利用APOS理論透視無理數(shù)的概念教學(xué)

張夢婷 劉云

摘 要 概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，而對概念的理解則是教學(xué)中的重點。以人教版七年級下冊無理數(shù)的概念為例，運用APOS理論的四個階段對其教學(xué)過程進行分析，基于APOS理論歸納出概念教學(xué)的一般模式，其分為四個階段：活動、程序、對象、圖式。

關(guān)鍵詞 APOS理論；無理數(shù)；數(shù)學(xué)概念；概念教學(xué)

中圖分類號：G652 文獻標(biāo)識碼：B

文章編號：1671-489X（2018）14-0080-03

Using APOS Theory to Perspective Concept Teaching of Irra-tional Numbers//ZHANG Mengting， LIU Yun

Abstract Concept is the basis of learning mathematics， and under-standing of concepts is the focus of teaching. The author who teaches

the concept version of grade seven irrational number as an example， using the four stages of APOS theory to analyze the teaching process，

APOS theory summed up the general model based on the concept of teaching， which is divided into four stages： activity， process， object and schema.

Key words APOS theory； irrational number； mathematical concept； concept teaching

1 引言

無理數(shù)的教學(xué)安排在人民教育出版社七年級下冊第六章“實數(shù)”的探究部分。相對于有理數(shù)，無理數(shù)是一個經(jīng)常被人們忽視的知識點，所以大多數(shù)學(xué)生對于無理數(shù)的掌握僅僅停留在運算上，只會做題，不能理解其概念的本質(zhì)屬性。在實施素質(zhì)教育的今天，不能只注重做題技能的訓(xùn)練，還應(yīng)該順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知，讓學(xué)生明確無理數(shù)概念的本質(zhì)。

APOS理論是在建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀下提出的有關(guān)概念學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論。經(jīng)過皮亞杰反思性抽象的擴展，APOS理論認(rèn)為理解數(shù)學(xué)概念要經(jīng)歷四個階段：A—Action（活動），P—Process（程序），O—Object（對象），S—Schema（圖式）。那么該如何將這一理論運用到無理數(shù)的教學(xué)中去呢？本文以無理數(shù)的教學(xué)為例，展示APOS理論在概念教學(xué)中的應(yīng)用。

2 AOPS理論下的無理數(shù)教學(xué)過程

第一階段：活動 活動是指通過一個個外部行為去變換一個客觀的數(shù)學(xué)對象。它是學(xué)生理解概念的一個必要條件，通過活動讓學(xué)生親自感受到外部刺激，從而更好地引入新概念。這里的活動泛指所有的數(shù)學(xué)活動，包括實驗、猜想、推理、論證等。在無理數(shù)教學(xué)中，可設(shè)計如下活動：

古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派認(rèn)為世界上的一切量都是可以用數(shù)（有理數(shù)）來表示的觀點被他的弟子希伯索斯（Hippasus）

否定了，希伯索斯發(fā)現(xiàn)邊長為1的正方形的對角線是不可以用有理數(shù)來表示的。那肯定有一種與有理數(shù)不同的數(shù)真實存在著，那么這個數(shù)到底是誰？我們順著古人的思路一起來探究一下。請同學(xué)們動手操作一下可不可以用兩個面積為1 dm2的小正方形拼成一個面積為2 dm2的大正方形？（讓學(xué)生動手剪一剪、湊一湊。）

如圖1所示，教師引導(dǎo)學(xué)生將兩個面積為1 dm2的小正方形沿著對角線剪開，得到四個直角三角形，將這四個直角三角形湊在一起，就形成一個面積為2 dm2的大正方形。根據(jù)正方形面積公式和算數(shù)平方根的知識，抽象概括出代數(shù)式x2=2，從而知道大正方形的邊長（即小正方形的對角線）為 dm。

根據(jù)有理數(shù)的概念，分?jǐn)?shù)和整數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。事實上，找不到一個分?jǐn)?shù)或是整數(shù)來代替，不能用分?jǐn)?shù)或是整數(shù)來表示，即它不是有理數(shù)。那么可不可以用有理數(shù)來近似地表示它，從而來近似確定它的大小呢？

因為12=1，22=4，所以1<<2；

因為1.42=1.96，1.52=2.25，所以1.4<<1.5；

因為1.412=1.988 1，1.422=2.016 4，所以1.41<<1.42；

因為1.4142=1.999 396，1.4152=2.002 225，所以1.414<<1.415；

……

這樣就得到的近似值，那它的近似數(shù)會一直無限不循環(huán)下去嗎？

第二階段：程序 當(dāng)活動經(jīng)過反復(fù)多次重復(fù)，被個體熟悉之后，就可以內(nèi)化為一種程序的心理操作。內(nèi)化是理解所感受到的現(xiàn)象的一種心理過程。學(xué)生對活動進行反復(fù)思考，尋找事物的共同屬性，并且通過實例進行假設(shè)、驗證，抽象出概念所特有的屬性，從而形成概念。

在無理數(shù)教學(xué)中，為讓學(xué)生獲得無理數(shù)的本質(zhì)屬性，先讓學(xué)生利用計算器得到=1.414 213 562 3，然后提問：1.414 213 562 3是還是的近似數(shù)？這時有的學(xué)生可能會覺得不會一直循環(huán)下去，這個小數(shù)應(yīng)該就是。教師再提問：請同學(xué)們利用算數(shù)平方根的知識計算一下

1.414 213 562 3的平方，你能發(fā)現(xiàn)什么？最終學(xué)生計算的結(jié)果是等于1.999 999 688 7，所以化為小數(shù)會一直不循環(huán)下去，教師告訴學(xué)生它是一個無限不循環(huán)小數(shù)。很多正有理數(shù)的算數(shù)平方根（，，等）都是無限不循環(huán)小數(shù)。接下來又利用計算器計算了，，，發(fā)現(xiàn)它們的近似值都是一些無限不循環(huán)小數(shù)。這是以前沒有見過的一類數(shù)，其實從這里已經(jīng)初步得到無理數(shù)的概念。

第三階段：對象 個體從整體上把握一個程序，把它作為一個整體進行變換，這一變換就變成一種心理對象。通過前面的抽象認(rèn)識到概念的本質(zhì)屬性，并將這一概念賦予精確化的定義或是符號，成為一個明確的整體對象，然后再對這個對象進行更上一層次的活動。

在無理數(shù)的教學(xué)中，經(jīng)過活動和程序這兩個階段，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識到無理數(shù)得到的數(shù)學(xué)過程，可以繼續(xù)通過探究將這個數(shù)學(xué)過程對象化：知道有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，請把下面的有理數(shù)寫成小數(shù)的形式，看看你發(fā)現(xiàn)了什么？

上面的分?jǐn)?shù)和整數(shù)都是有理數(shù)，都可以化為有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)的形式，由此得出無理數(shù)的概念，即無限不循環(huán)小數(shù)叫作無理數(shù)。動畫演示：在數(shù)軸上利用圓的滾動畫出π=3.141 592 65…。所以數(shù)軸上的點和無理數(shù)也是一一對應(yīng)著。

教師引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)軸上可以表示無理數(shù)和-，得出無理數(shù)有正有負(fù)，那么自然也就存在相反數(shù)和絕對值。

為了學(xué)生全面理解無理數(shù)的概念，教師應(yīng)該呈現(xiàn)不同形式的無理數(shù)給學(xué)生看。

1）開不盡的數(shù)：……

2）負(fù)無理數(shù)：……

3）超越數(shù)：π，e，lg2，……

4）無限不循環(huán)小數(shù)：4.121 121 112 111 12……

此外，由于×=2，÷=1，-=0，+（-）=0，無理數(shù)之間進行加減乘除運算的結(jié)果可能不是無理數(shù)，因此，無理數(shù)的運算是不封閉的。

第四階段：圖式 圖式的建立是一個長期的過程，孤立的一個數(shù)學(xué)概念是毫無意義的，學(xué)生要在不斷的學(xué)習(xí)和練習(xí)過程中，將新概念與原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來，在頭腦中形成一個心智結(jié)構(gòu)，而這一心智結(jié)構(gòu)就是所謂的圖式。

教學(xué)中經(jīng)過活動、程序、對象的教學(xué)順序?qū)o理數(shù)進行了探究，根據(jù)學(xué)生的心理認(rèn)知來構(gòu)建新的知識——無理數(shù)。這使得學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識又上了一個新的臺階，將有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，就可以建立起一個與無理數(shù)有關(guān)的圖式，如圖2所示。

1）考查對無理數(shù)概念的掌握，會區(qū)分有理數(shù)和無理數(shù)。

【例1】下面的數(shù)是無理數(shù)的有哪些？

0.484 484 448…，，3.141 592 6，，-11，，0，，，，2.020 020 002，，

【解析】①有的學(xué)生過于浮躁，會認(rèn)為是無理數(shù)，因為將這個數(shù)化為小數(shù)時，化到小數(shù)點后面10位都不循環(huán)，就認(rèn)為它是一個無限不循環(huán)小數(shù)，進而認(rèn)為它是一個無理數(shù)。事實上，是一個分?jǐn)?shù)，而分?jǐn)?shù)和整數(shù)都是有理數(shù)，所以應(yīng)該是有理數(shù)。

②有的學(xué)生認(rèn)為3.141 592 6是π，所以是無理數(shù)，其實是平時背π只背到小數(shù)點后面幾位，形成定式思維，帶來錯誤判斷。

③由于粗心大意，有的學(xué)生認(rèn)為是對9開平方等于3，因此誤判它為有理數(shù)。

④對于，有的學(xué)生簡單認(rèn)為只要帶有根號的數(shù)就是無理數(shù)，沒有認(rèn)識到是開不盡的數(shù)才稱之為無理數(shù)。

⑤看著是個分?jǐn)?shù)的形式就判斷它為有理數(shù)，但是不滿足分?jǐn)?shù)的定義，即分子分母都必須為整數(shù)。

因此，無理數(shù)有{0.484 484 448…，，，，，}

2）能用有理數(shù)估計無理數(shù)。

【例2】與1+最接近的整數(shù)是（ ）

A.4 B.3 C.2 D.1

【解析】利用逼近法，選B。

3）考查有關(guān)無理數(shù)的大小比較問題。

【例3】估計與0.5比哪個大？與1.0比呢？

【解析】對于有關(guān)無理數(shù)比大小的問題主要有四種方法：比較被開方數(shù)；平方法；移動因式法；作差法。對于這道題可采用作差法。

因為-0.5=>0，所以>0.5。

因為<0，所以<1.0。

3 基于APOS理論的一般概念教學(xué)模式

APOS理論的四個階段清楚地指出學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的不同層次水平，符合學(xué)生對概念認(rèn)知的心理發(fā)展規(guī)律?；谶@個理論的活動、程序、對象、圖式四個階段，筆者歸納出一般概念教學(xué)的基本模式。

概念產(chǎn)生背景或創(chuàng)設(shè)問題情境 建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，學(xué)習(xí)是在一定情境中發(fā)生的。根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，教師可以提供一些與新概念有關(guān)的感性材料對學(xué)生進行一個外部刺激，但是這些感性材料要有典型性、針對性、趣味性。就像無理數(shù)的教學(xué)，教師可以簡單和學(xué)生敘述一下無理數(shù)的歷史，讓學(xué)生對這一類新的數(shù)產(chǎn)生興趣；接著讓學(xué)生親自動手用兩個小正方形去拼成一個大正方形，利用學(xué)生已有的開根號的知識引出一個具體的無理數(shù)，這為后面的學(xué)習(xí)做了很好的鋪墊。

尋找共同屬性，獲得概念 概念的獲得通常有兩種方式：概念形成和概念同化。概念形成是指通過大量的具體例子，歸納出這一類事物的共性，從而得出數(shù)學(xué)概念。這是一個發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的過程。概念同化是指將新的概念與學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)相互聯(lián)系，將這個新事物同化到已有的概念體系中去。這是一個接受學(xué)習(xí)的過程。概念的同化可以讓新概念獲得意義，同時擴大和加深原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

在探究無理數(shù)的概念時，首先從出發(fā)，發(fā)現(xiàn)它是一個無限不循環(huán)小數(shù)，并且有好多有理數(shù)開根號結(jié)果都是無限不循環(huán)小數(shù)。通過這些實例得出無理數(shù)的一個共同屬性就是它們化為小數(shù)時，小數(shù)點后面的數(shù)都是無限不循環(huán)的，這屬于概念形成。

揭示概念本質(zhì) 對于概念的理解，講清楚定義只是第一步，還要對定義進行進一步剖析。這樣學(xué)生才能對概念進行升華，而不僅僅只是停留在語言描述層次。韜爾曾經(jīng)提出過“過程性概念”這一名詞。如“6+7”，從過程角度看它是一個相加的過程，但從過程性概念的角度看它卻代表和。前者是一個動態(tài)的操作，后者是一個靜態(tài)的整體對象。

過程性概念的發(fā)展經(jīng)過了前程序—程序—過程—過程性概念。當(dāng)某個過程經(jīng)過心理壓縮和符號化而變成一個對象（過程性概念）時，學(xué)生就能在過程和概念之間靈活地轉(zhuǎn)換。在對象這一層次上，學(xué)生可以把過程作為一種心理操作。無理數(shù)在數(shù)軸上表示得出了無理數(shù)的一些性質(zhì)，無理數(shù)有正負(fù)之分，有絕對值、相反數(shù)等，此時將無理數(shù)系統(tǒng)化，將其變成一個完整的對象，提到無理數(shù)可以快速知道它的定義、性質(zhì)。同時還要明確概念表征的多元性，對于無理數(shù)的表示方法，可以是無限不循環(huán)小數(shù)、開不盡的數(shù)、超越數(shù)等。

概念的遷移與應(yīng)用 概念的遷移是學(xué)生將新概念與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)進行聯(lián)結(jié)，或是對新概念進行拓展延伸。當(dāng)下流行的一種理解概念的重要手段就是畫概念圖。概念圖能將各個知識之間的相鄰關(guān)系、對立關(guān)系、交叉關(guān)系、并列關(guān)系很好地展示出來。概念的應(yīng)用是拿這個概念去解決問題。通過用一些典型的例子讓學(xué)生訓(xùn)練，在應(yīng)用中強化概念的理解，促進概念系統(tǒng)的建構(gòu)。

4 結(jié)語

基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式體現(xiàn)的是學(xué)生的外部感知由淺及深一步步得到抽象的數(shù)學(xué)概念的過程，這一規(guī)律符合學(xué)生的心理發(fā)展。這種教學(xué)方法能夠調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，培養(yǎng)學(xué)生積極發(fā)現(xiàn)問題的能力。但有時候?qū)τ跀?shù)學(xué)概念的理解并不嚴(yán)格遵循APOS四個階段的這種線性的途徑，比如在無理數(shù)概念教學(xué)中，程序和對象階段也會有活動的影子，所以四個階段之間還會存在一種循環(huán)參考文獻

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