以《九章算術(shù)注》論劉徽數(shù)學(xué)證明

鄔岳基　徐澤林

摘 要：《九章算術(shù)注》是魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽的代表作，劉徽以對(duì)《九章算術(shù)》作注的方式對(duì)其中的數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行敘述證明，并在其中貫穿著超越這個(gè)時(shí)代數(shù)學(xué)家的演繹證明與非演繹證明方式，形成了其獨(dú)特的數(shù)學(xué)證明體系。

關(guān)鍵詞：劉徽；演繹證明；數(shù)學(xué)證明；邏輯推理

《九章算術(shù)》是中國(guó)古典數(shù)學(xué)中現(xiàn)有傳本的最古老的數(shù)學(xué)典籍，其成書于東漢初期。對(duì)于《九章算術(shù)》的注釋中以魏晉時(shí)期劉徽的《九章算術(shù)注》被后人研究以及研讀的最多。如錢寶琮、杜石然認(rèn)為在劉徽的《九章算術(shù)注》中“包含了許多關(guān)于數(shù)學(xué)概念、推理和若干證明論方面的思想”[1]。在此書中，劉徽詳盡的解釋了《九章算術(shù)》中的所有問題并對(duì)疑難處著重進(jìn)行了探討并給出了具體應(yīng)用，還增添了實(shí)例進(jìn)行說明。如果說“作為一名中國(guó)的數(shù)學(xué)工作者，首先應(yīng)對(duì)自己的數(shù)學(xué)歷史有深刻的認(rèn)識(shí)，為此必須首先對(duì)《劉注》與《九章》有確切的了解”[2]?！毒耪滤阈g(shù)注》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一部代表作，通過對(duì)《九章算術(shù)注》的研讀從而揣摩體會(huì)劉徽形成的獨(dú)特的數(shù)學(xué)證明體系。

一、劉徽在《九章算術(shù)注》中的一些概念引入

在《九章算術(shù)注》中，劉徽引入了很多前人并未用到的數(shù)學(xué)概念，并對(duì)這些新的概念做出明確的定義，在后面的篇章中通過之前所做出的定義可對(duì)《九章算術(shù)》中的問題給予證明。這種證明方式類似于西方的公理化系統(tǒng)中的邏輯演繹推理證明。在《九章》第一章方田章開篇有原文寫到：

“方田術(shù)曰：廣從步數(shù)相乘得積步?！?/p>

此文含義為：方田算法中說：長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬相乘的步數(shù)相乘得到其面積”。針對(duì)原文當(dāng)中“積”的含義劉徽對(duì)“積”提出定義：

“此積謂田冪。凡廣從相乘謂之冪”

針對(duì)原文中的“積”劉徽給出定義，凡是長(zhǎng)方形面積都用長(zhǎng)乘寬即“冪”代替了“積”的含義。在后文中所有涉及到“積”的相關(guān)問題，均由更貼切的“冪”取代。

而在方田章中劉徽還提到了“率”：

“凡數(shù)相與者謂之率。率者，自相與通。有分則可散，分重疊則約也。等除法實(shí)，相與率也?！?/p>

這里面提到了“率”的定義，即凡是數(shù)與數(shù)之間具有相比的關(guān)系，可稱之為“率”。正如今天的一次函數(shù)類似，劉徽“率”的含義就是兩個(gè)數(shù)具有比例關(guān)系，具有線性關(guān)系。

在方程章開篇中劉徽提出了“方程”的概念：

“程，課程也。群物總雜，各列有數(shù)，總言其實(shí)，令每行為率。二物者再乘，三物者三乘，皆如物數(shù)乘之。并列為行，故謂之方程[3]。”

他首先提出程就是課程的“程”，即多個(gè)“物”的數(shù)量被打亂的放在一起，每列都具有固定的數(shù)目。我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)是以解決實(shí)際問題而出發(fā)的，劉徽創(chuàng)造方程的概念也是為了解決生活中“物”的問題。通過解釋方程的構(gòu)造為方程進(jìn)行定義。

劉徽在《九章算術(shù)注》中以定義的方式重新界定了一些概念，這可以視作廣義上的一種證明方法，通過概念證明何為“冪”“率”“方程”。以設(shè)立新定義的方法闡述自身要言明的問題，同時(shí)為后文直接引用做出鋪墊。

二、劉徽數(shù)學(xué)證明的實(shí)例

劉徽在《九章算術(shù)注》中存在大量由邏輯推理得出結(jié)論的實(shí)例，這種證明方法的特點(diǎn)是沒有過多的符號(hào)算式與計(jì)算過程，通過類似推理形式中連鎖推導(dǎo)法的方法由邏輯演繹的方式推導(dǎo)出相應(yīng)的結(jié)論，其側(cè)重點(diǎn)并非數(shù)字計(jì)算而是注重思維邏輯的躍遷，屬于邏輯演繹證明方法中的一種。

例1 在《九章算術(shù)注》中，劉徽對(duì)于商功章中求城（城墻）、堤（堤壩）、渠（水渠）的體積公式的解釋如下：

按此術(shù)，并上下廣而半之者，以盈補(bǔ)虛，得中平之廣。以高若深乘之，得一頭之立冪。又以袤乘之者，得立實(shí)之積，故為積尺。

劉徽以簡(jiǎn)短精煉的文字表述出“以盈補(bǔ)虛”之術(shù)。將整個(gè)立體縱向切割，視為無數(shù)個(gè)梯形截面疊加在一起，以寬高相乘求可得梯形縱截面之面積，然后以極限的思想無限疊加，疊加之長(zhǎng)為堤壩之“袤”，以此術(shù)可得體積。在商功章創(chuàng)立了著名的“陽馬術(shù)”，同時(shí)也被稱之為“劉徽原理”。其主要是通過極限思維結(jié)合圖形分割形成的“無窮小分割法”論述其證明過程，在證明的過程中運(yùn)用了演繹推理的方式并結(jié)合連鎖推導(dǎo)法和綜合歸納法論證了如何將立方體分解成陽馬以及塹堵。

例2 在商功章中原文如下：“次章有塹堵、陽馬，皆合而成立方。蓋說算者乃立棊三品，以校高深之職。”

劉徽將塹堵斜切后可得兩部分一為陽馬，所余為鱉臑，而等分愈小，體積的剩余部分愈細(xì)微。當(dāng)細(xì)到了極點(diǎn)時(shí)稱之為“微”，到了“微”之時(shí)也就沒有形體了。劉徽在此處由綜合歸納法將前面由實(shí)例得到的陽馬與塹堵的比例為2：1的結(jié)論延伸推理，與現(xiàn)在的“無窮多分割法”無異，通過邏輯演繹的方式進(jìn)行證明。劉徽通過“半之彌少，其余彌細(xì)”對(duì)小立方體以及小陽馬進(jìn)行無數(shù)次分割；而之后的通過“至細(xì)曰微”對(duì)無窮小的最小定義為“微”，從思維上對(duì)無窮小在分至最細(xì)時(shí)進(jìn)行定義。而最后的“微則無形”則更明顯體現(xiàn)出劉徽不僅僅定義了無窮小，同時(shí)提出在分割到最細(xì)的時(shí)候，無窮小的極限趨近于零。劉徽通過“無窮小分割”的方法對(duì)陽馬與塹堵的比例進(jìn)行了證明。

在《九章算術(shù)注》中劉徽所創(chuàng)的“割圓法”是展示傳統(tǒng)數(shù)學(xué)高超計(jì)算技巧的經(jīng)典范例，其中對(duì)于圓周率的計(jì)算以及圓形面積的求證的數(shù)學(xué)思維過程極具代表性，是研究劉徽數(shù)學(xué)思想必不可少的一部分。劉徽對(duì)《九章算術(shù)》中“半周半徑相乘得積步”進(jìn)行了證明，在作注過程中以演繹推理的方式證明了“圓田術(shù)”。

例3 在方田章中劉徽通過“割圓法”來求出圓形的面積，原文如下：

若又割之……則得二十四觚之冪。割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失也。

在對(duì)“割圓術(shù)”的證明之中，劉徽分別用到幾何例證法、歸納推理論證法以及通過極限證明表現(xiàn)演繹推理論證的方法?？v觀整個(gè)證明過程，劉徽證明的思路清晰異常，以對(duì)“周三徑一”產(chǎn)生質(zhì)疑起，通過幾何例證的方式對(duì)前人結(jié)論的錯(cuò)誤進(jìn)行證明；隨后在前人計(jì)算的基礎(chǔ)上創(chuàng)立“割圓法”，以逐漸分割歸納推理的方式直至“割之彌細(xì)”，將圓盡可能的進(jìn)行分割以求出最精確的圓周率；最后通過演繹推理的方式，借助極限的方式對(duì)圓分割至“以至于不可割”之時(shí)，得出此時(shí)得到的圓周率方為真正的圓周率，同時(shí)為后人繼續(xù)求解做出鋪墊，完成了“割圓術(shù)”的全部證明。這種綜合證明的方式也是劉徽所創(chuàng)數(shù)學(xué)體系中證明的經(jīng)典之作。endprint

在劉徽在《九章算術(shù)注》方田章中弧田術(shù)還運(yùn)用到反證的方法。在數(shù)學(xué)證明中，反證法是一種論證數(shù)學(xué)命題的方法，其要義為首先假設(shè)某一個(gè)命題在其原始的條件下不成立，然后推理出與已經(jīng)下的定義或者已存在的定理或先覺條件有明顯矛盾的結(jié)果，從而可得原假設(shè)不成立。以矛盾的方法反向?qū)Y(jié)論進(jìn)行證明。

三、劉徽數(shù)學(xué)證明的種類

劉徽在《九章算術(shù)注》中通過多種論證方式對(duì)《九章算術(shù)》中的諸多法則與算法進(jìn)行了注釋及證明。劉徽對(duì)數(shù)學(xué)證明的理解并非止步于以圖形或算式論述一則定理或一道公式的正確，郭金彬先生曾有文認(rèn)為劉徽通過“率”為載體建立了“劉徽數(shù)學(xué)理論體系”[4]。劉徽建立了近乎于完整的數(shù)學(xué)體系，并在其特定的數(shù)學(xué)體系中對(duì)《九章算術(shù)》的數(shù)學(xué)公式與法則進(jìn)行證明，其中既包涵演繹證明，又囊括幾何例證等非演繹證明。

從方田章的開篇即可看出，劉徽證明的出發(fā)點(diǎn)以對(duì)“積”“率”“程”為出發(fā)點(diǎn)，分別定義了幾何中的面積、運(yùn)算中的數(shù)字比例關(guān)系、物與物之間方程的概念，以此作為劉徽證明體系的出發(fā)點(diǎn)，其對(duì)《九章算術(shù)注》的證明大致可以分為非演繹證明與演繹證明兩種證明思路。

第一類證明是非演繹證明：包括通過幾何作圖、構(gòu)造性證明以及直觀定義。這種證明方法在充斥于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)之中，其主要特點(diǎn)為并無過多邏輯演繹的過程，以直觀的推理或幾何方式對(duì)問題產(chǎn)生敘述。劉徽在《九章算術(shù)注》中以演繹證明為主，單純的非演繹證明較少，多數(shù)證明中都穿插非演繹證明。在上文商功章中對(duì)堤壩問題的證明中劉徽就使用了非演繹證明，將堤壩的形狀直觀上與梯形相結(jié)合對(duì)其縱截面進(jìn)行計(jì)算。非演繹證明還包括通過對(duì)客觀事物的印象對(duì)其下結(jié)論的方式，進(jìn)行類似演繹證明中定義法的一種證明，這種證明沒有運(yùn)用到邏輯演繹證明的方法，也可以分類到非演繹證明。通過用概念所反映對(duì)象的顯性特征來規(guī)定概念的內(nèi)涵，這種證明類型典型的例子有：劉徽的證明中對(duì)“冪”“積”兩者之間的關(guān)系進(jìn)行定義，“積”代表兩者相乘之?dāng)?shù)，劉徽認(rèn)為以此概念定義物體的面積略顯狹窄，而用“冪”代替則凸顯物體所占空間大小，更便于理解此概念。這種直觀定義的方式也是劉徽對(duì)非演繹證明運(yùn)用較多的一種。

第二類證明是演繹證明：即通過劉徽對(duì)自己定義的命題和推導(dǎo)出的公式以及前人固有的結(jié)論，通過這些進(jìn)行邏輯推理得出結(jié)論的方式稱為演繹證明。這種證明方式主要以思維的躍遷和邏輯思考為主，以演繹的方式具體呈現(xiàn)。在對(duì)“陽馬術(shù)”的證明中運(yùn)用到了綜合歸納法以及連鎖推導(dǎo)法，通過實(shí)際作圖切割的方式將不同立方體斜解之后的小陽馬與塹堵的比例；其次在對(duì)“割圓術(shù)”證明之中，劉徽將幾何例證的方式結(jié)合歸謬反駁法以及綜合歸納法合理駕馭，求得割圓之術(shù)。對(duì)于“周三徑一”的不當(dāng)性，承接內(nèi)接的想法，以發(fā)散類比圓內(nèi)接正六邊形的思維繼續(xù)做圓內(nèi)接正多邊形求得提升精度的“新圓周率”，并以綜合歸納之法論證了前人“圓田術(shù)”的正確；最后在對(duì)“弧田術(shù)”的證明中用到了反證之術(shù)亦可稱之為歸謬法，先假設(shè)結(jié)論正確，通過圖形中直觀的面積缺失反證結(jié)論錯(cuò)誤。其證明還展示出三段演繹法的雛形，在弧田術(shù)均可以此術(shù)計(jì)算，而圓田屬于弧田中一種，故圓田也可用“弧田術(shù)”計(jì)算這一部分中，運(yùn)用了三段論的方式進(jìn)行證明。

四、結(jié)論

從劉徽的演繹證明與非演繹證明兩種證明方式中體現(xiàn)出劉徽數(shù)學(xué)的核心思想：“析理以詞”與“解體用圖”，其“解體用圖”主要與非演繹證明想聯(lián)系，突出幾何方向的簡(jiǎn)單證明，而“析理以詞”則上升到通過邏輯演繹的方式對(duì)問題進(jìn)行更深入的比類以及歸納，這兩種證明方法作為《九章算術(shù)注》中證明部分的兩條主線，而其中各種具體證明方法穿插縈繞其中，共同充實(shí)了劉徽的數(shù)學(xué)證明體系。

參考文獻(xiàn)：

[1]錢寶琮，杜石然.試論中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的邏輯思想[A]；中國(guó)邏輯思想論文選（1949—1979）[C]；1980年

[2]吳文俊.《九章算術(shù)》與劉徽[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1982.

[3]李繼閩.《九章算術(shù)》導(dǎo)讀與譯注[M].陜西科學(xué)技術(shù)出版社， 624.

[4]郭金彬.試論劉徽建立數(shù)學(xué)理論體系的方法[J].自然辯證法通訊，1990（02）：49-55.endprint