ∴34x-14=0，得x=13，∴F（13，1），

設(shè)AF=λAC+μBD，∴（13，1）=λ（1，1）+μ（-1，1）=（λ-μ，λ+μ），

∴λ-μ=13

λ+μ=1，解得λ=23

μ=13，

∴AF=23a→+13b→，故選B。

例5 如圖，OC=2OP，AB=2AC，OM=mOB，ON=nOA，若m=38，那么n等于（ ）endprint

A. 12

B. 23

C. 34

D. 45

解：將△OAB特殊化為邊長為1的正三角形，如圖建立直角坐標系，可得O（0，0），A（1，0），B（12，32），

由AB=2AC，得C（34，34），由OC=2OP，得P（38，38），

由OM=38OB，得M（316，3316），由ON=nOA，得N（n，0），

∴MN=（n-316，-3316），MP=（316，-316），

∵MN∥MP∴-316（n-316）=316×（-3316），解得n=34。故選C。

三、 建立直角坐標系，解向量運算的最值問題

解這類有關(guān)向量運算的最值問題，務(wù)必要建立直角坐標系，表示各頂點、各向量的坐標，進而將向量運算“代數(shù)化”，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來求解。

例6 （2017全國課標2理）已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則PA·（PB+PC）的最小值是（ ）

A. -2

B. -32

C. -43

D. -1

解：如圖建立直角坐標系，可得A（0，0），B（2，0），C（1，3），設(shè)P（x，y）（0

∴PA=（-x，-y），PB=（2-x，-y），PC=（1-x，3-y），

∴PB+PC=（3-2x，3-2y），

∴PA·（PB+PC）=-x（3-2x）-y（3-2y）=2x2-3x+2y2-3y

=2（x-34）2+2（y-34）2-32，

∴當x=34，y=34時，PA·（PB+PC）取得最小值為-32。故選B。

例7 （2017全國課標3理）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上，若AP=λAB+μAD，則λ+μ的最大值為（ ）

A. 3

B. 22

C. 5

D. 2

解：如圖建立直角坐標系，可得B（0，0），C（2，0），D（2，1），A（0，1），設(shè)圓的半徑為r，在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2，

∴BD=12+22=5，據(jù)等積法得，12BD·r=12BC·CD，

∴r=25，∴圓C方程為：（x-2）2+y2=45，

設(shè)P（x，y），∵AP=λAB+μAD，∴（x，y-1）=λ（0，-1）+μ（2，0）=（2μ，-λ），

∴x=2μ

y-1=-λ，解得μ=x2

λ=-y+1，∴λ+μ=x2-y+1，

令Z=λ+μ=x2-y+1，∵P在圓C上，又圓C的參數(shù)方程為：x=2+25cosθ

y=25sinθ，

∴Z=15cosθ-25sinθ+2，∴Zmax=（15）2+（-25）2+2=3，故選A。

利用建系法解向量問題，為學生開辟了另類解向量的方法，同時也培養(yǎng)了學生數(shù)學建模轉(zhuǎn)化解決問題的能力，這也是數(shù)學教學的目的所在，讓學生遇到問題善于思考，分析問題、解決問題，構(gòu)建模型，運用“轉(zhuǎn)化思想”將問題進行轉(zhuǎn)化求解，最終提升學生“數(shù)學建模”的數(shù)學素養(yǎng)。

參考文獻：

[1]黃國斌.巧建平面直角坐標系求解向量問題.《福建中學數(shù)學》，2012年，第12期.

作者簡介：

楊衛(wèi)乾，福建省漳州市薌城中學。