高等代數(shù)與空間解析幾何的優(yōu)化教學(xué)

劉海琴

【摘要】本文簡單敘述了高等代數(shù)和空間解析幾何兩門課程存在的相互關(guān)系，結(jié)合兩者內(nèi)容上的相互關(guān)聯(lián)點(diǎn)，著重分析了如何優(yōu)化兩者的教學(xué)，并結(jié)合實例予以佐證.

【關(guān)鍵詞】高等代數(shù)；空間解析幾何；優(yōu)化教學(xué)

高等代數(shù)和空間解析幾何，是本科數(shù)學(xué)相關(guān)專業(yè)的兩大專業(yè)基礎(chǔ)課程.前者的主要內(nèi)容是多項式理論、矩陣?yán)碚摗⑾蛄靠臻g和線性變換理論；而后者的主要內(nèi)容是向量代數(shù)、空間直線和平面、常見曲面、坐標(biāo)變換、二次曲線方程的化簡等.一般學(xué)校的課程安排都是兩門課同時進(jìn)行或者空間解析幾何在高等代數(shù)開始一個學(xué)期后相繼開設(shè).由于兩門課程的內(nèi)容中有一部分是有直接關(guān)聯(lián)的，相應(yīng)的空間解析幾何中的相關(guān)內(nèi)容是對高等代數(shù)知識的具體幾何支撐.因此，最近幾年有一些“對兩門課程實行一體化教學(xué)”的建議，也有一部分學(xué)校開始實施相應(yīng)的改革，將這兩門課程合并為一門課程，所用的教材有：陳志杰的《高等代數(shù)與解析幾何》、孟道驥的《高等代數(shù)與解析幾何》等.

一、實行一體化教學(xué)的優(yōu)缺點(diǎn)

高等代數(shù)是研究線性空間以及在線性空間基礎(chǔ)上的線性變換的學(xué)科.課程中大量的公式及定理、推論的推導(dǎo)證明采用嚴(yán)格的演繹論證方法，特點(diǎn)是抽象程度高、邏輯性強(qiáng).學(xué)生在學(xué)習(xí)知識點(diǎn)時，很難深刻理解其中的抽象概念和復(fù)雜結(jié)論，學(xué)習(xí)效率不高.相反，若將這些理論與空間解析幾何的知識相關(guān)聯(lián)，利用幾何直觀方法，把抽象的問題形象化[1].學(xué)生結(jié)合直觀的形象對抽象內(nèi)容加以理解，可以更好地理解概念，發(fā)現(xiàn)研究思路，有效開展推理、猜想，直至問題解決.因此，在具體教學(xué)中采用幾何直觀與演繹論證相結(jié)合的方法，一來是學(xué)生學(xué)好高等代數(shù)的需要，再者對培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力和養(yǎng)成科學(xué)的思維品質(zhì)都具有十分重要的意義.事實上，高等代數(shù)為空間解析幾何提供研究方法，而空間解析幾何為高等代數(shù)提供直觀幾何背景.一些學(xué)校之所以將兩門課程合為一門課程也就是出于以上原因，在這兩門課程中有一部分知識點(diǎn)是相互關(guān)聯(lián)的，如果能夠?qū)砷T課程適當(dāng)結(jié)合起來，或者在兩門課程的講授過程中讓知識點(diǎn)相互融會貫通、相輔相成，對于學(xué)生對兩門課程的掌握都大有益處[2].

但是，將兩門課程合為一門課程，大家也一直在探討.因為所謂的一體化教學(xué)，不能僅僅是對現(xiàn)有的兩門課程的簡單的合并、修改，而是在整個理論體系下優(yōu)化課程體系，整合教學(xué)內(nèi)容.同時，進(jìn)行一體化教學(xué)也有弊端存在.首先，在教學(xué)過程中可能會側(cè)重于高等代數(shù)知識的理論講解，而將幾何知識僅僅作為對代數(shù)知識的理論解釋，因此，就不會形成一個完整的幾何知識體系.其次，進(jìn)行一體化教學(xué)后，如果將課時長改為兩門課程的課時長之和會略顯拖沓，學(xué)生在第一年時會有兩門這樣的課程（另外一門是數(shù)學(xué)分析），導(dǎo)致教學(xué)效果不好.最后，進(jìn)行一體化教學(xué)，還要求授課教師對兩門課程的知識體系相當(dāng)熟識且能做到融會貫通，一定程度上會加大教師備課的負(fù)擔(dān).那么，在現(xiàn)有的情況下，我們需要權(quán)衡一體化教學(xué)下兩門課程的輕重，要想辦法來對兩門課程進(jìn)行更好的協(xié)調(diào)，以促進(jìn)教學(xué).

二、一體化教學(xué)過程中如何優(yōu)化教學(xué)

“翻轉(zhuǎn)課堂”（Flipped Classroom），此教學(xué)理念最早出現(xiàn)在19世紀(jì)，是由General Silvanus Thayer在教學(xué)中所總結(jié)的一套方法.具體指的是：在課前學(xué)生學(xué)習(xí)教師提前發(fā)放的資料，課堂上用來批判性思考，并結(jié)合小組協(xié)作的方式解決問題，這是翻轉(zhuǎn)課堂的雛形[5].

所謂“翻轉(zhuǎn)課堂”，實質(zhì)上是對傳統(tǒng)的教師講授、學(xué)生接受的模式進(jìn)行了翻轉(zhuǎn).學(xué)生可以在課前學(xué)習(xí)教師提前提供的學(xué)習(xí)資料，而課堂時間用于學(xué)習(xí)討論，小組協(xié)作解決問題.如果將高等代數(shù)和空間解析幾何兩門課程進(jìn)行合并教學(xué)，為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目的，可以將“翻轉(zhuǎn)課堂”的這一教學(xué)理念應(yīng)用于教學(xué)中.鑒于兩門課程的一些內(nèi)容是相輔相成的，在學(xué)習(xí)的過程中教師可以先對高等代數(shù)中的理論知識進(jìn)行講解，讓學(xué)生對相應(yīng)的知識體系得以系統(tǒng)地掌握.隨后將相對應(yīng)的空間解析幾何中的那部分內(nèi)容留給學(xué)生自己學(xué)習(xí)，讓學(xué)生分組課下討論，通過對高等代數(shù)知識的應(yīng)用理解，找到兩門課程的結(jié)合點(diǎn).用高等代數(shù)的理論知識去解釋幾何中的問題，在此過程中，一方面，學(xué)生理解了代數(shù)中枯燥的理論知識，另一方面，也更好地學(xué)習(xí)了這些理論知識在幾何中的直觀的應(yīng)用背景.

下面本文從一個實例出發(fā)討論一下如何進(jìn)行具體的教學(xué).

高等代數(shù)中，向量的線性相關(guān)性也是一個相對較抽象、較難理解的知識點(diǎn).但是，在解析幾何這門課程中卻有相應(yīng)知識點(diǎn)與之對應(yīng)，因此，可以在進(jìn)行兩個相應(yīng)的知識點(diǎn)的教學(xué)過程中相互穿插，實現(xiàn)兩者互補(bǔ)[7].例如，在空間解析幾何的第二章內(nèi)容中，空間直角坐標(biāo)系中講到三個向量共面的充要條件時，有如下定理：ai={Xi，Yi，Zi}（i=1，2，3）共面的充要條件是X1Y1Z1X2Y2Z2X3Y3Z3=0.在講到這一知識點(diǎn)的時候就可以與高等代數(shù)中向量的線性相關(guān)性以及行列式相關(guān)內(nèi)容相關(guān)聯(lián).因為空間解析幾何中的所謂三個向量等價于代數(shù)內(nèi)容中的“三個向量線性相關(guān)”.而在判斷向量的線性相關(guān)性的時候一個重要的辦法就是看關(guān)于λ1，λ2，λ3的齊次線性方程組（如下）是否有非零解.

X1λ1+X2λ2+X3λ3=0，Y1λ1+Y2λ2+Y3λ3=0，Z1λ1+Z2λ2+Z3λ3=0.

依據(jù)線性方程組解的理論，可知上述方程組有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式為零，即

X1Y1Z1X2Y2Z2X3Y3Z3=0.

在進(jìn)行這部分內(nèi)容的教學(xué)時，如果能夠在各自的知識點(diǎn)中相互穿插，就能讓學(xué)生更直觀地理解所學(xué)內(nèi)容，使得本來抽象程度高、邏輯性強(qiáng)的高等代數(shù)知識有了更為直觀的解釋，也使得相應(yīng)的幾何知識有了豐富的理論背景.為此可以先講授向量的線性相關(guān)知識，然后將幾何中相應(yīng)的向量的內(nèi)容的學(xué)習(xí)任務(wù)留給學(xué)生，讓學(xué)生帶著任務(wù)去學(xué)習(xí).實現(xiàn)課堂的翻轉(zhuǎn)，讓學(xué)生的被動接受成為主動學(xué)習(xí).

三、一體化教學(xué)之外的優(yōu)化教學(xué)的建議

目前，由于實際教學(xué)過程中，實現(xiàn)兩門課程的一體化教學(xué)是一個需要探究的過程.因此，在沒有高效率地更好地實現(xiàn)一體化教學(xué)的階段，也應(yīng)該采取積極的措施更好地促進(jìn)兩門課程的教學(xué).可以從如下方面入手.

第一，盡量在同一時間段開設(shè)兩門課程，讓兩門課程在課堂講授環(huán)節(jié)相互銜接.例如，可以將空間解析幾何與高等代數(shù)下冊安排在同一個學(xué)期，因為高等代數(shù)上冊內(nèi)容與空間解析幾何相互交叉的知識點(diǎn)相對較少，而且易于理解.

第二，兩門課程的任課教師要進(jìn)行更多的知識交流，讓每一門課程的任課教師都要對兩門課程相應(yīng)的知識點(diǎn)融會貫通.然后在此基礎(chǔ)上，要做到在教學(xué)中相互滲透，更好地幫助學(xué)生理解所學(xué)知識.

第三，兩門課程的任課教師相互協(xié)作，早日實現(xiàn)兩門課程的更系統(tǒng)更完整的一體化教學(xué).作為空間解析幾何的任課教師，可以在授課過程中轉(zhuǎn)換角色，改變以往的教師為主的嚴(yán)肅無趣的數(shù)學(xué)課堂模式，讓學(xué)生成為課堂的主角；讓學(xué)生的被動接受學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)換為主動探索學(xué)習(xí).

【參考文獻(xiàn)】

[1]杜麗萍，王宏，佟玉霞.解析幾何與高等代數(shù)相互滲透的教學(xué)研究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2011（3）：11-12.

[2]楊德貴.高等代數(shù)與解析幾何一體化教學(xué)改革的探索[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2005（4）：97-100.

[3]陳志杰.高等代數(shù)與解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2000.

[4]郭民，孔凡哲.高等代數(shù)與解析幾何課程整合的思考[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報（教育科學(xué)版），2007（5）：135-138.

[5]毛建耀，符麗珍，張肇?zé)?關(guān)于“高等代數(shù)”教學(xué)改革的綜述與思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，1995（3）：49-80.

[6]王元金，陳萍清.關(guān)于高等代數(shù)與解析幾何分與合的幾個問題[J].遼寧師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2001（1）：105-109.

[7]孟道驥.高等代數(shù)與解析幾何[M].北京：科學(xué)出版社，1998.

[8]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)與解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2005.endprint