基于加權(quán)最小二乘法的彈體轉(zhuǎn)速測(cè)量方法研究

李文豪，秦 麗，劉一鳴，楊文卿

（中北大學(xué) 儀器科學(xué)與動(dòng)態(tài)測(cè)試教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原 030051）

0 引 言

某型旋轉(zhuǎn)彈，其彈體運(yùn)動(dòng)于高過(guò)載高旋的復(fù)雜環(huán)境下，彈體轉(zhuǎn)速測(cè)量難度大進(jìn)而影響了彈體的姿態(tài)準(zhǔn)確解算，最終嚴(yán)重影響了炮彈的打擊精度。為實(shí)現(xiàn)精確打擊，研究彈道信息等原因，需要實(shí)時(shí)測(cè)量高旋彈藥的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

微機(jī)電系統(tǒng)（micro-electro-mechanical system，MEMS）傳感器具有體積小、質(zhì)量輕、功耗低、成本低、可靠性高等優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)旋轉(zhuǎn)彈內(nèi)空間有限，所以目前彈體轉(zhuǎn)速測(cè)量系統(tǒng)大多采用MEMS器件[1]。但是，由于大量程的MEMS慣性器件往往測(cè)量精度不高，且容易受振動(dòng)、噪聲等因素的影響，因此彈體轉(zhuǎn)速的測(cè)量精確嚴(yán)重制約了彈體的姿態(tài)測(cè)量、解算以及制導(dǎo)。目前，國(guó)內(nèi)各個(gè)領(lǐng)域在多傳感器數(shù)據(jù)融合方面已經(jīng)進(jìn)行了大量的研究，并且取得了一定的成就[2-5]。本文在不改變測(cè)量所使用的傳感器的前提下，通過(guò)加權(quán)最小二乘法算法將多個(gè)傳感器所獲取的數(shù)據(jù)進(jìn)行融合處理從而得到更加精確的彈體的轉(zhuǎn)速[6-7]。

1 彈體轉(zhuǎn)速測(cè)量基本原理

彈體發(fā)射后軸向滾轉(zhuǎn)角速率短時(shí)間內(nèi)急劇增大，最高可達(dá)20r/s，但是其余兩軸上的角速率卻相對(duì)較小，大量程MEMS陀螺儀雖然能敏感到彈體轉(zhuǎn)速，但由于精度低以及噪聲、振動(dòng)等原因，通常會(huì)給彈體轉(zhuǎn)速測(cè)量結(jié)果造成較大的誤差，以這樣的數(shù)據(jù)進(jìn)行彈體的姿態(tài)解算，必然帶來(lái)極大的偏差[8]。

為解決彈體轉(zhuǎn)速難測(cè)量這一問(wèn)題，構(gòu)造如圖1所示的系統(tǒng)。光電編碼器轉(zhuǎn)動(dòng)軸與外筒固聯(lián)，出線端與內(nèi)筒固聯(lián)。當(dāng)外筒高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)軸跟隨外筒旋轉(zhuǎn)，編碼器機(jī)身跟隨內(nèi)筒旋轉(zhuǎn)，因此可以輸出內(nèi)筒與外筒的相對(duì)轉(zhuǎn)角。并且由于編碼器自身特性，其輸出角度信號(hào)的誤差不隨時(shí)間累積，完全由編碼器本身的分辨率決定，所以只需對(duì)該相對(duì)轉(zhuǎn)角進(jìn)行微分，便能得到內(nèi)外筒相對(duì)角速率。

圖1 彈體轉(zhuǎn)速測(cè)量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

外筒軸線上固聯(lián)一個(gè)大量程陀螺儀G1（7200°/s）以測(cè)量外筒轉(zhuǎn)速。伺服電機(jī)機(jī)身與外筒固聯(lián)，轉(zhuǎn)動(dòng)軸與內(nèi)筒以聯(lián)軸器連接。電機(jī)以模擬電壓形式控制，并以外筒大量程陀螺儀輸出為控制信號(hào)進(jìn)行反轉(zhuǎn)，同時(shí)帶動(dòng)內(nèi)筒旋轉(zhuǎn)，形成一個(gè)隔轉(zhuǎn)止旋的穩(wěn)定平臺(tái)。理論上可使內(nèi)筒滾轉(zhuǎn)角速率為零，但由于種種原因造成的誤差，內(nèi)筒依然會(huì)以較小的角速率轉(zhuǎn)動(dòng)，但這時(shí)內(nèi)筒角速率已可以穩(wěn)定在較小范圍，所以內(nèi)筒MIMU（微慣性測(cè)量單元）在X軸上可以采用量程為400°/s的陀螺儀G2；同時(shí)，MIMU之外，內(nèi)筒X軸上還存在一個(gè)量程為900°/s的陀螺儀G3，以防止電機(jī)減旋效果不佳，內(nèi)筒轉(zhuǎn)速超量程。

為了獲取彈體飛行過(guò)程中的轉(zhuǎn)速信息，首先需要分析彈體在不同轉(zhuǎn)速下，滾轉(zhuǎn)軸向上的各個(gè)陀螺儀的工作狀況。當(dāng)彈體點(diǎn)火發(fā)射后極短的一段時(shí)間內(nèi)速率變化極大，因?yàn)樗欧姍C(jī)的控制存在延遲，電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩不可能瞬間增大到帶動(dòng)內(nèi)筒相對(duì)地面靜止的狀態(tài)，所以減旋效果不佳。此時(shí)內(nèi)筒轉(zhuǎn)速可達(dá)700°/s，內(nèi)筒MIMU中的陀螺儀G2已經(jīng)處于飽和狀態(tài)，內(nèi)筒大量程陀螺儀G3能正常工作。一段時(shí)間后電機(jī)轉(zhuǎn)矩輸出穩(wěn)定，能有效帶動(dòng)內(nèi)筒反旋，達(dá)到減小內(nèi)筒滾轉(zhuǎn)角速率的作用。此時(shí)內(nèi)筒角速率一般小于100°/s。設(shè)定外筒大量程陀螺儀G1測(cè)出的轉(zhuǎn)速為ω1，光電編碼器測(cè)得的相對(duì)轉(zhuǎn)速ω2；內(nèi)筒MIMU中的陀螺儀G2輸出為ω3；陀螺儀G3輸出為ω4。當(dāng)滾轉(zhuǎn)軸線上的3個(gè)陀螺儀與光電編碼器P均可正常工作，存在表達(dá)式

即外筒轉(zhuǎn)速等于內(nèi)筒轉(zhuǎn)速與光編轉(zhuǎn)速之和。因?yàn)橄到y(tǒng)中存在多個(gè)傳感器對(duì)同一物理量的測(cè)量，所以為了精確復(fù)現(xiàn)外筒轉(zhuǎn)速，并充分利用多個(gè)傳感器的數(shù)據(jù)，本文通過(guò)加權(quán)最小二乘法進(jìn)行數(shù)據(jù)融合，來(lái)計(jì)算外筒轉(zhuǎn)速的無(wú)偏估計(jì)。

2 加權(quán)最小二乘法分析

因?yàn)橥獠扛蓴_及器件精度等原因，單個(gè)傳感器的測(cè)量存在一定的不確定性和局限性，其輸出誤差對(duì)系統(tǒng)的性能影響極大[9]。為了解決單個(gè)傳感器測(cè)量的以上缺陷，本文利用加權(quán)最小二乘法進(jìn)行多傳感器數(shù)據(jù)融合，增強(qiáng)了系統(tǒng)數(shù)據(jù)的可靠性。不直接使用最小二乘法是因?yàn)楦鱾€(gè)傳感器噪聲不一致，可信度不同，如果不分優(yōu)劣的使用這些傳感器的測(cè)量值，那么精度提升并不高，所以采用加權(quán)的方法分別對(duì)待各個(gè)量進(jìn)行測(cè)量[10-12]。

多個(gè)傳感器對(duì)同一物理量測(cè)量時(shí)，記傳感器的測(cè)量值為Z，被估計(jì)量為X，一般是無(wú)法直接測(cè)量的值，Z是X的各分量的線性組合，其隨機(jī)測(cè)量噪聲為V，則存在：

其中H為測(cè)量值與估計(jì)值的轉(zhuǎn)換矩陣，加權(quán)最小二乘法求取準(zhǔn)則為

式中W為正定對(duì)稱加權(quán)矩陣，W的取值關(guān)乎估計(jì)量的精度。為使式（3）成立，變形可得，加權(quán)最小二乘估計(jì)量方程：

本文所述的傳感器測(cè)量噪聲矩陣可以認(rèn)為是均值為0，方差為固定值R的白噪聲，則加權(quán)最小二乘估計(jì)是無(wú)偏估計(jì)。正定對(duì)稱加權(quán)矩陣W與均方誤差矩陣存在

認(rèn)為每個(gè)傳感器之間相互獨(dú)立，則噪聲方差陣中非對(duì)角線上的元素為0，即協(xié)方差為0。此時(shí)噪聲方差陣為對(duì)角矩陣，容易得知：

其中R1為大量程陀螺儀G1方差，通過(guò)下式求得

通過(guò)式（1）可知，內(nèi)筒陀螺儀與光電編碼器輸出微分之和才能表示外筒轉(zhuǎn)速。說(shuō)明內(nèi)筒兩個(gè)陀螺儀的方差均不能直接參與計(jì)算，需要進(jìn)一步分析。顯然內(nèi)筒陀螺儀輸出與光電編碼器輸出是不相關(guān)的，所以存在：

測(cè)量值與估計(jì)值之間的轉(zhuǎn)換矩陣顯然為3×3的矩陣，但因?yàn)楦鱾鞲衅髦g互不相關(guān)，且傳感器輸出為電壓值，所以可使用下式表示：

其中Ki為第i個(gè)傳感器的標(biāo)度因數(shù)，單位（V/g），表征電壓值與轉(zhuǎn)速之間的比例系數(shù)。

設(shè)3個(gè)精度從高至低陀螺儀的測(cè)量量分別是Z1，Z2，Z3，測(cè)量誤差是均值為 0，方差分別為r1，r2，r3，所以有：

馬爾科夫估計(jì)的均方誤差為

式（13）說(shuō)明，理論上，使用加權(quán)最小二乘估計(jì)的效果比單獨(dú)應(yīng)用精度最高的傳感器測(cè)量效果更好。

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證加權(quán)最小二乘法計(jì)算彈體轉(zhuǎn)速的有效性，需要進(jìn)行相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)。本文將通過(guò)車床實(shí)驗(yàn)所得的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析對(duì)比。車床實(shí)驗(yàn)是指將測(cè)試設(shè)備水平裝載至高速精密車床上，如圖2所示，并驅(qū)動(dòng)車床以不同轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)，來(lái)模擬彈體滾轉(zhuǎn)軸高速旋轉(zhuǎn)時(shí)的飛行環(huán)境，但為了數(shù)據(jù)便于處理，俯仰和偏航一般保持不變。通過(guò)加權(quán)最小二乘法計(jì)算外筒轉(zhuǎn)速并與車床實(shí)際轉(zhuǎn)速進(jìn)行對(duì)比，以算法計(jì)算結(jié)果與實(shí)際值之間的誤差大小作為評(píng)判算法優(yōu)劣的指標(biāo)。

圖2 車床實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)預(yù)處理

本文進(jìn)行車床試驗(yàn)時(shí)，選取220，450，700，870 r/min 4個(gè)轉(zhuǎn)速對(duì)測(cè)試系統(tǒng)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，且每個(gè)轉(zhuǎn)速持續(xù)旋轉(zhuǎn)并達(dá)到平穩(wěn)的時(shí)間≥30s，系統(tǒng)采樣率為5000Hz。最后將采集得到的數(shù)據(jù)通過(guò)軟件Matlab進(jìn)行分析計(jì)算。

需要注意的是，車床受自身精度、老化及負(fù)載質(zhì)量等因素的影響，并不能保證完全精確的在上述4個(gè)轉(zhuǎn)速上旋轉(zhuǎn)。本文在外筒俯仰軸上添加一個(gè)加速度計(jì)，并利用其輸出特性來(lái)精確測(cè)量車床轉(zhuǎn)速。在平穩(wěn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中加速度計(jì)軸向上敏感到的重力分量以正弦形式變化，因此正弦信號(hào)的頻率即為轉(zhuǎn)速。圖3、圖4分別為俯仰軸上加速度計(jì)在220r/min和700r/min轉(zhuǎn)速下的輸出信號(hào)。

圖3 220r/min時(shí)加速度計(jì)輸出

圖4 700r/min時(shí)加速度計(jì)輸出

3.2 融合算法有效性驗(yàn)證

3個(gè)陀螺儀零點(diǎn)輸出截取數(shù)據(jù)如圖5～圖7所示。

圖5 陀螺儀G1零位輸出

表1 各陀螺儀方差與權(quán)重系數(shù)

圖6 陀螺儀G2零位輸出

圖7 陀螺儀G3零位輸出

根據(jù)以上數(shù)據(jù)和式（12）求出的3個(gè)陀螺儀方差以及權(quán)重系數(shù)如表1所示。

按3.1進(jìn)行車床實(shí)驗(yàn)，陀螺儀G1輸出如圖8所示。由于光電編碼器輸出為角度且為單圈輸出模式，所以為了得到其所測(cè)量的轉(zhuǎn)速，需要對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行相應(yīng)處理，圖9為經(jīng)過(guò)拉伸并微分后得到的光電編碼器輸出數(shù)據(jù)。圖10、圖11分別為陀螺儀G2、G3輸出數(shù)據(jù)。

圖8 陀螺儀G1輸出

圖9 光電編碼器P輸出

圖10 陀螺儀G2輸出

圖11 陀螺儀G3輸出

表2 各種方法所測(cè)轉(zhuǎn)速對(duì)比表

進(jìn)行數(shù)據(jù)融合后與3個(gè)不同量程的陀螺儀分別計(jì)算得到的轉(zhuǎn)速進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表2所示。

從表中可以看出，單一的使用陀螺儀G1測(cè)量彈體轉(zhuǎn)速，誤差較大；用內(nèi)筒加光電編碼器的方法所測(cè)得的彈體速率雖然精度有一定提高，但是遠(yuǎn)達(dá)不到1°/s的要求；多個(gè)傳感器融合后的計(jì)算結(jié)果比單獨(dú)使用最高精度陀螺儀G2所求得的結(jié)果的精度要高的多，測(cè)量精度提高了一個(gè)數(shù)量級(jí)，與理論相符。

4 結(jié)束語(yǔ)

彈體轉(zhuǎn)速的精確測(cè)量是高旋彈藥實(shí)現(xiàn)導(dǎo)航制導(dǎo)的關(guān)鍵之一，由于受目前傳感器測(cè)量精度的限制，很難通過(guò)大量程MEMS陀螺儀直接測(cè)量。為此設(shè)計(jì)了隔轉(zhuǎn)止旋的穩(wěn)定平臺(tái)，并通過(guò)加權(quán)最小二乘法，將多個(gè)傳感器的數(shù)據(jù)進(jìn)行融合，充分利用了裝置中的不同量程的陀螺儀測(cè)量數(shù)據(jù)，求得了更為準(zhǔn)確的彈體的滾轉(zhuǎn)角速率信息，最終測(cè)量精度提高了一個(gè)數(shù)量級(jí)。通過(guò)車床實(shí)驗(yàn)對(duì)該方法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證，試驗(yàn)結(jié)果表明該方法可以廣泛應(yīng)用于各種轉(zhuǎn)速測(cè)量裝置，且具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。

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