五招教你快解數(shù)學(xué)選擇題

陳程　屈昕

選擇題作為一種標(biāo)準(zhǔn)化試題，在中考中占有相當(dāng)?shù)谋戎?，除了常?jiàn)的排除法、驗(yàn)證法、代入法之外，本文總結(jié)了另外幾種解法供同學(xué)們參考，力求讓同學(xué)們能夠正確認(rèn)識(shí)、辨析選擇題，并提高解決問(wèn)題的能力。

一、數(shù)形結(jié)合法

有些選擇題，進(jìn)行計(jì)算、推理和判斷比較復(fù)雜，條件和結(jié)論似是而非，但能畫出圖形和圖象來(lái)描述，可以借助圖形、圖象進(jìn)行直觀判斷，或結(jié)合題意和圖象、圖形進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和推理，找出正確答案。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是形象直觀，易于把復(fù)雜的計(jì)算、推理和判斷簡(jiǎn)單化，缺點(diǎn)是把問(wèn)題圖形和圖象化，需要同學(xué)們有很強(qiáng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和空間想象能力。

例1 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（其中a>0，b>0，c<0），關(guān)于這個(gè)二次函數(shù)的圖象有如下說(shuō)法：

①圖象的開(kāi)口一定向上；

②圖象的頂點(diǎn)一定在第四象限；

③圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在y軸的右側(cè)。

以上說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（ ）。

A.0 B.1 C.2 D.3

解析：此題較抽象，可先畫符合條件的圖象：據(jù)a>0可知圖象開(kāi)口向上，據(jù)-[b2a]<0，可知對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，再有c<0，可知圖象與y軸交點(diǎn)的位置在y軸負(fù)半軸，據(jù)此，畫出符合要求的二次函數(shù)圖象（圖略），結(jié)合圖象可知，該二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上，頂點(diǎn)在第三象限，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)在x軸正半軸，一個(gè)在x軸負(fù)半軸，故本題答案為C。

二、特例法

利用符合題設(shè)條件的某個(gè)特殊圖形代替有關(guān)的一般圖形，進(jìn)行演繹推理，以達(dá)到判斷各個(gè)選項(xiàng)正確或錯(cuò)誤的目的，這種解答選擇題的方法稱為特例法。特例法的關(guān)鍵在于尋找特例，即尋找的特殊圖形既要符合題設(shè)的要求，還要有利于對(duì)問(wèn)題的分析和解決。其優(yōu)點(diǎn)是利用簡(jiǎn)單、特殊的圖形，減少了繁雜的計(jì)算和推理；缺點(diǎn)是易把題目“特殊”成不合題目要求的圖形，從而得出錯(cuò)誤的結(jié)論。

例2 如圖1，等腰直角△ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角頂點(diǎn)A在直線y=x上，其中A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且兩條直角邊AB，AC分別平行于x軸，y軸，若雙曲線y=[kx]（k≠0）與△ABC有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（ ）

A.1

解析：根據(jù)題目條件可求出△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)：A（1，1），B（3，1），C（1，3），本題若用直接法求k的取值范圍，要分雙曲線與邊AB，AC，BC有交點(diǎn)3種情況來(lái)計(jì)算，計(jì)算量比較大。采用特例法則能較好地解決這一問(wèn)題。我們?nèi)‰p曲線與邊AB，AC，BC有交點(diǎn)的特殊情況來(lái)計(jì)算：當(dāng)雙曲線過(guò)點(diǎn)A時(shí)，可計(jì)算出k=1，當(dāng)雙曲線過(guò)點(diǎn)B時(shí)，同時(shí)過(guò)點(diǎn)C，可計(jì)算出k=3，故答案A可排除，但此時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)從計(jì)算出k=1到計(jì)算出k=3，雙曲線向右移動(dòng)的過(guò)程中始終沒(méi)有與邊BC相交，故答案B不完全，被排除。是選C還是選D，我們?cè)偃√厥恻c(diǎn)，由于直線y=x與BC的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），而雙曲線過(guò)此點(diǎn)時(shí)，k=4，故答案為C。

三、估算法

估算法適用于含一定計(jì)算因素的選擇題，是通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行粗略、近似的估算，從而確定正確答案的一種解題方法。這類題的考查重心主要不在“數(shù)”，而在“理”，不追求數(shù)據(jù)精確，而追求方法正確。采用“估算法”可以忽略次要因素，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，以達(dá)到快速求解的目的。

例3 如圖2，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕為MN，則線段CN的長(zhǎng)是（ ）

A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm

解析：本題可通過(guò)在Rt△CEN中運(yùn)用勾股定理求出線段CN的長(zhǎng)，但運(yùn)用估算的方法會(huì)使該題更簡(jiǎn)單：由于點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，所以EC=4cm，在Rt△CEN中，由于EN是斜邊，所以EN>EC，即EN>4cm，又因?yàn)镋N=DN，而DN+CN=8cm，可知CN<4cm，故答案為A。

四、觀察法

觀察法是指通過(guò)觀察題目中數(shù)、式的變化規(guī)律，條件與結(jié)論之間的關(guān)系，題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及圖形的特征，從而發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關(guān)系或變化特征，選出正確答案的解題方法。

例4 已知O為圓錐的頂點(diǎn)，M為圓錐底面上一點(diǎn)，點(diǎn)P在OM上。一只蝸牛從P點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行，回到P點(diǎn)時(shí)所爬過(guò)的最短路線的痕跡如圖3所示，若沿OM將圓錐面剪開(kāi)并展開(kāi)，所得側(cè)面展開(kāi)圖是（ ）

圖3 A B C D

解析：蝸牛從P點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行，回到P點(diǎn)時(shí)所爬過(guò)的最短路線的痕跡是解題的關(guān)鍵，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知，蝸牛從P點(diǎn)出發(fā)，最后又回到P點(diǎn)，最短路線應(yīng)該是一條線段，據(jù)此，通過(guò)觀察4個(gè)選項(xiàng)，只有C和D符合，再進(jìn)一步觀察C、D兩個(gè)選項(xiàng)，可以發(fā)現(xiàn)，沿OM將圓錐側(cè)面剪開(kāi)并展開(kāi)后，P點(diǎn)到O點(diǎn)的距離應(yīng)相等，據(jù)此答案應(yīng)選D。

其實(shí)解答本題最直觀的辦法是制作一個(gè)圓錐，在圓錐上大致畫出蝸牛從P點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行，回到P點(diǎn)時(shí)所爬過(guò)的最短路線的痕跡，然后沿OM將圓錐側(cè)面剪開(kāi)并展開(kāi)，觀察和哪個(gè)選項(xiàng)一致。但在考場(chǎng)上每分每秒都十分寶貴，不應(yīng)在選擇題上耗費(fèi)太多時(shí)間。

五、聯(lián)想構(gòu)造法

所謂聯(lián)想構(gòu)造法就是根據(jù)題設(shè)和結(jié)論所具有的性質(zhì)特征構(gòu)造出滿足條件和結(jié)論的數(shù)學(xué)模型，借助于數(shù)學(xué)模型來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種方法。這種借用一類問(wèn)題的性質(zhì)來(lái)研究另一類問(wèn)題的思維方法在解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常常能起到意想不到的效果。

例5 下列命題：

①若a+b+c=0，則b2-4ac≥0；

②若b>a+c，則一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

③若b=2a+3c，則一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

④若b2-4ac>0，則二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2或3。

其中正確的是（ ）。

A.只有①②③ B.只有①③④ C.只有①④ D.只有②③④

解析：對(duì)于①，可聯(lián)想到x=1時(shí)，a+b+c=0，因此可知方程ax2+bx+c=0一定有一個(gè)根x=1，故①正確；

對(duì)于②，條件b>a+c可變?yōu)閍-b+c<0，可聯(lián)想到一元二次方程ax2+bx+c=0有無(wú)實(shí)數(shù)根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸有無(wú)交點(diǎn)，對(duì)于y=ax2+bx+c，當(dāng)x=-1時(shí)，可知y=a-b+c<0，故當(dāng)x=-1時(shí)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，當(dāng)a<0時(shí)，只要頂點(diǎn)在x軸下方，由y=ax2+bx+c的大致圖象可知其與x軸無(wú)交點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，判定一元二次方程ax2+bx+c=0的根的個(gè)數(shù)，聯(lián)想到根的判別式即可解決：b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=4a2+9c2+8ac=2a2+2（a+2c）2+c2>0，故方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

對(duì)于④，由b2-4ac可聯(lián)想到它通常與一元二次方程根的情況或拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有關(guān)，可知當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故④正確，從而得出答案為B。

以上列舉了解選擇題的幾種方法，但真正在解選擇題的過(guò)程中，很多辦法都是相通的，有的選擇題只能用一種方法來(lái)解，而有的則可以幾種方法聯(lián)合運(yùn)用。掌握多種方法，更利于同學(xué)們?cè)诳紙?chǎng)上快速找出正確答案。