巧用反比例函數(shù)中的模型解題

摘 要：對于我國中學(xué)教學(xué)來說，在實(shí)際的教學(xué)過程中有一個(gè)反比例函數(shù)的知識點(diǎn)非常重要，是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)函數(shù)。在實(shí)際的各種大型考試中，經(jīng)常會出現(xiàn)關(guān)于反比例函數(shù)知識點(diǎn)的考題，這也證明了反比例函數(shù)在中學(xué)教學(xué)中的重要性。在反比例函數(shù)公式中，y=kx（k為常數(shù)，k≠0），此時(shí)過反比例函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)對x軸或y軸作垂線，并根據(jù)三點(diǎn)圍成的三角形面積就是12k（此三點(diǎn)分別是垂足、坐標(biāo)原點(diǎn)和函數(shù)圖像上一點(diǎn)），這也就是k在反比例函數(shù)中所存在的意義。本文重點(diǎn)就對反比例函數(shù)中的模型解題進(jìn)行了分析。

關(guān)鍵詞：反比例函數(shù)；模型解題；應(yīng)用

一、 建立模型

在反比例函數(shù)圖像中，其中的任意一點(diǎn)A，向x軸作垂線，垂足為E，過射線OA上的點(diǎn)B作x軸的垂線，此點(diǎn)B與點(diǎn)A與原點(diǎn)不為同一點(diǎn)，所得到的垂足為D，通過反比例函數(shù)公式y(tǒng)=kx（k為常數(shù)，k≠0）的圖像交于點(diǎn)C，對OC進(jìn)行連接，假設(shè)OAOB=l.

如下圖所示：

當(dāng)B點(diǎn)在OA上時(shí)，可以得出三角形OAE與三角形OBD相似，因此可以得出S△OAES△OBD=OAOB2=l2，又因?yàn)镾△OAE=S△OCD=k2，因此，就可以得出三角形OBD和三角形OBC的面積，分別是①S△OBD=k2l2和②S△OBC=l2-1k2l2。而當(dāng)B點(diǎn)在OA延長線上時(shí)，就可以得出三角形OBD的面積，即k2l2，而三角形OBC的面積為③S△OBC=1-l2k2l2。

本文重點(diǎn)就是對反比例函數(shù)中k值進(jìn)行推廣應(yīng)用，進(jìn)而建立起新的反比例函數(shù)模型。

二、 模型的應(yīng)用

近幾年來，我國中學(xué)考試試題中經(jīng)常會出現(xiàn)關(guān)于反比例函數(shù)的考題，一般也都是在選擇題和填空題中出現(xiàn)，因?yàn)槠渚哂须y度大、區(qū)分度高的特點(diǎn)，想要應(yīng)用一般的解題方法通常都會比較困難，此時(shí)就可以對反比例函數(shù)的模型進(jìn)行應(yīng)用，并得出相應(yīng)的答案。下面舉例進(jìn)行分析：

首先，以我國某學(xué)?？荚囶}為例，如圖所示：

已知矩形OABC的面積為1003，矩形中OB與曲線的交叉點(diǎn)為D點(diǎn)，OB∶OD=5∶3，則k等于多少？

此題為填空題，應(yīng)用反比例函數(shù)模型進(jìn)行解答的具體方法為：

因?yàn)镈點(diǎn)位于曲線上，而B點(diǎn)在延長線上，就可以得出l=ODOB，同時(shí)也可以得出三角形OAB的面積等于矩形OABC面積的一半，所以，此題的解答就可以直接運(yùn)用反比例函數(shù)模式進(jìn)行解答，即：

因?yàn)镺B∶OD=5∶3，就可以得出l=35，因?yàn)榫匦蚊娣eOABC=1003，就可以知道三角形OAB的面積為1003×12=503，根據(jù)上述模型的建立可以知道，在反比例函數(shù)模型①中可以在此題中進(jìn)行應(yīng)用，并得出|k|2×352=503，所以，k=503×1825，因?yàn)閗值大于0，所以就可以得出k=12。

此題的考試目的主要是為了對矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)性質(zhì)及圖形相似性等知識點(diǎn)進(jìn)行考查，如果簡單的按照常規(guī)方法進(jìn)行解答，就會造成極大的難度，而通過對反比例模型的應(yīng)用就能夠快速有效的得出答案。

其次，以下題為例，如圖所示：

已知雙曲線y=kxk<0，圖中D點(diǎn)位三角形OAB斜邊OA的中點(diǎn)，曲線還與AB交于點(diǎn)C，當(dāng)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-6，4）時(shí)，則三角形AOC面積為多少？（ ）

A. 12 B. 9

C. 6D. 4

在此題中，可以對數(shù)值進(jìn)行求出，等到數(shù)值求得之后，就能夠運(yùn)用反比例函數(shù)模型③進(jìn)行求解，進(jìn)而得出三角形AOC的面積，而三角形AOC的面積就等于三角形AOB與三角形COB的差，此時(shí)也就能夠?qū)ξ粗獢?shù)方程進(jìn)行得出，并通過方程的解得出相應(yīng)的值，進(jìn)而完成對三角形AOC面積的求解。具體過程如下：

因?yàn)锳點(diǎn)的坐標(biāo)為（-6，4），所以，可以得出OB=6，AB=4，則三角形OAB的面積等于12，其中D點(diǎn)位AB的中點(diǎn)，所以，可以得出l=ODOA=12，則S△AOC=1-142×14k=32k，則S△AOC=S△OAB-S△BOC=12-12|k|，則32k=12-12k，進(jìn)而可以得出k=6，又因?yàn)閗<0，所以，k=-6，則S△AOC=32×6=9。

參考文獻(xiàn)：

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[3]王永明.反比例函數(shù)定義教學(xué)感悟與反思[J].教師觀點(diǎn)，2013，07（12）：123-126.

作者簡介：

史琦，江蘇省常州市新北區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)。endprint