數(shù)學(xué)解題的“再回首”

摘要：解題的“再回首”是對(duì)解題活動(dòng)的反思，是對(duì)解題活動(dòng)的深層次再思考，是再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過(guò)程。從三個(gè)方面出發(fā)，探討如何引導(dǎo)學(xué)生在解題前、解題中、解題后進(jìn)行反思，從而深化問(wèn)題理解，優(yōu)化思維過(guò)程，揭示問(wèn)題本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生樹(shù)立解題反思的意識(shí)，提升數(shù)學(xué)解題的能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)解題；反思；解題能力

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》把“反思”這一教學(xué)理念提到了應(yīng)有的高度：“評(píng)價(jià)應(yīng)關(guān)注學(xué)生能否不斷反思自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，并改進(jìn)學(xué)習(xí)方法”。這一標(biāo)準(zhǔn)的提出，要求學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí)中要有反思的意識(shí)及能力，而這恰是我們所要提倡和引導(dǎo)的。

一、 設(shè)計(jì)解題前的反思，深化問(wèn)題理解

解題前反思指的是看到一道題目時(shí)，能夠通過(guò)聯(lián)想、類(lèi)比、反思，充分挖掘隱含條件，尋找解題思路，找到解題的突破口。

例1（1）從0到9這10個(gè)數(shù)中，每次任選5個(gè)，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)，問(wèn)這個(gè)5位數(shù)是奇數(shù)的概率是多少？

分析：因?yàn)槲逦黄鏀?shù)首位不能為零，故樣本空間是9A49，樣本數(shù)為C15A18A38，故所求概率為：P=C15A18A389A49

（2） 從0到9這10個(gè)數(shù)中，每次任選5個(gè)，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的5位奇數(shù)的概率是多少？

解題前反思：這兩題的樣本空間一樣嗎？樣本數(shù)一樣嗎？有何異同點(diǎn)？由題（1）可以得到什么啟示？

分析：不能因?yàn)槲逦黄鏀?shù)首位不能為零而束縛任意排列，回避這種情況就意味著不公平，故所求的五位奇數(shù)的概率為：P=C15A18A38A510

二、 設(shè)計(jì)解題中的反思，優(yōu)化思維過(guò)程

解題中反思指的是在解題過(guò)程中讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)暴露出的問(wèn)題，引導(dǎo)其去反思問(wèn)題的根源。

例2一個(gè)等差數(shù)列的第6項(xiàng)是5，第3項(xiàng)與第8項(xiàng)的和也是5，求這個(gè)等差數(shù)列前9項(xiàng)的和。

分析：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思：本題主要考查什么知識(shí)點(diǎn)？考查意圖是什么？有沒(méi)有更簡(jiǎn)便的方法呢？

于是學(xué)生通過(guò)反思，就會(huì)聯(lián)想到等差數(shù)列的性質(zhì)，有如下巧解：因?yàn)閍3+a8=a5+a6，得a5=0，所以S9=（a1+a9）29=9a5=0.

變式：一個(gè)等比數(shù)列的第6項(xiàng)是5，第3項(xiàng)與第8項(xiàng)的積也是5，求這個(gè)等比數(shù)列前9項(xiàng)的和。

分析：本題難度加大，在解題過(guò)程中更要反思解題方法與技巧，不能盲目計(jì)算，可以類(lèi)比例2，運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)來(lái)解題較為簡(jiǎn)便。

通過(guò)反思，就會(huì)聯(lián)想到等比數(shù)列的性質(zhì)，同樣有如下巧解：因?yàn)閍6=5，a3a8=5，又a3a8=a5a6=5，所以a5=1，從而q=5，a1=a6q5=5-4，這樣就可以求出s9。

三、 設(shè)計(jì)解題后的反思，揭示問(wèn)題本質(zhì)

解題后主要反思：在解題過(guò)程中存在的主要知識(shí)缺漏和解題錯(cuò)誤的主要原因，以及在解題中所用不同知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，揭示問(wèn)題本質(zhì)，尋求規(guī)律，積累經(jīng)驗(yàn)，提高解題能力。

例3已知a，b∈R+，且a+2b=1.求1a+1b的最小值.

以下是兩位學(xué)生的解答：

解法一：由a∈R+得a+1a≥2（1）

由b∈R+得2b+1b≥22b·1b=22（2）

由（1）（2）式得a+2b+1a+1b≥2+22

所以，1a+1b≥22+1

故1a+1b的最小值是22+1.

解法二：因?yàn)閍，b∈R+，且a+2b=1

所以1a+1b=（a+2b）1a+1b≥22ab·21ab=42.

故1a+1b的最小值是42.

反思：上述兩種解法都是錯(cuò)誤的.在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生反思錯(cuò)在哪里？導(dǎo)致錯(cuò)誤的是什么？求代數(shù)式的最小值，關(guān)鍵在于確定最小值能否得到.在若干個(gè)不等式中，等式成立的條件是不能矛盾的.解法一中，（1）式中等號(hào)成立的條件是a=1，而（2）式中等號(hào)成立的條件是b=22，這與a+2b=1是矛盾的.解法二中，a+2b≥22ab當(dāng)且僅當(dāng)a=2b等式成立，1a+1b≥21ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b等式成立.顯然也是矛盾的.在學(xué)習(xí)諸如a2+b2≥2ab等重要不等式時(shí)，學(xué)生往往對(duì)“≥”中的“=”成立的條件不夠重視.通過(guò)這樣的反思，不但使學(xué)生對(duì)不等式中等式成立的條件引起高度重視，而且對(duì)其應(yīng)用的理解層次得到提高。

總之，教師必須努力培養(yǎng)學(xué)生的解題反思意識(shí)與應(yīng)用，學(xué)生只要學(xué)會(huì)了解題反思，就能以少勝多，較大限度地發(fā)揮其解題能力，使效益最大化，有利于跳出題海，激發(fā)創(chuàng)新意識(shí)，提升思維品質(zhì)，事半功倍。

作者簡(jiǎn)介：

蔣秀金，福建省三明市，福建省尤溪縣第五中學(xué)。endprint