探究數(shù)學(xué)史中的勾股定理的證明

吳心培

【摘要】勾股定理又稱為畢達(dá)哥拉斯定理，在數(shù)學(xué)研究與應(yīng)用中具有非常重要的地位和作用。目前，勾股定理已有許多種不同的證明方法，對中國古代和國外著名的勾股定理證明方法進(jìn)行介紹，并對勾股定理的推廣應(yīng)用進(jìn)行闡述。

【關(guān)鍵詞】勾股定理 畢達(dá)哥拉斯定理 劉徽

一、引言

勾股定理也稱畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）定理，是數(shù)學(xué)中非常重要的定理之一。畢達(dá)哥拉斯是公元前6世紀(jì)希臘著名的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家，在西方，他被普遍認(rèn)為是該定理最早的證明者，因此勾股定理就以他的名字命名。然而早在公元前1700年，古巴比倫人就發(fā)現(xiàn)已這一定理，無獨(dú)有偶，最遲公元前1105年，我國的商高便能利用一般的“弦圖”來證明這一定理。時(shí)至今日，勾股定理的證明方法已經(jīng)有400多種了，其推論及應(yīng)用仍具有重要影響。本文將對幾種著名的勾股定理的證明方法進(jìn)行簡要介紹。

二、中國古代勾股定理的證明

1.《周髀算經(jīng)》中商高的證明

《周髀算經(jīng)》是我國古代最早的數(shù)學(xué)著作，其內(nèi)容包括天文、數(shù)學(xué)知識，表現(xiàn)了我國古代人民的偉大智慧。《周髀算經(jīng)》中記載了周公與大夫商高的一段話，商高當(dāng)時(shí)回答說：“故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅。既方其外，半之一矩，環(huán)而共盤。得成三、四、五，兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所由生也”。

英國人Joseph Needham將這段文字解釋為：把一個(gè)矩形沿對角線剪開（如下圖1所示），寬等于3個(gè)單位，長為4個(gè)單位。這樣兩對角之間的對角線長為5個(gè)單位。我們再用這條對角線為邊畫一個(gè)大正方形，再用幾個(gè)同上文的半矩形把這個(gè)大正方形圍起來，從而形成一個(gè)方形盤。像這樣，外面四個(gè)半矩形便構(gòu)成了兩個(gè)矩形，這兩個(gè)矩形總面積是24，然后我們再從方形盤的總面積49中減去24，得到25。我們便稱這種方法為“積矩”。

雖然書中只以3，4，5為例，但這種方法也具有一般性，所以我們普遍認(rèn)為商高已經(jīng)證明了勾股定理。

2.《九章算術(shù)》中劉徽的證明

《九章算術(shù)》是《周髀算經(jīng)》之后最重要的數(shù)學(xué)典籍，這部學(xué)術(shù)著作是由先秦到西漢中期眾多的學(xué)者修改編纂而成的，其在代數(shù)、幾何方面均有巨大成就?？梢哉f，它代表著中國古代的機(jī)械算法體系，它與古希臘的《幾何原理》相得益彰，對東方的數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生重要影響。

魏晉時(shí)期，著名數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》做批注時(shí)便給出了自己的證明：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類，因就其余不動(dòng)也。合成弦方之冪”，短短幾句便對勾股定理進(jìn)行了清晰的描述。但十分可惜的是，劉徽的證明的圖已經(jīng)失傳了。根據(jù)學(xué)者李迪的研究，劉徽的證明方法與歐幾里得在《幾何原本》中的證明描述相似，而根據(jù)學(xué)者曲安京先生的研究，劉徽的勾股定理證明方法如圖2所示，其他學(xué)者對劉徽的證明方法也有自己不同的理解和闡述。

3.《勾股舉隅》中梅文鼎的證明

梅文鼎是我國清代著名的學(xué)者，是民間數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，被譽(yù)為“國朝算學(xué)第一人”。對于勾股定理的證明，梅文鼎給出了兩種證明方法，其中一種方法與趙爽和劉徽的方法有異曲同工之妙。本文介紹梅文鼎另外一種獨(dú)具創(chuàng)造性的證明方法，具體步驟如下：

（1）以直角三角形ABC斜邊BC為邊作一個(gè)正方形BCDE，其面積為BC的平方，再過點(diǎn)A做BC的垂線KL，把正方形分割成面積為AC平方的四邊形DKLC與面積為AB平方的四邊形KEBL，如圖3所示。

（2）將三角形ALC，ALB移到FKD，F(xiàn)KE處，并做AI垂直于FD，做EN垂直于FE，如圖4所示。

（3）將三角形FLA，F(xiàn)EN移到DHC，EJM處，如圖5所示。

（4）將梯形ENAJ移到JMBG處，即可完成證明，如圖6所示。

三、國外勾股定理的證明

1.Plato的證明

畢達(dá)哥拉斯提出勾股定理之后，希臘哲學(xué)家Plato給出了關(guān)于該定理一種特殊情況的證明。他運(yùn)用的方法為“割補(bǔ)法”，通過幾何的變換來進(jìn)行證明，具體證明步驟如下：

Plato對等腰直角三角形的情況做出了證明，將其腰上的兩個(gè)正方形沿對角線分割成為兩個(gè)全等的等腰直角三角形，再將這四個(gè)三角形拼到斜邊上，成為一個(gè)新大正方形。由于是平移操作，所以各部分面積不變，從而又可以用“面積法”得證。雖然說這是一種特殊情況，但是這也為后世提供了“割補(bǔ)”的數(shù)學(xué)思想，如圖7所示。

2.Euclid的證明

Euclid的證明是歐洲有記載的最早的勾股定理的證明。在Euclid所著《幾何原本》卷一的命題47中，Euclid給出了自己的證明。在證明的過程中，Euclid運(yùn)用到了圖形割補(bǔ)、等邊三角形和面積的關(guān)系，其具體證明過程如下：

如圖8所示，在直角三角形ABC的各邊上做正方形，可以看到三角形ACD與GCB全等，三角形ADC的面積就等于四邊形CDKJ的一半，三角形GCB的面積是四邊形AFGC的一半，所以四邊形CDKJ的面積等于四邊形AFGC的面積。同理，四邊形JKEB的面積等于四邊形ABHI的面積。于是得到AB2+AC2=BC2，定理得證。

在思想方面，Euclid也繼承了Plato的割補(bǔ)思想，只是具體過程略有不同而已，他們兩人的思想方法都為后世對于勾股定理的證明提供了思路。

3.Leonardo Da Vinci的證明

達(dá)芬奇是眾所周知的文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)家、解剖學(xué)家與畫家。他在《幾何原本》證明圖的基礎(chǔ)上，上下各添加了一個(gè)直角三角形，拼接而成兩個(gè)面積相等的連六邊形BCGFIH和JEBACD，再運(yùn)用面積相減法，于是就可以證明勾股定理了。這也是運(yùn)用的一種割補(bǔ)的思想，但他卻和Euclid的方法有著細(xì)微的差別，從幾何變化的角度上來看的話，達(dá)芬奇主要運(yùn)用的是旋轉(zhuǎn)和對稱，而后者運(yùn)用的則是平移，如圖9所示。