數(shù)學(xué)新知識(shí)——從理解到熟練運(yùn)用的教學(xué)

摘 要：本文主要論述了數(shù)學(xué)新知識(shí)點(diǎn)教學(xué)的從理解到熟練運(yùn)用的問(wèn)題，指出既要學(xué)習(xí)概念、公式、定理、步驟等理論性的部分，更要通過(guò)模仿性解題、相應(yīng)的練習(xí)、細(xì)節(jié)考慮、互動(dòng)等教學(xué)方法來(lái)達(dá)到熟練運(yùn)用的程度，同時(shí)也通過(guò)知識(shí)的講解達(dá)到有關(guān)能力和素質(zhì)的提高。

關(guān)鍵詞：知識(shí)；理解；運(yùn)用；能力；素質(zhì)

一、 引言

新的知識(shí)理解只是學(xué)習(xí)知識(shí)的第一個(gè)環(huán)節(jié)，理解了還要能夠熟練運(yùn)用這是學(xué)習(xí)知識(shí)的第二個(gè)環(huán)節(jié)，當(dāng)然熟練運(yùn)用少不了知識(shí)的記憶。那么從理解到熟練運(yùn)用，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我認(rèn)為至關(guān)重要的就是要進(jìn)行必要的歸納總結(jié)和適當(dāng)?shù)木毩?xí)。歸納總結(jié)是自己對(duì)知識(shí)（概念、公式、定理、方法、技巧、步驟、符號(hào)等）的梳理敘述，適當(dāng)?shù)木毩?xí)就是在這些知識(shí)的指導(dǎo)下進(jìn)行解決各種相關(guān)問(wèn)題的訓(xùn)練，以達(dá)到融會(huì)貫通、熟能生巧的程度。

二、 如何讓學(xué)生理解新知識(shí)

1. 復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。俗話說(shuō)溫故而知新。這是因?yàn)樾轮R(shí)里面有舊的知識(shí)做基礎(chǔ)，還因?yàn)樾轮R(shí)蘊(yùn)藏著舊知識(shí)中的思想方法。在第一類(lèi)換元積分法中，我們需要復(fù)習(xí)不定積分的概念、不定積分的基本公式（要特別指出所有的不定積分的思路都是要化作基本公式求解）等。

2. 顧名思義。第一類(lèi)換元積分法，顧名思義，就是要在該方法中突出換元的思想。第一類(lèi)換元積分法又叫湊微分法，顧名思義，就是要湊微分。那么不定積分中的能視作微分符號(hào)的就是d那個(gè)符號(hào)，所以要湊的就是這個(gè)符號(hào)后面的內(nèi)容。另外還要突出理解這個(gè)湊字，一個(gè)湊字就是告訴我們要好好地湊，想方法地湊。這樣，首先對(duì)第一類(lèi)換元積分法有了大致的理解。

3. 定理的證明。第一類(lèi)換元積分法有個(gè)定理，通過(guò)定理的證明，我們既講清了這個(gè)定理，又復(fù)習(xí)了相關(guān)的知識(shí)，還為后面的方法提供了理論基礎(chǔ)。

4. 步驟等知識(shí)的記憶。光有定理這個(gè)理論還不夠，在具體解題的時(shí)候還需要一定的步驟遵循。那么在第一類(lèi)換元積分法中，就是湊微分、換元、求解、還原四個(gè)步驟。湊微分湊的是復(fù)合函數(shù)的中間變量，換元換的就是這個(gè)中間變量。求解是用基本公式求解。

5. 互動(dòng)等方法解決學(xué)生心中的疑惑。在講了定理、步驟等知識(shí)之后，學(xué)生可能會(huì)產(chǎn)生一定的疑惑。而疑惑的解決，最簡(jiǎn)單有效的方法就是互動(dòng)。通過(guò)互動(dòng)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，大家對(duì)湊這個(gè)中間變量有點(diǎn)疑惑。那原因是什么呢？是因?yàn)榇蠹覍?duì)復(fù)合函數(shù)的分解還有疑惑，自變量、中間變量、因變量不能很好的說(shuō)清楚。那么就有必要復(fù)習(xí)一下復(fù)合函數(shù)的中間變量這個(gè)知識(shí)，這個(gè)知識(shí)清楚了，就加深理解了要湊的內(nèi)容。

6. 經(jīng)驗(yàn)性總結(jié)。光有理論（定理）、步驟的敘述以及疑惑的解決還不夠，我們還有必要進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)性總結(jié)。經(jīng)驗(yàn)性總結(jié)，其實(shí)就是技巧之類(lèi)的東西，就是解決問(wèn)題的重點(diǎn)和難點(diǎn)，通過(guò)它，就能活學(xué)活用所學(xué)的知識(shí)。那么第一類(lèi)換元積分法有兩個(gè)關(guān)鍵，一是要找準(zhǔn)復(fù)合函數(shù)的中間變量，二是要想到運(yùn)用哪個(gè)基本公式。

通過(guò)以上六個(gè)步驟，新知識(shí)的理論部分就差不多講完了。

三、 如何讓學(xué)生熟練運(yùn)用新知識(shí)

光有了理論基礎(chǔ)，還不一定能夠解決實(shí)際問(wèn)題，還需要一定的訓(xùn)練。那么第一類(lèi)換元積分法的教學(xué)我認(rèn)為可以遵循以下六個(gè)思路。

1. 模仿性訓(xùn)練。前面的四個(gè)步驟我們已經(jīng)講得很清楚了，那么我們就可以出相應(yīng)的運(yùn)用這四個(gè)步驟的題目。這樣的題目很多。

2. 細(xì)節(jié)的教學(xué)。在四個(gè)步驟的具體運(yùn)用中，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)細(xì)節(jié)其實(shí)也很重要，就是湊微分的時(shí)候要進(jìn)行的是恒等變形。而這個(gè)恒等變形就需要微分的基本公式等一系列運(yùn)算。如果這個(gè)細(xì)節(jié)不處理好，題目也會(huì)運(yùn)算錯(cuò)誤。如果這個(gè)細(xì)節(jié)處理得好，就會(huì)能使我們更快更準(zhǔn)確地找到要湊的中間變量。所以細(xì)節(jié)的教學(xué)是必要的和重要的。

3. 變式訓(xùn)練。變式訓(xùn)練是為了加深對(duì)知識(shí)的理解，也是為了能解決相對(duì)復(fù)雜和難的問(wèn)題。這也是必要的。

4. 練習(xí)及重復(fù)。經(jīng)過(guò)一定的老師示范，為了讓學(xué)生更好地掌握，就有必要讓學(xué)生自己練兩道。這樣可以看看學(xué)生是否真的會(huì)運(yùn)用了?？梢韵戎v幾道題目，讓學(xué)生練習(xí)一道，然后再講幾道題目，再讓學(xué)生練習(xí)一道，這就是重復(fù)，并進(jìn)行題目的講解，指出錯(cuò)誤，再次突出重點(diǎn)。題目可以由易到難。

5. 個(gè)別指導(dǎo)。在進(jìn)行練習(xí)的時(shí)候，黑板上有同學(xué)練習(xí)，教室里其他同學(xué)也在練習(xí)?？梢越淌依镒咦呖纯创蠖鄶?shù)同學(xué)的做的情況，并指出幾個(gè)同學(xué)的錯(cuò)誤，進(jìn)行相應(yīng)的指導(dǎo)。這也是對(duì)所有同學(xué)的指導(dǎo)。

6. 理論總結(jié)的互動(dòng)。在進(jìn)行了題目講解和必要的練習(xí)后，可以讓學(xué)生總結(jié)這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，特別判斷其是否體會(huì)到兩個(gè)關(guān)鍵，是否達(dá)到了這個(gè)水平。不管有沒(méi)有，都要再次得突出這個(gè)重點(diǎn)。

四、 學(xué)生的能力和素質(zhì)的培養(yǎng)

整個(gè)課堂的教學(xué)是圍繞一個(gè)定理及證明，四個(gè)步驟，兩個(gè)關(guān)鍵展開(kāi)的。那么在知識(shí)的掌握中，還要培養(yǎng)學(xué)生的能力和素質(zhì)。一個(gè)是嚴(yán)格推導(dǎo)的推理能力，這體現(xiàn)在定理證明的教學(xué)中，教學(xué)中要突出這一點(diǎn)，一定要不斷積累和養(yǎng)成運(yùn)用正確概念和方法嚴(yán)格推理的能力。一個(gè)是不斷提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，這體現(xiàn)在各道題目的解決中要正確地找到中間變量這個(gè)量的過(guò)程中，中間變量有時(shí)候很難找，會(huì)有疑惑，這時(shí)就要自己向自己提問(wèn)解決掉這個(gè)問(wèn)題。一個(gè)是綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，這體現(xiàn)在既有解決問(wèn)題的四個(gè)步驟，還要涉及微分的基本公式和運(yùn)算等。一個(gè)是準(zhǔn)確計(jì)算的能力，這體現(xiàn)在每道題目中。當(dāng)然在知識(shí)的學(xué)習(xí)和能力的培養(yǎng)中，學(xué)生的素質(zhì)也提高了。比如實(shí)事求是、要嚴(yán)謹(jǐn)、要善于提問(wèn)和解決問(wèn)題、要細(xì)心、專(zhuān)心等等。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)第六版[M].北京：高等教育出版社，2007.

作者簡(jiǎn)介：董仲超，江蘇省常州市，常州信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院。endprint