函數(shù)形式的單調(diào)有界原理的證明

劉曉蘭

【摘要】引入實(shí)數(shù)的連續(xù)歸納法，用它證明函數(shù)極限的單調(diào)有界原理，進(jìn)而數(shù)列極限可以作為函數(shù)極限的特殊情形討論。

【關(guān)鍵詞】函數(shù) 極限 單調(diào)有界原理 數(shù)學(xué)歸納法

【中圖分類號(hào)】O171 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】C 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）49-0122-01

在微積分教材中，在介紹極限時(shí)，不管是在非數(shù)學(xué)專業(yè)的高等數(shù)學(xué)教材中還是數(shù)學(xué)專業(yè)的數(shù)學(xué)分析教材中，都是先介紹數(shù)列的極限，然后再介紹函數(shù)極限，本文引入張景中院士提出的關(guān)于實(shí)數(shù)理論的“連續(xù)歸納法”，證明函數(shù)極限的單調(diào)有界原理，這樣數(shù)列形式的單調(diào)有界原理就可以作為其特例理解，從而教材可以把函數(shù)極限和數(shù)列極限調(diào)整順序。

1.關(guān)于正整數(shù)的數(shù)學(xué)歸納法原理

第二數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)有一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題P（n），如果：

（1）當(dāng)n=1時(shí)，命題P（1）成立；

（2）假設(shè)對(duì)任意自然數(shù)1≤n

2.關(guān)于實(shí)數(shù)的連續(xù)歸納法原理

定理1 設(shè)P（t）是涉及實(shí)數(shù)t的一個(gè)命題，滿足：

（1）存在區(qū)間[t0，t1），使P（t）在此區(qū)間上成立；

（2）對(duì)任意區(qū)間[t0，s），P（t）在此區(qū)間上成立，可推出存在t2>s，P（t）在區(qū)間[t0，t2）上成立；P（t）則在[t0，+∞）上成立。

3.函數(shù)極限的單調(diào)有界定理

定理2（函數(shù)極限的單調(diào)有界定理）

設(shè)函數(shù)f（x）在[a，+∞）上單調(diào)有界，則極限 f（x）存在。

證明：不妨設(shè)f（x）是單調(diào)遞減的，若 f（x）存在，由f（x）的遞減性，可得？坌x∈[a，+∞），必有f（x）≥ f（x）， 即 f（x）是f（x）的下界。

下面，用反證法證明定理結(jié)論，若 f（x）不存在，則f（x）的任何下界都不是f（x）的極限。

設(shè)P（t）表示命題：t是f（x）的下界。

由定理?xiàng)l件f（x）有下界，設(shè)t0是f（x）的下界，即P（t0）成立，由反證假設(shè) f（x）≠t0，則？堝ε0>0，？坌n，？堝xn>n，使得f（xn）≥t0+ε0。

由f（x）的單調(diào)性及？坌x∈[a，+∞），？堝xn>x，有f（x）≥f（xn）≥t0+ε0成立，從而P（t）在[t0，t0+ε0）成立，即歸納基礎(chǔ)成立。

假設(shè)對(duì)任意t0≤t0，？坌n，？堝xn>n使得f（xn）≥s+ε0。

由f（x）的單調(diào)性，及？坌x∈[a，+∞），？堝xn>x，有f（x）≥f（xn）≥s+ε0。

即s+ε0是f（x）的下界，從而P（t）在[t0，s+ε0）成立，也即歸納假設(shè)成立。

由連續(xù)歸納法，P（t）在[t0，+∞）上成立，即[t0，+∞）上的任何數(shù)都是下界，矛盾！

故 f（x）存在。

類似可證下列結(jié)論：

定理3 設(shè)f（x）為定義在U+°（x0）上的單調(diào)有界函數(shù)， 則右極限 f（x）存在。

（類似可得關(guān)于 f（x）， f（x）， f（x）的單調(diào)有界定理）

數(shù)列可以看作是一類特殊的函數(shù)xn=f（n），若數(shù)列是單調(diào)有界的，則由函數(shù)極限的單調(diào)有界定理得數(shù)列的單調(diào)有界定理.

定理 4（單調(diào)有界定理）單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

現(xiàn)在的很多教材比如[4]，先講特殊的數(shù)列極限，再講一般的函數(shù)極限，而在介紹了用實(shí)數(shù)的連續(xù)歸納法證明函數(shù)形式的單調(diào)有界原理后，就可以先介紹范圍更廣泛的函數(shù)極限，數(shù)列極限就作為它的特殊情況介紹。

參考文獻(xiàn)：

[1]張景中，曹培生.從數(shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)（最新版） [M].北京： 中國(guó)少年兒童出版社.

[2]張景中.數(shù)學(xué)與哲學(xué)[M].長(zhǎng)沙： 湖南教育出版社，1990.

[3]復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社.

[4]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析上冊(cè)（第四版）[M].高等教育出版社.

[5]徐永春，關(guān)金玉等，用連續(xù)歸納法證明實(shí)數(shù)系中的定理[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí).2007（37）144—146.