課題教學案例分析

摘 要：鑒于現(xiàn)在初中學生難于合理運用乘法公式對一些較復雜的求值題進行求解，我用平方差公式、完全平方公式及非負數(shù)的性質(zhì)輕松解決了幾道典型例題，學生在做的過程中感受并獲取了解題思路，學習效果非常好，積極性也大大的提高了，充分反映我們在平時需要整合積累相關(guān)知識并學會綜合運用。

關(guān)鍵詞：平方差公式；完全平方公式；配方；非負數(shù)性質(zhì)；最值

1. 教學目標：利用完全平方公式，及非負數(shù)的性質(zhì)，求一些代數(shù)式值的問題、最值問題及恒等式證明問題。

2. 教學重點：熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造完全平方式解決相關(guān)問題。

3. 教學難點：根據(jù)已給式子的結(jié)構(gòu)配成完全平方式。

4. 教學過程（案例內(nèi)容）

一、 復習引入

1. 復習提問完全平方公式及a2±2ab+b2=（a±b） 2

公式結(jié)構(gòu)分析：左邊三項各項都是二次式，右邊是二項式的平方，

在左邊中ab項的符號與右邊第二項符號相同。

2. 填空①a2+4a+ =（a+2）2， ②9x2+1+ =（3x+1）2

二、 新課講解

1. 用配方及非負數(shù)的性質(zhì)求值問題

例1 已知x2+y2+4x-2y+5=0，求x+y的值。

考點：配方法、非負數(shù)、求代數(shù)式值。

分析：本題是通過配完全平方及非負數(shù)的性質(zhì)求代數(shù)式值的問題，常用的非負數(shù)有：①實數(shù)的絕對值；②偶次冪；③算術(shù)平方根。

解：∵x2+y2+4x-2y+5=0

∴（x+2）2+（y-1）2=0

又∵（x+2）2≥0，（y-1）2≥0

∴x+2=0，y-1=0

∴x=-2，y=1

∴x+y=-2+1=-1

變式練習

（1）已知x2+y2-6x-2y+10=0，求1x+1y的值。

（2）已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，求x+y+z的值。

例2 若（a+3b+4）2=14（a2+b2+4），求a+b的值。

考點：配方法、非負數(shù)、代數(shù)式。

分析：（1）配方時注意構(gòu)造兩個平方項和一個乘積項，平方項如果拆開要拆成幾個平方數(shù)；

（2）利用非負數(shù)的性質(zhì)求得a、b的值；

（3）求出代數(shù)式a+b的值。

解：∵（a+3b+4）2=14（a2+b2+4）

∴13a2+5b2-6ab-8a-24b+40=0

∴（2a-2）2+（2b-6）2+（3a-b）2=0

∴a=1，b=3

∴a+b=1+3=4

2. 最值問題

例3 （1）當x= 時，代數(shù)式x2+4取得最 值，是 。

（2）當x= 時，代數(shù)式-（x-3）2+4取得最 值，是 。

（3）當x= 時，代數(shù)式x2-4x-3取得最 值，是 。

（4）當x= 時，代數(shù)式-2x2-4x-3取得最 值，是 。

考點：配方，二次項系數(shù)為正，代數(shù)式有最小值；二次項系數(shù)為負，代數(shù)式有最大值。

分析：這些代數(shù)式都是關(guān)于x的二次式，同學們想想有最大值還是最小值是受什么影響？當二項式系數(shù)為正時有最小值，當二次項系數(shù)為負時有最大值。雖然我們以后學習二次函數(shù)的時候?qū)﹂_口方向、對稱軸、最值等進行更系統(tǒng)的學習，但它配方的依據(jù)就是我們所學的完全平方公式。

3. 用配方證明恒等式問題

例4 如果3（a2+b2+c2）=（a+b+c）2，求證：a=b=c。

考點：完全平方公式、配方、非負數(shù)性質(zhì)。

分析：證明的關(guān)鍵是把從條件到結(jié)論的推導過程呈現(xiàn)出來，首先直接展開化解，然后根據(jù)式子結(jié)構(gòu)配成完全平方公式，第三步借助非負數(shù)的性質(zhì)得到相等的結(jié)論。

證明：∵3（a2+b2+c2）=（a+b+c）2

∴3a2+3b2+3c2=（a+b）2+2（a+b）·c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

∴2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0

∴（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0

∴a=b=c

例5 已知a4+b4+c4+d4=4abcd且a，b，c，d∈N。求證：a=b=c=d。

考點：配方（式子形式復雜），非負數(shù)性質(zhì)。

分析：先將已知等式變式使其構(gòu)成完全平方式，再利用非負數(shù)性質(zhì)和條件即可得到證明。

證明：∵a4+b4+c4+d4-4abcd=0

∴（a2-b2）2+（c2-d2）2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0

∴（a2-b2）2+（c2-d2）2+2（ab-cd）2=0

∴a2=b2，c2=d2，ab=cd

∵a，b，c，d∈N

∴a=b，c=d，b=c

∴a=b=c=d

三、 課后練習

1. 若a2b2-4ab+a2-2a+5=0，則a= ，b= 。

2. 若∣a-1∣2+（ab-2）2=0，則2017a-12b= 。

3. 若a+10=b+9=c+8，則2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac= 。

4. 已知|ab-2|+（a-2）2=0，求1ab+1（a+1）（b+1）+1（a+2）（b+2）+…+1（a+2010）（b+2010）的值。

5. 試說明不論a，b為什么數(shù)，a2+b2-2a-4b+6的值總是正數(shù)。

四、 小結(jié)

本節(jié)課我們主要學習了乘法公式的三個方面的應用。

（1） 利用配方和非負數(shù)的性質(zhì)求代數(shù)式的值的問題。重點掌握利用完全平方式的結(jié)構(gòu)配出平方。

（2） 用配方法求代數(shù)式的最值問題。

（3） 借助完全平方公式來證明整式中的恒等式問題。

五、 案例分析與反思教學設想

本節(jié)課是在學習了平方差公式和完全平方公式的基礎上，研究其在代數(shù)式求值、求最值及證明問題上的應用，想通過經(jīng)歷完全平方式的配方過程來培養(yǎng)學生研究問題和探索規(guī)律的能力，并使其達到舉一反三的學習效果。本節(jié)課的學習重點是利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)進行配方來解決問題。

本節(jié)課由復習練習題入手，設置疑問，讓學生在復習中回顧平方差公式和完全平方公式的應用。通過例1和例2兩個求代數(shù)式的值的題目，讓學生掌握配方的基本特點、基本技巧和步驟。通過例3的學習讓學生知道關(guān)于二次三項式的最值問題是可以通過配方來解決的。最后兩個證明題既能讓學生了解證明的思路與步驟，也能在思維上要求學生靈活運用公式進行變形與轉(zhuǎn)化。

教后反思

在課堂上學生還是很積極活躍的，但在后繼學習中暴露出的一些問題還是值得我去反思和改進的。

1. 學生對知識的自主建構(gòu)與交流探究還有待提高，這節(jié)課主要還是以老師的教授為主，讓學生自主思考和構(gòu)建知識體系方面時間偏少，還需加強。

2. 學生雖能很好地掌握本節(jié)課學習的解題方法，但那只是在這個特定的題型里。一旦把這類問題與其他問題目混合在一題時，我們的同學就不知道用這節(jié)課所學的方法來解決問題了，這說明學生對用配方法解決綜合問題的能力還不夠，還需加強練習。

3. 為提高課堂教學的有效性，我還需提高學生的參與度，讓學生成為課堂的主人，教師扮演活動的參與者、合作者。讓學生從認識事物的特征和規(guī)律出發(fā)，逐步設置問題，分析問題和解決問題。

作者簡介：

李丹，江蘇省南京市浦口區(qū)第三中學。endprint