避開(kāi)無(wú)窮 返璞歸真（下）

張景中+彭翕成

5.不用極限定義導(dǎo)數(shù)

無(wú)窮在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，在微積分學(xué)中達(dá)到了極致。

微積分中用到了無(wú)窮分割、無(wú)窮接近、無(wú)窮大和無(wú)窮小、無(wú)窮數(shù)列和無(wú)窮級(jí)數(shù)。無(wú)窮過(guò)程成了家常便飯。

拉格朗日的《解析函數(shù)論》一書(shū)的副標(biāo)題是：“不用無(wú)窮小，或正在消失的量，或極限與流數(shù)等概念，而歸結(jié)為有限的代數(shù)分析的藝術(shù)?！彼锰├照归_(kāi)式克服極限理論的困難，這當(dāng)然無(wú)法避開(kāi)無(wú)窮。

拉格朗日時(shí)代至今已有200多年，避開(kāi)無(wú)窮來(lái)建立微積分的想法依然徘徊在人們心頭，揮之不去。網(wǎng)上有一本熱銷(xiāo)書(shū)叫做《Calculus Without Limits-Almost》。美國(guó)麻省理工學(xué)院的M. Livshits教授提出了不用極限定義導(dǎo)數(shù)的方法，還在自己的網(wǎng)站上銷(xiāo)售帶有Calculus Without Limits字樣的T恤衫。

在中國(guó)，林群院士是改革微積分基本理論的倡導(dǎo)者。他提出用“一致性不等式”直接定義導(dǎo)數(shù)（參看林群著《微積分快餐》），從而在微積分的最基本的概念層次上避開(kāi)了無(wú)窮。

林群的導(dǎo)數(shù)定義，可以形式化地表述如下：

用一致性不等式定義導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)F在[a，b]上有定義，如果有一個(gè)在[a，b]上有定義的函數(shù)f，和一個(gè)在（0，b-a]上正值遞增而無(wú)正的下界的函數(shù)a（x），使得對(duì)[a，b]上任意的x和x+h，有下列不等式：|（F（x+h）-F（x）-f（x）h）|≤|h|a（h），則稱(chēng)F在[a，b]上一致可導(dǎo)，且稱(chēng)f是F的導(dǎo)數(shù)。

本文作者之一在《直來(lái)直去的微積分》一書(shū)中提出了另一個(gè)思路：用不同于牛頓的觀點(diǎn)分析瞬時(shí)速度問(wèn)題。

如何求任一時(shí)刻的速度，即所謂的瞬時(shí)速度呢？

牛頓讓時(shí)間區(qū)間趨于0，啟用了一個(gè)無(wú)窮過(guò)程。

能不能避開(kāi)無(wú)窮來(lái)思考瞬時(shí)速度的概念呢？平均速度與瞬時(shí)速度有何關(guān)系？有沒(méi)有簡(jiǎn)單明白的說(shuō)法？

眼前就有一個(gè)明擺著的道理：在勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，瞬時(shí)速度就是平均速度；若不是勻速運(yùn)動(dòng)，瞬時(shí)速度有時(shí)比平均速度大，有時(shí)比平均速度小。

這里并沒(méi)有回答什么是瞬時(shí)速度。這里只說(shuō)，如果有所謂的瞬時(shí)速度，它應(yīng)當(dāng)有這樣的性質(zhì)，它和平均速度應(yīng)當(dāng)有這樣的關(guān)系。

這樣的說(shuō)法平凡清楚。奇怪的是，數(shù)學(xué)家長(zhǎng)期以來(lái)都忽略了這個(gè)平凡的關(guān)系。沿著這個(gè)平凡的思路，就能夠避開(kāi)無(wú)窮而走進(jìn)微積分的大門(mén)。

如果用牛頓的思路，讓兩點(diǎn)無(wú)窮接近取極限，不少有用的信息就會(huì)被湮沒(méi)。為了復(fù)原被湮沒(méi)的信息，必須進(jìn)一步研究無(wú)窮過(guò)程所產(chǎn)生的結(jié)果的性質(zhì)，即極限的性質(zhì)。而若從“瞬時(shí)速度有時(shí)比平均速度大，有時(shí)比平均速度小”這一點(diǎn)出發(fā)，則避開(kāi)了求極限的無(wú)窮過(guò)程，保留了g（x）=2x與S（x）= x2的原汁原味的關(guān)系。與極限方法相比，可說(shuō)是返璞歸真。

6.避開(kāi)無(wú)窮定義瞬時(shí)速度

“瞬時(shí)速度有時(shí)比平均速度大，有時(shí)比平均速度小”的道理，僅僅給出了瞬時(shí)速度應(yīng)當(dāng)滿足的必要條件，并不是瞬時(shí)速度的定義。

能不能避開(kāi)無(wú)窮過(guò)程，給瞬時(shí)速度一個(gè)看起來(lái)更有道理的定義？

先問(wèn)一下，要瞬時(shí)速度有什么用？

速度是位移和時(shí)間的比。速度定了，可以根據(jù)時(shí)間求位移，就可以了解物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。如果瞬時(shí)速度僅僅適用于瞬時(shí)，僅僅適用于長(zhǎng)度為0的時(shí)間區(qū)間，就不能用它求出非0的位移，不能用它了解物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，就沒(méi)有用。如果想用瞬時(shí)速度，就要在一個(gè)長(zhǎng)度非0的區(qū)間上用它。也就是說(shuō)，在某個(gè)時(shí)刻T附近的小小的時(shí)間區(qū)間上，把運(yùn)動(dòng)的物體近似地看成以T處瞬時(shí)速度為速度的勻速運(yùn)動(dòng)。

當(dāng)然，我們希望這樣的勻速運(yùn)動(dòng)在小小的時(shí)間區(qū)間上是最接近真實(shí)運(yùn)動(dòng)的勻速運(yùn)動(dòng)。

瞬時(shí)速度的物理定義設(shè)S=F（t）是質(zhì)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)方程，若作勻速運(yùn)動(dòng)L（t）=F（u）+v（t-u）的質(zhì)點(diǎn)B比任意一個(gè)勻速運(yùn)動(dòng)K（t）=F（u）+k（t-u）的質(zhì)點(diǎn)C在時(shí)刻t=u附近更接近A，則稱(chēng)v為A在t=u處的瞬時(shí)速度。

其準(zhǔn)確含義是指有一個(gè)包含u的時(shí)間區(qū)間I=（u-c，u+c），使得對(duì)一切t沂（u-c，u+c）但t屹u(mài)（t=u時(shí)，L（u）=F（u）=K（u）），總有|L（t）-F（t）|<|K（t）-F（t）|。

應(yīng)用極限理論和導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，可以證明瞬時(shí)速度的物理定義和依賴(lài)極限的數(shù)學(xué)定義是等價(jià)的。

僅僅應(yīng)用瞬時(shí)速度的物理定義容易推導(dǎo)出，若運(yùn)動(dòng)方程為S（x）=x2，則時(shí)刻x的瞬時(shí)速度為g（x）=2x。這時(shí)|L（t）-F（t）|<|K（t）-F（t）|中的L（t）=u2+2u（t-u），K（t）=u2+k（t-u）。而F（t）=S（t）=t2。要證明的是有一個(gè)包含u的時(shí)間區(qū)間I=（u-c，u+c），使得對(duì)一切t沂（u-c，u+c）但t屹u(mài)（t=u時(shí)，L（u）=F（u）=K（u）），總有|u2+2u（t-u）-t2|<|u2+k（t-u）-t2|。

設(shè)t屹u(mài)，約去|t-u|后成為|u-t|約|k-t-u|。注意條件k屹2u（否則兩端恒等），可以記k=2u+d，要證的不等式化簡(jiǎn)為|u-t|約|u-t+d|，當(dāng)|u-t|足夠小時(shí)此式當(dāng)然成立。

7.避開(kāi)無(wú)窮定義切線

數(shù)學(xué)家經(jīng)過(guò)一千多年的思考才認(rèn)識(shí)到，切線是割線的極限。沿著這個(gè)線索發(fā)現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)，啟動(dòng)了創(chuàng)建微積分的“大業(yè)”。

但是，極限是分析的概念，涉及一個(gè)無(wú)窮過(guò)程。能不能避開(kāi)無(wú)窮，不依賴(lài)分析中的極限概念，建立切線的幾何定義呢？endprint

最早研究的切線是圓的切線，看看圓的切線有何特點(diǎn)。

如圖8，過(guò)圓O上一點(diǎn)A作切線AB，再作圓O的任意一條割線AP。設(shè)直線AM是蟻PAB的角平分線。顯然，在切點(diǎn)A附近，切線比任意一條割線更接近圓弧。

可以說(shuō)，在過(guò)切點(diǎn)的所有直線中，在切點(diǎn)附近最接近圓弧的是切線。這啟發(fā)我們給出不依賴(lài)于極限的切線的定義。

曲線切線的幾何定義過(guò)曲線上一點(diǎn)A的所有直線中，如果有一條在點(diǎn)A附近最接近該曲線，就把這條直線叫做該曲線在點(diǎn)A的切線。

應(yīng)用極限理論和導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)可以證明，切線的幾何定義和微積分中用極限建立的定義是一致的。

因?yàn)楫?dāng)k≠2u時(shí)，d≠0，容易看出當(dāng)|h|足夠小且非0時(shí)，有d（B，AP）

這里按照切線的幾何定義來(lái)確定某條直線是不是切線，比起硬性規(guī)定切線就是割線的極限，則顯得更為簡(jiǎn)單和順理成章，也使我們獲得了更多信息和更深刻的認(rèn)識(shí)。這又是避開(kāi)無(wú)窮帶來(lái)的意料之外的收獲。

8.避開(kāi)無(wú)窮求導(dǎo)數(shù)

上面幾節(jié)以函數(shù)y=x2為例，探討了在微積分中避開(kāi)無(wú)窮的可能。

新思路來(lái)自一個(gè)常識(shí)性的斷言：瞬時(shí)速度有時(shí)大于或等于平均速度，有時(shí)小于或等于平均速度。

為了方便更一般的討論，下面把這個(gè)思路提升為數(shù)學(xué)概念。

確實(shí)可以。容易證明：若g（x）是f（x）在區(qū)間I上的乙函數(shù)，又是f（x）在區(qū)間J上的乙函數(shù)，且區(qū)間I和區(qū)間J有公共點(diǎn)，則g（x）是f（x）在區(qū)間K= I胰J上的乙函數(shù)。

用了估值不等式，從乙函數(shù)的性質(zhì)馬上可以推導(dǎo)出甲函數(shù)的性質(zhì)：

（i）若乙函數(shù)恒為0，則甲函數(shù)為常數(shù)；

（ii）若乙函數(shù)為非0常數(shù)，則甲函數(shù)為一次函數(shù)；

（iii）若乙函數(shù)在某區(qū)間上恒正，則甲函數(shù)在此區(qū)間上遞增；

（iv）若乙函數(shù)在某區(qū)間上恒負(fù)，則甲函數(shù)在此區(qū)間上遞減。

從這些性質(zhì)看，乙函數(shù)很像導(dǎo)數(shù)。但從導(dǎo)數(shù)的定義推導(dǎo)出這些性質(zhì)是一個(gè)很痛苦的過(guò)程：先要走進(jìn)無(wú)窮世界，再?gòu)臒o(wú)窮世界解脫出來(lái)回歸現(xiàn)實(shí)，好像經(jīng)歷了一次脫胎換骨的輪回。而避開(kāi)無(wú)窮使用估值不等式，簡(jiǎn)單明白地就得到了這些性質(zhì)。甲、乙函數(shù)概念的建立，可以看成是微積分基本思想的返璞歸真。

容易提出問(wèn)題，滿足不等式的甲、乙函數(shù)相對(duì)來(lái)說(shuō)是唯一的嗎？

從定義確實(shí)不能保證乙函數(shù)的唯一性。對(duì)所討論的函數(shù)類(lèi)加一些限制條件是必然選擇，如差商有界；甚至可以加一個(gè)更弱的條件：一致連續(xù)。限于篇幅，在此就不展開(kāi)論述了。其實(shí)還可以避開(kāi)無(wú)窮求面積，導(dǎo)出微積分基本定理，建立一元微積分的基本理論，有興趣的讀者可參看《不用極限的微積分》和《直來(lái)直去的微積分》兩本書(shū)。

無(wú)窮大和無(wú)窮小都是人們想象力的創(chuàng)造物。有了無(wú)窮的概念，數(shù)學(xué)家有時(shí)能夠更方便地發(fā)現(xiàn)、解決或描述只涉及有窮的問(wèn)題。數(shù)學(xué)能夠思考無(wú)窮，而且能夠得出一系列令人信服的有關(guān)結(jié)論，是理性思維與感性直觀相互融合滲透的典型范例。

微積分是人類(lèi)精神的勝利之果，是兩千年來(lái)人類(lèi)智慧的結(jié)晶。它既包含了基于潛無(wú)窮的極限方法，也包含了基于實(shí)在無(wú)窮小的非標(biāo)準(zhǔn)分析方法。如今我們可以看到，它還有避開(kāi)無(wú)窮的樸素的方法。這顯示出微積分學(xué)的豐富多彩，讓我們又一次感受到數(shù)學(xué)文化的博大精深。

（作者單位：中國(guó)科學(xué)院華中師范大學(xué)）