用信息技術(shù)重塑波利亞的問題解決理論

蔣培杰

摘 要 在簡述喬治·波利亞生平及其問題解決理論的基礎(chǔ)上，指出信息技術(shù)應(yīng)用于問題解決能夠拓展解題者思維的深度和寬度，以圖形計算器技術(shù)為例，給出信息技術(shù)應(yīng)用于解題的四個步驟，重塑波利亞的解題表，搭建用信息技術(shù)重塑波利亞解題理論的一個框架，通過案例對重塑后的解題表做實(shí)際應(yīng)用，并指出整合信息技術(shù)創(chuàng)新波利亞問題解決理論和數(shù)學(xué)方法論的若干研究方向。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)教育；波利亞的問題解決理論；解題表；信息技術(shù)；圖形計算器技術(shù)

中圖分類號：G652 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

文章編號：1671-489X（2018）14-0111-03

Information Technology Reshaping George Polyas Theory of Problem Solving//JIANG Peijie

Abstract In brief review of George Polyas life and his theory， its

pointed out that he application of information technology expanding the problem-solvers depth and width in thinking. Taking the gra-phing calculator as an example of IT， this paper gives four steps of

problem solving with information technology application， and re-

shapes George Polyas table of problem solving. Setting up a frame-work of problem solving with IT to reshape George Polyas problem solving theory， this paper takes some conclusions relating Fermats conjecture for prime numbers for a concrete example and put for-ward some research directions.

Key words mathematics education； George Polyas problem solving theory； table of problem solving； IT； graphing calculator

1 引言

現(xiàn)代信息技術(shù)已經(jīng)對全世界經(jīng)濟(jì)、政治和文化產(chǎn)生重大而深遠(yuǎn)的影響。在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，用技術(shù)改造和重塑數(shù)學(xué)教育也逐漸成為數(shù)學(xué)教育界的共識。那么，如何用技術(shù)重塑數(shù)學(xué)教育？一般而言，用信息技術(shù)重塑數(shù)學(xué)教育包含理論和實(shí)踐兩個部分。目前信息技術(shù)已經(jīng)在數(shù)學(xué)教育的廣闊領(lǐng)域中得到一些應(yīng)用，但還遠(yuǎn)未達(dá)到重塑數(shù)學(xué)教育的程度，其中一個主要的原因就是用信息技術(shù)重塑數(shù)學(xué)教育還缺少理論上的創(chuàng)新。因此，在實(shí)踐的同時整合信息技術(shù)從而重塑經(jīng)典數(shù)學(xué)教育理論，意義重大。

在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域稱得上經(jīng)典理論的只有波利亞的問題解決理論和弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育理論[1]。正如著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家江澤涵所述，波利亞在問題解決方向的工作討論的不僅是求解數(shù)學(xué)問題，實(shí)際上闡述到認(rèn)識論和科學(xué)方法論。每一位科學(xué)工作者，不論他的專業(yè)是哪一種，只要他有高中數(shù)學(xué)水平，他在遇到問題等待解決時很有可能從波利亞的書中得到啟發(fā)[2]。但是受限于時代和技術(shù)的發(fā)展，波利亞當(dāng)時的工作并未考慮信息技術(shù)這一工具。在這樣的背景下，整合信息技術(shù)、用技術(shù)重塑波利亞的問題解決理論，成為值得研究的課題。

2 波利亞及其問題解決理論簡介

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞（George Polya，1887—1985）是20世紀(jì)最有影響力的數(shù)學(xué)家之一，他在數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域內(nèi)有精深的造詣，在概率論（隨機(jī)漫步理論）、組合、代數(shù)、數(shù)論和幾何上均有奠基性的工作，但他主要的研究興趣是實(shí)分析和復(fù)分析[3]。作為當(dāng)時第一流的數(shù)學(xué)家，波利亞對解題教學(xué)有濃厚的興趣。為回答“一個好的解法是如何想出來的”這個困惑很多人的問題，他專門研究解題的思維過程，把研究成果寫成《怎樣解題》一書，后續(xù)還著成《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》和《數(shù)學(xué)與猜想》作為其思想的延續(xù)，建立了可用之逼近任何層次數(shù)學(xué)問題解決的思維原則，被稱為數(shù)學(xué)問題解決之父[4]。

波利亞在數(shù)學(xué)教育方面所取得的成就對世界數(shù)學(xué)教育有深遠(yuǎn)的影響，他在解題思維規(guī)律研究領(lǐng)域有許多奠基性的工作。他認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是教會學(xué)生思考，而教會思考的主要途徑之一就是加強(qiáng)解題的訓(xùn)練。他認(rèn)為教學(xué)是一門藝術(shù)，并提出關(guān)于教學(xué)的若干原則[5]。他著重論述的是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律以及解題研究和解題教學(xué)的思想，提出歸納和類比等合情推理模式[6]，對數(shù)學(xué)教育影響至今。

《怎樣解題》的核心是作者分析解題思維過程得到的一張解題表，并以精練的案例來說明這張表的實(shí)際應(yīng)用。該表包括弄清問題、擬定計劃、實(shí)現(xiàn)計劃和回顧四大步驟，將尋求解法的思維過程分解為五條建議和23個具有啟發(fā)性的問題，使得解題表能在解題過程中不斷啟發(fā)解題者進(jìn)行聯(lián)想[1]。

3 信息技術(shù)在解題中的作用及波利亞解題表的重塑

信息技術(shù)在解題中的作用 人和動物的主要區(qū)別之一在于使用勞動工具[7]，這意味著使用勞動工具使得人類區(qū)別于其他動物，有了質(zhì)的不同。同樣的，信息技術(shù)是思維的工具。可以類比，思維過程中有技術(shù)的輔助和沒有技術(shù)的輔助也有質(zhì)的不同。根據(jù)波利亞的理論，解題意味著“從困難中去找出一條越過障礙的路，使我們能夠達(dá)到一個不易及時達(dá)到的目標(biāo)”[8]。

圖形計算器技術(shù)的作用在于為人們尋找這條“路”提供了強(qiáng)有力的工具，為人們的各種嘗試（作圖和計算等）節(jié)省時間并促發(fā)思考，從而提高思考和發(fā)現(xiàn)的效率。因此，圖形計算器技術(shù)能夠應(yīng)用于解題的原理在于，正確使用圖形計算器技術(shù)能夠拓展思維的深度和寬度，能促進(jìn)解題者對問題的多元理解，提供對特例的驗(yàn)證并啟示做出發(fā)現(xiàn)，為解題探索縮短路徑，提高使用者的計算和作圖效率，從而使解題者能夠以更寬的視角來看待問題，以更具體的方式來處理問題，這都有利于解題者捕捉解題思路，構(gòu)思解法并解決問題。

波利亞解題表的重塑 波利亞的解題表是波利亞問題解決思想的凝練，是解題過程中思維應(yīng)遵循的規(guī)則。重塑波利亞的問題解決理論，從波利亞的解題表開始是一個合適的起點(diǎn)。

1）問題解決的四個步驟?；诓ɡ麃喌慕忸}表，整合圖形計算器技術(shù)，概括得到重塑后的解題表。

?2）對解題表的說明。表1是重塑后的解題表，加粗字體部分為新增內(nèi)容。該表較波利亞原解題表[9]少了一些內(nèi)容，那是因?yàn)槲闯霈F(xiàn)的原表內(nèi)容即便在信息技術(shù)支持下也無須更改，為使得重塑后的表格既凝練又不影響完整性，原表中一些經(jīng)典的提問并未列出，但這并不說明這些內(nèi)容不重要。

新的解題表在弄清問題過程中增加“可用圖形計算器”，意在提示解題者可以考慮圖形計算器作為運(yùn)算和作圖的工具，簡化不必要的煩瑣計算。這個提示可以塑造解題者使用信息技術(shù)的意識?！叭缬斜匾?，利用圖形計算器作圖，將條件和問題可視化”，則是提示信息技術(shù)的具體作用，能夠幫助解題者更好地理解面對的問題。

新的解題表在擬定計劃過程中提出“如有必要，用圖形計算器算一算”，意在提示解題者如果面對的是計算問題或者需要煩瑣的計算，那么沒有必要手算的不妨讓技術(shù)代勞，解題者可以把精力放在深入思考問題或者思考問題的其他方面。同時，計算器的作圖等功能為解題者的思維新增維度，讓思維可以更深、更廣，從而啟示解題者發(fā)現(xiàn)解決問題的思路。這里也指出有必要才使用技術(shù)，沒有必要則不用，不能濫用信息技術(shù)。“圖形計算器是否有幫助”“用上圖形計算器”，則是提示解題者隨時可以用上計算器的強(qiáng)大計算和作圖功能。

新的解題表在實(shí)現(xiàn)計劃過程中新增“正確使用圖形計算器”“圖形計算器是否有幫助”兩個提示，提醒解題者不能濫用圖形計算器。使用技術(shù)應(yīng)恰當(dāng)，要思考并知道何時信息技術(shù)可以起作用。

新的解題表在回顧階段提出“如有必要，用上圖形計算器”，提示解題者技術(shù)是驗(yàn)證的好工具；“不用圖形計算器能得到結(jié)果嗎？圖形計算器的作用是什么”，提示解題者脫離工具的束縛，思考沒有信息技術(shù)能不能解決問題，弄清楚問題的本質(zhì)，以便遷移。

4 具體案例

案例：與Fermat素數(shù)猜想有關(guān)的若干結(jié)論。Fermat曾經(jīng)遇到這樣的情況，他觀察到，，

257，都是質(zhì)數(shù)，所以他猜想（n∈N*）是質(zhì)數(shù)。在這個猜想提出半個世紀(jì)以后，歐拉指出：

不是質(zhì)數(shù)。

有信息技術(shù)支持，按照表1的提示，直接用圖形計算器質(zhì)數(shù)判別功能得到不是質(zhì)數(shù)，同時得到它的因數(shù)分解。同樣的方式不難得到、、都不是質(zhì)數(shù)，從而借助信息技術(shù)得到新的猜想：（n≥5）都是合數(shù)。當(dāng)然，這只是猜想。

回顧階段利用圖形計算器還可以探究相關(guān)的問題，見圖1。

可見，、、、的末尾數(shù)字都是7，由此可以猜想（n≥2）的末尾數(shù)字都是7，這意味著1（n≥2）！而這個結(jié)論是正確的，因?yàn)椴浑y得到（m≤n）！由于，從而（n≥2），不僅有（n≥2），還有（n≥2）。

進(jìn)一步探索，用圖形計算器對、、都做因數(shù)分解，見圖2。

借助圖形計算器不難發(fā)現(xiàn)這些數(shù)要么是質(zhì)數(shù)，要么是兩個質(zhì)數(shù)的乘積，因此可以得到一個猜想：所有形如（n≥2）的數(shù)要么是質(zhì)數(shù)，要么是兩個質(zhì)數(shù)的乘積。當(dāng)然，這個結(jié)論只是猜想。

從以上利用圖形計算器發(fā)現(xiàn)新結(jié)論可見，應(yīng)用技術(shù)的確提高了人們發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力。正因?yàn)樾畔⒓夹g(shù)拓展了人們思維的深度和寬度，這才讓人們發(fā)現(xiàn)結(jié)論更加容易。

5 研究展望

波利亞的問題解決理論博大精深并涉及認(rèn)知科學(xué)和科學(xué)哲學(xué)，只言片語無法論述清楚。本文在波利亞解題表的基礎(chǔ)上融入信息技術(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造整合技術(shù)后的解題表，只是搭建一個初步的研究框架，而使用的圖形計算器技術(shù)與其他計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)相比，功能也十分有限。信息技術(shù)用于重塑波利亞的問題解決理論有很多途徑和思路，以下為一個梳理。

信息技術(shù)支持下波利亞思想與元認(rèn)知研究 元認(rèn)知的培養(yǎng)與訓(xùn)練是深化波利亞解題思想的重要手段[10]，而元認(rèn)知與波利亞思想的關(guān)系目前并未梳理清楚。波利亞的解題表可以認(rèn)為是一系列關(guān)于解題的元認(rèn)知策略。那么信息技術(shù)支持下元認(rèn)知策略是否會更豐富？而這對波利亞思想與元認(rèn)知的關(guān)系研究是否有影響？

信息技術(shù)支持下波利亞教學(xué)原則創(chuàng)新研究 波利亞著作中反復(fù)強(qiáng)調(diào)“學(xué)習(xí)任何東西最好的方式是親自去發(fā)現(xiàn)它”“盡可能讓學(xué)生在現(xiàn)有條件下親自去發(fā)現(xiàn)盡可能多的東西”，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣[11]。在信息技術(shù)支持下，借助簡單的CAS計算器、動態(tài)幾何軟件，學(xué)生的“現(xiàn)有條件”已遠(yuǎn)勝過去。那么在有信息技術(shù)支持的條件下，學(xué)生再發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)有哪些優(yōu)勢？如何用好這些優(yōu)勢更好地學(xué)習(xí)和再創(chuàng)造？

信息技術(shù)支持下波利亞探索法（heuristic）研究 波利亞的探索法是一種科學(xué)方法——分析和綜合。波利亞對如何分析以及如何綜合的具體建議集中體現(xiàn)在其解題表中[9]。

有信息技術(shù)支持，分析的策略和可能將得到極大的拓展，那么如何拓展？這種拓展是否會對數(shù)學(xué)教育有益？

信息技術(shù)支持下數(shù)學(xué)方法論研究 數(shù)學(xué)方法論是從數(shù)量關(guān)系和空間形式的角度認(rèn)識世界和改造世界的一般方法，是關(guān)于數(shù)學(xué)思想和方法的理論。受時代限制，波利亞方法論體系并未考慮信息技術(shù)的作用，這也是為什么信息技術(shù)可以優(yōu)化波利亞理論體系。數(shù)學(xué)作為一種技術(shù)用于改造世界的觀點(diǎn)已經(jīng)逐漸為公眾接受，而反過來用技術(shù)來促進(jìn)認(rèn)識數(shù)學(xué)也同樣不能忽略。信息技術(shù)支持下，當(dāng)下的數(shù)學(xué)方法論體系是否有可能在理論上有所突破？

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