科學設計問題串 優(yōu)化概念教學

摘 要：應試教育下很多課堂教學常有重解題輕概念的現(xiàn)象發(fā)生，而概念教學恰恰是數(shù)學教學環(huán)節(jié)中最重要的一環(huán)，如何做好概念教學是我們每一位教師必須重視的問題，教師應該合理使用教材，創(chuàng)設合理的教學情境，突出概念的本質，讓概念的形成、理解和辨析在有效的問題串設計中自然形成。數(shù)學課堂教學中，針對具體的教學內容和學生知識、能力的實際，設計恰時恰點、適度合理的問題串，不僅可以引導學生步步深入地分析問題、解決問題、建構知識、發(fā)展能力，而且能優(yōu)化課堂結構，提高課堂效率，很好地培養(yǎng)學生的思維品質。應該說科學設計問題串是一節(jié)魅力數(shù)學課堂不可或缺的元素。

關鍵詞：科學設計；問題串；概念教學

一、 問題的提出

前不久，筆者在高三一輪復習函數(shù)的奇偶性時，給出了這樣一道判斷題：若函數(shù)f=（x+1）為奇函數(shù)，則f=（-x-1）=-f（x+1），這個結論正確嗎？全班53名學生竟有多半學生回答正確，還有部分學生猶豫不定！筆者讓一位認為正確的學生說說自己的理由，這位學生回答說，函數(shù)的奇偶性的定義就是這樣的！若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則對于定義域中任意自變量x，都有f（-x）=-f（x）成立。我追問他函數(shù)f（x+1）的自變量是什么？你能用文字語言敘述一下奇函數(shù)的定義嗎？結果該生知道自變量為x，但對于第二個問題沒答上來。其實學生判斷失誤的關鍵在于對奇函數(shù)定義沒有真正的理解，沒有弄清概念的本質：互為相反數(shù)的一對自變量對應的函數(shù)值也互為相反數(shù)。而要弄清這一點，就必須讓學生在學習奇函數(shù)的概念時，經歷由特殊到一般的概念抽象、概括過程。而現(xiàn)實是很多基礎年級的課堂只重解題技巧，輕視概念生成過程，追求概念教學最小化和習題講解最大化，這樣學生對數(shù)學概念只知道機械記憶，死記硬背、不求甚解，并未理解概念的本質，直接后果表現(xiàn)為學生在沒有真正理解概念的情況下匆忙去解題，使得他們只會模仿解決某些典型的題型、掌握某些特定的解法，一旦遇到新情況、新題目就束手無策。

二、 教學片段回放及思考

1. 課題的引入是從現(xiàn)實生活中提出問題或是從數(shù)學內部提出問題

以《函數(shù)的零點》為例。

問題1 觀察這幅圖，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：發(fā)現(xiàn)了3張臉。

師：從左面看，是一個少女；從正面看，是一個老婦人；從側面看，是一個老頭。同一幅圖，從不同的角度看，發(fā)現(xiàn)了3張臉，得到了不同的結果，你從這里能得到什么樣的啟發(fā)？

生：我們看問題，要善于從不同的角度進行思考。

師：很好！（投影：從不同的角度看問題）

問題2 從不同的角度看y=2x-1，你有什么樣的思考？

生：它是一次函數(shù)，圖象是一條直線。

師：已經有兩種結果了，還有嗎？假如初一學生來看，他會說是什么？這是一個等式，含有兩個未知數(shù)的等式，叫什么？

眾生：二元一次方程。

師：對于y=2x-1，現(xiàn)在我們可以有三種理解，即函數(shù)、直線和方程。

問題3 在y=2x-1中，令y=0，得x=0.5，對x=0.5，你有怎樣的理解？

生：可以看成是方程2x-1=0的根。

生：也就是函數(shù)y=2x-1的圖象與x軸交點的橫坐標。

師：這樣，這里的0.5既有數(shù)的意義，又具有形的意義。其實，這個0.5還有一個名字，叫做函數(shù)y=2x-1的零點（投影）。這就是我們今天這節(jié)課所要研究的問題——板書課題。

師：我們把0.5叫做函數(shù)y=2x-1的零點，為什么要取“零點”這個名字呢？

生：因為它是由y=0求得的。

問題4 對于一般的函數(shù)y=f（x），你認為該如何定義它的零點呢？

生：方程f（x）=0的根，叫做函數(shù)y=f（x）的零點。

師：非常好！跟課本上的定義幾乎是一致的。對于這個定義，我們也可以從數(shù)和形的角度來刻畫。從數(shù)的角度怎樣來理解？

圖1

生：方程f（x）=0的根。

師：那么，從形的角度呢？

生：函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交點的橫坐標。

師：非常好?。ㄍ队埃?/p>

問題5 已知函數(shù)y=f（x）的圖象如圖1所示，你能說出這個函數(shù)的零點是什么嗎？有兩種答案可供選擇：（1）x1=0，x2=1，x3=2；（2）（0，0），（1，0），（2，0）。

生：選（1）。

師：為什么呢？

生：根據(jù)定義，函數(shù)的零點是它的圖象與x軸交點的橫坐標，是一個數(shù)，而不是一個點。

師：很好！如果現(xiàn)在我們可以出一道腦筋急轉彎題目：“什么點不是點？”——那么“零點”就是答案之一。

評析：在對引入課題的問題情境進行設計時，先由學生熟悉的自然現(xiàn)象入手，過渡到數(shù)學中的抽象問題，接著提出相應的問題，這樣符合學生的認知規(guī)律。筆者在研究該課的相關案例時，發(fā)現(xiàn)有的教學設計直接從數(shù)學問題角度提出問題，這樣設計未嘗不可，但是由于函數(shù)具有高度抽象性，先結合實例形象感知現(xiàn)象，再探究數(shù)學中的抽象更自然合理。

設置問題情境是為提出數(shù)學問題服務的，不能為了情境而情境，經歷完眼花繚亂的情境后學生沒有能自主提出問題，這樣的問題情境是失敗的，也就是說在設置時沒有考慮問題的導向性，讓學生經歷之后到底想讓學生產生怎樣的問題。

2. 概念形成過程中的問題串設計要有整體性、層次性、探究性

以《三角函數(shù)的周期性》為例。

問題1 如何用數(shù)學語言刻畫三角函數(shù)的周期性？

問題2 如果函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，符合用數(shù)學語言刻畫的函數(shù)特性嗎？

評析：先由學生熟悉的正弦函數(shù)進行探究，概括出作為周期函數(shù)的兩個主要特征，再通過問題2加深學生對兩個特征的認識，由特殊到一般，符合學生認知習慣，為定義一般函數(shù)的周期性做鋪墊。上述兩個問題是為了解決“如何用數(shù)學語言刻畫三角函數(shù)的周期性”而設置的，自上而下體現(xiàn)了統(tǒng)一性、延續(xù)性，并非孤立分散的，這就體現(xiàn)了問題情境的設置要有整體性。endprint

問題1-1：結合前面所學的知識你能說說正弦函數(shù)有怎樣“周而復始”的特點嗎？

問題1-2：這個結論如何用數(shù)學等式表示？

問題1-3：上式的成立與x有關嗎？

評析：上述三個小問題是為了解決問題1而設置的，讓學生對正弦函數(shù)周期性的特點進行直觀感知，然后引導學生用數(shù)學語言對兩個特征（任意性，周而復始）進行刻畫，再對正弦函數(shù)的周期性下一定義，這是概念形成的關鍵一步，同時也體現(xiàn)了設置問題時的層次性。

3. 概念形成后要注重反思概念的內涵，挖掘其外延

以《函數(shù)的零點》為例，試看“零點存在性定理”的生成過程。

師：下面我們來探究函數(shù)在什么條件下有零點，先來做一個實驗：每位同學的桌上都有一支筆芯和一條細線，如果我們把筆芯所在直線假想成x軸，把細線當成函數(shù)圖象?，F(xiàn)請將細線和筆芯放在桌面內，保持筆芯固定不動，活動細線的兩個端點（記為A、B），觀察細線與筆芯的交點的個數(shù)，思考下列問題：

問題1 如果A、B在筆芯異側，細線和筆芯的交點有幾個？

答：略。

問題2 如果A、B在筆芯同側，細線和筆芯的交點有幾個？

答：略。

問題3 細線的兩個端點滿足什么條件時這條細線和筆芯一定有交點？

答：略。

問題4 上述結論怎樣用數(shù)學語言表示？

答：略。

問題5 利用函數(shù)f（x）=23x3+12x2-2x+1的圖象，考查你自己總結的結論正確嗎？

老師用幾何畫板演示（略）。

師：至此，我們可以確定剛才的結論是正確的，這正是函數(shù)零點的存在性定理：

若函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，并且f（a）f（b）<0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上有零點。

請大家思考：

（1） 若函數(shù)在區(qū)間（a，b）有零點，是幾個？

（2） 如果函數(shù)是一條間斷的曲線，結論如何？

（3） 如果f（a）f（b）>0，結論如何？

（4） 定理的結論與條件反過來成立嗎？

（5） 有位同學畫了如圖2所示的圖形，認為上述“定理”不成立，你同意這種觀點嗎？

討論（略）。

作者簡介：

張錦成，江蘇省蘇州市外國語學校。endprint