數(shù)學(xué)活動(dòng)課怎樣上？

葉海波+王會(huì)玲

人教版初中《數(shù)學(xué)》教材章節(jié)后的“數(shù)學(xué)活動(dòng)”部分充分體現(xiàn)了編者對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重視，但由于教材對(duì)“數(shù)學(xué)活動(dòng)”提供的情景或問(wèn)題往往比較簡(jiǎn)略，表面上看不出具體知識(shí)技能的指向，加之受應(yīng)試教育的影響，導(dǎo)致一些教師對(duì)“數(shù)學(xué)活動(dòng)”教與學(xué)沒(méi)有足夠的重視。因此，數(shù)學(xué)活動(dòng)實(shí)際教學(xué)情況是：要么是一帶而過(guò)，要么上成復(fù)習(xí)課，抑或是上成“手工課”。這與新課標(biāo)中關(guān)于數(shù)學(xué)活動(dòng)是初中數(shù)學(xué)四大領(lǐng)域之一“綜合與實(shí)踐”的重要載體的地位是不相符的。近日，在一次數(shù)學(xué)學(xué)科培訓(xùn)活動(dòng)中，一位鄉(xiāng)村中學(xué)的青年教師為我們展示了一節(jié)生動(dòng)而豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)課《平面鑲嵌》（八年級(jí)上冊(cè)），在活動(dòng)進(jìn)程中既有學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐的精彩，也有思維碰撞的火花。

課堂實(shí)錄：

【引入】首先播放地面鑲嵌的視頻，出示課題，然后要求學(xué)生圍繞問(wèn)題自學(xué)：1.什么是平面鑲嵌？2.平面鑲嵌的條件是什么？

學(xué)生的回答從“一些不重疊的多邊形把平面的一部分完全覆蓋”到“嚴(yán)絲合縫，不留空隙”再到“無(wú)空隙，不重疊”。

教師都給予肯定的評(píng)價(jià)，同時(shí)出示PPT引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形的局部（某個(gè)拼接點(diǎn)），發(fā)現(xiàn)多邊形平面鑲嵌條件的數(shù)學(xué)表述：每個(gè)拼接點(diǎn)處內(nèi)角之和為360°。

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)源于生活且應(yīng)用于生活，這位教師借助視頻和課件展現(xiàn)生活中學(xué)生熟悉的大量有關(guān)多邊形密鋪的圖片，從直觀角度對(duì)學(xué)生認(rèn)識(shí)什么是多邊形平面鑲嵌打下烙印。然后提出問(wèn)題引發(fā)思考，讓學(xué)生經(jīng)歷從生活化的語(yǔ)言表述逐步提煉成數(shù)學(xué)語(yǔ)言的過(guò)程。教師在對(duì)多邊形平面鑲嵌條件的數(shù)學(xué)表述上給了學(xué)生恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥，讓學(xué)生體會(huì)從具體直觀到抽象概括的數(shù)學(xué)化過(guò)程。

【活動(dòng)1】以小組為單位，嘗試用課前準(zhǔn)備的邊長(zhǎng)相同的正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形紙片中的一種分別進(jìn)行密鋪，分組上臺(tái)展示各種拼接的情況并說(shuō)明是否是平面鑲嵌。

設(shè)問(wèn)：為什么正三角形、正方形、正六邊形能平面鑲嵌？為什么正五邊形不能平面鑲嵌？正八邊形能否平面鑲嵌？正十邊形呢？

由于有前一個(gè)環(huán)節(jié)的鋪墊，結(jié)合動(dòng)手操作的情況，學(xué)生認(rèn)識(shí)到：能否用正多邊形鑲嵌，就是看若干個(gè)正多邊形的內(nèi)角能否拼成周角，轉(zhuǎn)化為數(shù)量條件即為：正多邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)能否整除360°。學(xué)生也進(jìn)一步通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)正八邊形、正十邊形不能平面鑲嵌。

點(diǎn)評(píng)：研究生活中的常見(jiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，引發(fā)了學(xué)生對(duì)知識(shí)的渴望，喚起了學(xué)生自己動(dòng)手探究的主動(dòng)性和積極性。在動(dòng)手實(shí)踐中有學(xué)生看得見(jiàn)、摸得著的實(shí)體形象，喚起學(xué)生學(xué)習(xí)的愉悅；在問(wèn)題串的探究交流中又展現(xiàn)了學(xué)習(xí)的智力背景，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用功能，鼓舞著學(xué)生主動(dòng)求知。在為所有學(xué)生提供充分展示學(xué)習(xí)實(shí)踐成果機(jī)會(huì)的前提下，讓學(xué)生建立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信，教師只是以合作者的身份幫助學(xué)生在活動(dòng)探究中加深對(duì)知識(shí)的理解，獲得初步的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。此處如果對(duì)究竟“有哪幾種正多邊形能平面鑲嵌？”作進(jìn)一步的探討，還可以給學(xué)生更多的思考空間。

【活動(dòng)2】還以小組為單位，嘗試用課前準(zhǔn)備的一些形狀、大小相同的三角形紙板和四邊形紙板分別進(jìn)行密鋪，分組上臺(tái)展示各種拼接的情況并說(shuō)明是否是平面鑲嵌。

設(shè)問(wèn)：形狀、大小相同的三角形紙板和四邊形紙板為什么分別能平面鑲嵌？對(duì)任意多邊形平面鑲嵌除了要求拼接點(diǎn)處的內(nèi)角和為360°以外，還要注意什么？

通過(guò)拼圖和借鑒前面活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生認(rèn)識(shí)到任意三角形和四邊形分別能進(jìn)行平面鑲嵌是因?yàn)樗鼈儍?nèi)角和的特殊性決定的。而對(duì)比某一個(gè)拼接點(diǎn)的不同拼法，一方面學(xué)生從直觀的角度認(rèn)識(shí)到“拼接邊要相等”，另一方面加深學(xué)生對(duì)平面鑲嵌概念更深入的理解，即“如果有足夠多的多邊形（三角形或四邊形）可以將整個(gè)平面完全覆蓋”，強(qiáng)化平面鑲嵌要達(dá)成“每個(gè)拼接點(diǎn)的內(nèi)角和為360°”。

點(diǎn)評(píng)：活動(dòng)2是在經(jīng)過(guò)活動(dòng)1積累了一定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)對(duì)平面鑲嵌有了初步了解的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的一個(gè)形式更為一般、更為復(fù)雜的拼接活動(dòng)。創(chuàng)設(shè)更富挑戰(zhàn)性和趣味性的活動(dòng)情境，讓學(xué)生又投入到積極的學(xué)習(xí)中，通過(guò)展示活動(dòng)成果既讓學(xué)生獲得成功的體驗(yàn)，也能感受到矛盾和困難的沖擊，以達(dá)到對(duì)所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)更深入的理解和掌握更多的探究學(xué)習(xí)技能。

【活動(dòng)3】以小組為單位，嘗試用課前準(zhǔn)備的邊長(zhǎng)相同的正三角形和正方形兩種紙片進(jìn)行拼接，能否平面鑲嵌？若用正三角形和正五邊形紙片呢？若用正三角形和正六邊形紙片呢？展示各種拼接的情況并說(shuō)明是否是平面鑲嵌？為什么？

在小組活動(dòng)交流的基礎(chǔ)上結(jié)合拼接成的圖形，學(xué)生認(rèn)識(shí)到：兩種正多邊形能否平面鑲嵌取決于是否有若干個(gè)正多邊形的內(nèi)角拼出一個(gè)周角。

設(shè)問(wèn)：判斷能否用邊長(zhǎng)相同的正三角形和正八邊形平面鑲嵌？

由于事先沒(méi)準(zhǔn)備正八邊形紙片，不能操作判斷。學(xué)生自然會(huì)類(lèi)比前面的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)計(jì)算正三角形和正八邊形的內(nèi)角度數(shù)來(lái)判斷。此時(shí)多數(shù)學(xué)生是選擇嘗試不同個(gè)數(shù)正三角形和正八邊形的內(nèi)角求和，經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)作出判斷。在此基礎(chǔ)上教師啟發(fā)學(xué)生思考把不確定的正三角形或正八邊形的個(gè)數(shù)符號(hào)化，引入方程思想。即假設(shè)能平面鑲嵌，設(shè)一個(gè)拼接點(diǎn)處有m個(gè)正三角形的角，n個(gè)正八邊形的角，則60m+135n=360，再討論二元一次方程的正整數(shù)解作出判斷。

點(diǎn)評(píng)：在活動(dòng)3中，學(xué)生的學(xué)習(xí)行為從動(dòng)手實(shí)踐，到具體數(shù)據(jù)的算術(shù)試驗(yàn)，再到討論不定方程的特殊解。這種從學(xué)生面對(duì)的顯性、外在的具體操作過(guò)渡到用數(shù)學(xué)解釋操作的理由或代替操作，再到用更一般更通性的數(shù)學(xué)方法去做出判斷的活動(dòng)過(guò)程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

【延伸】課外活動(dòng)：能任選邊長(zhǎng)相同的三種不同正多邊形進(jìn)行平面鑲嵌嗎？四種呢？

學(xué)生小組交流談想法，教師做點(diǎn)評(píng)，再播放三種正多邊形能（或不能）平面鑲嵌的推算和拼擺過(guò)程的微課。

點(diǎn)評(píng)：在經(jīng)過(guò)豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)和數(shù)學(xué)思考之后，學(xué)生站在理性的角度重新面對(duì)具體的情境，那就不再首先是動(dòng)手做，而是先通過(guò)數(shù)學(xué)方法做出判斷。經(jīng)歷這樣的環(huán)節(jié)，進(jìn)一步強(qiáng)化了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，也體現(xiàn)了“問(wèn)題情境——建立模型——解釋?xiě)?yīng)用與拓展”這一知識(shí)形成應(yīng)用的過(guò)程。對(duì)課堂上由于時(shí)間關(guān)系無(wú)法直接探討完成的知識(shí)點(diǎn)用微課進(jìn)行延伸，學(xué)生既興趣盎然，又易于接受，這樣學(xué)習(xí)效率高，課堂教學(xué)效率也高。

總評(píng)：

《平面鑲嵌》這節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課在教材中是以課題學(xué)習(xí)的形式呈現(xiàn)的。本節(jié)課以問(wèn)題為主線，以學(xué)生的動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)活動(dòng)為主，以“提出問(wèn)題——自主探究——?dú)w納分析”的模式展開(kāi)教學(xué)。學(xué)生在問(wèn)題的引領(lǐng)下有目標(biāo)的自主探究，既培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力，經(jīng)歷猜想、實(shí)踐、歸納的過(guò)程，又培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真思考、討論交流的良好習(xí)慣，同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力。

數(shù)學(xué)活動(dòng)課是對(duì)課堂教學(xué)的一種補(bǔ)充，不同于數(shù)學(xué)知識(shí)傳授課，也不是一般的數(shù)學(xué)課外活動(dòng)。它是為了讓學(xué)生對(duì)某一體系的數(shù)學(xué)知識(shí)更深入理解、更牢固掌握、更靈活應(yīng)用，針對(duì)性創(chuàng)設(shè)一定的活動(dòng)情境，在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的參與下，進(jìn)行的學(xué)習(xí)研究活動(dòng)。本節(jié)活動(dòng)課主要體現(xiàn)了以下兩個(gè)方面的特點(diǎn)：一是注重?cái)?shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)涵。突出了觀察與體驗(yàn)、感性與理性。我們時(shí)?？吹交顒?dòng)課表面很熱鬧，但活動(dòng)與思維是脫節(jié)的，這樣的活動(dòng)課是低層次的。但在這節(jié)活動(dòng)課中，讓學(xué)生在做數(shù)學(xué)活動(dòng)中，產(chǎn)生一些想法——無(wú)論正確與否——加以驗(yàn)證，培養(yǎng)了學(xué)生自覺(jué)應(yīng)用數(shù)學(xué)解釋生活現(xiàn)象的意識(shí)。二是轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)活動(dòng)的角色。我們還看到一些活動(dòng)課，學(xué)生在活動(dòng)中只是扮演教師的若干只手而已，是被動(dòng)參與。要做什么、怎么做、會(huì)有什么結(jié)果，學(xué)生一直是被教師牽著走的。而在本節(jié)課中，學(xué)生是活動(dòng)的主體、知識(shí)的探索者、團(tuán)隊(duì)的合作者，教師只是參與者，學(xué)生主動(dòng)參與發(fā)現(xiàn)、探究、解決問(wèn)題，從中獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，獲得解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程體驗(yàn)、情感體驗(yàn)。

數(shù)學(xué)活動(dòng)課教學(xué)與系統(tǒng)理論知識(shí)的教學(xué)是不同的，它要求教師花更多的時(shí)間和精力去準(zhǔn)備，包括確定活動(dòng)目標(biāo)、明確活動(dòng)主題、選擇活動(dòng)場(chǎng)景、預(yù)設(shè)活動(dòng)過(guò)程、預(yù)測(cè)活動(dòng)結(jié)果等，每個(gè)方面都值得我們?nèi)ゴ脱芯?。紙上得?lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行，數(shù)學(xué)活動(dòng)課的預(yù)設(shè)與生成值得我們?nèi)ド顚犹剿鳎枰獢?shù)學(xué)教師在多次的數(shù)學(xué)活動(dòng)課教學(xué)中積累，經(jīng)過(guò)多次嘗試才能獲得成功。

（作者單位：葉海波，宜都市教研室；王會(huì)玲，宜都市枝城中學(xué)）

責(zé)任編輯 陳建軍endprint