矩形截面永磁環(huán)構(gòu)成的Halbach永磁軸承結(jié)構(gòu)優(yōu)化

田錄林，吳少華，田亞琦

（1.西安理工大學(xué)水電學(xué)院，陜西西安 710048；2.重慶江北中學(xué)，重慶 400714）

Halbach[1-2]陣列是用少量永磁體產(chǎn)生氣隙強(qiáng)磁場的一種新型永磁體結(jié)構(gòu)，在永磁軸承領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景[3-5]。目前，永磁軸承的研究主要集中在雙環(huán)永磁軸承，其磁力計(jì)算往往采用一些復(fù)雜的數(shù)值算法或經(jīng)驗(yàn)公式[6-8]。陳殷等[6]先根據(jù)安培分子環(huán)流假說，用面電流法對矩形永磁體的空間磁場等效，從而推導(dǎo)出其空間磁場的表達(dá)式；再通過疊加原理和坐標(biāo)變換，得到了Halbach陣列磁場的計(jì)算公式，可是并沒有建立該陣列的磁力計(jì)算公式。徐飛鵬、李鐵才等[7-8]對不同磁化方向的矩形截面永磁環(huán)組成的Halbach永磁軸承軸向磁力進(jìn)行對比分析，得出在滿足受力和剛度要求時90°旋轉(zhuǎn)磁化方案是更易于實(shí)現(xiàn)的結(jié)論，但該文僅僅是仿真論證，既沒有便于工程計(jì)算的磁力解析模型，也沒有涉及永磁軸承的結(jié)構(gòu)優(yōu)化。在Halbach永磁軸承的磁力研究方面存在的主要問題是對Halbach永磁軸承的磁力研究基本都采用數(shù)值仿真算法，缺少便于工程技術(shù)人員掌握并能進(jìn)行快速計(jì)算的磁力解析模型；在Halbach永磁軸承組裝過程中，待安裝磁環(huán)與已疊裝磁環(huán)間的磁力大小相差較大，造成安裝困難。安裝Halbach永磁軸承時，待安裝的磁環(huán)所受磁力相差較大的原因與構(gòu)成Halbach永磁軸承的矩形磁環(huán)截面結(jié)構(gòu)尺寸有關(guān)，因而對其結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化就十分必要。該文基于田錄林[9-11]、艾訓(xùn)鵬[11]等的相關(guān)文獻(xiàn)首先建立由矩形截面永磁環(huán)構(gòu)成的Halbach永磁軸承軸向磁力解析模型，接著建立待安裝磁環(huán)所受磁力相差最小的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)及其約束條件，再采用布谷鳥搜索（Cuckoo search，CS）算法優(yōu)化結(jié)構(gòu)尺寸，最后用ANSYS軟件仿真驗(yàn)證。本文旨在建立便于工程計(jì)算的由矩形截面永磁環(huán)構(gòu)成的Halbach永磁軸承轉(zhuǎn)子裝配時，待裝矩形磁環(huán)所受軸向磁力解析模型和便于Halbach永磁軸承裝配的待裝磁環(huán)受力差別最小的磁環(huán)尺寸比例關(guān)系。

1 Halbach永磁軸承轉(zhuǎn)子待裝磁環(huán)所受軸向磁力解析模型

1.1 兩不同矩形截面永磁體軸向磁力公式

單位長度的兩細(xì)條形永磁體之間軸向磁力[12-13]：

縱向長度為L的兩個同向磁化的不同矩形截面永磁體參數(shù)如圖1所示。箭頭為永磁體磁化方向。β1、β2分別為j1和j2與X軸方向夾角；θ為rPM與X軸正方向夾角[14]。

圖1 兩個不同矩形截面永磁體Fig.1 Two PMs of different rectangular section

式中：

式（2）和式（3）是縱向長度為的同向磁化的不同矩形橫截面永磁體磁力公式。適用任意磁化方向的兩不同矩形截面永磁體的軸向磁力公式為

式中：

1.2 矩形截面永磁環(huán)構(gòu)成的HALBACH永磁軸承轉(zhuǎn)子待裝磁環(huán)所受軸向磁力解析模型

圖2所示Halbach永磁軸承的定子、轉(zhuǎn)子分別由5個矩形截面永磁環(huán)組成，其中a和e（b和d）為兩個不同矩形截面永磁環(huán)的徑（軸）向尺寸，定子、轉(zhuǎn)子相對磁環(huán)尺寸相同。本文建立轉(zhuǎn)子磁環(huán)安裝時所受的軸向磁力。

圖2 矩形截面永磁環(huán)構(gòu)成的Halbach永磁軸承結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure chart of Halbach PM bearing constituted by rectangular section PM rings

根據(jù)圖2所示，按編號從小到大，從左向右依次安裝轉(zhuǎn)子磁環(huán)，分析待裝磁環(huán)所受的軸向磁力。

1）當(dāng)β1+β2=0、β1+β2=π 時分別代入式（4）得軸向磁力Fz：

式中，當(dāng)β1+β2=π 時取“+”號、當(dāng)β1+β2=0或 2π時取“-”號。

1)貯養(yǎng)穴的位置和數(shù)量。貯養(yǎng)穴應(yīng)位于根的集中分布區(qū)，一般在樹冠投影邊緣向內(nèi)50～70厘米處。數(shù)量根據(jù)樹冠大小及土壤條件決定，貴州山地果園7～10年生冠徑為3.5～4米，設(shè)4個穴，成年樹設(shè)6～8個穴。

2）當(dāng)時分別代入式（4）得軸向磁力：

式中，當(dāng)β1+β2=π/2時取“+”號；當(dāng)β1+β2=-π/2時取“-”號。

式（5）和（6）是縱向長度為的兩平行矩形截面永磁體的軸向磁力公式，亦可用于計(jì)算兩矩形截面永磁環(huán)間的軸向磁力。則安裝第i個永磁環(huán)時，第i個永磁環(huán)所受軸向磁力解析模型如下：

式中：c=0（圖1所示磁環(huán)距z軸的距離），i∈[2，n]n為轉(zhuǎn)子總的永磁環(huán)個數(shù)；

2 永磁軸承結(jié)構(gòu)優(yōu)化

2.1 優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)

為了實(shí)現(xiàn)Halbach永磁軸承裝配的待裝磁環(huán)受力差別最小的目標(biāo)，該文以5個磁環(huán)構(gòu)成轉(zhuǎn)子為例建立待裝磁環(huán)受力差別最小的目標(biāo)函數(shù)為：

其中:

考慮磁環(huán)加工工藝及安裝的方便性，磁環(huán)尺寸取值范圍如下（約束條件）：

式中：Fz2，F(xiàn)z3，F(xiàn)z4、Fz5表示安裝第i個永磁環(huán)時所受的軸向磁力。

2.2 CS優(yōu)化算法

該文基于布谷鳥優(yōu)化算法對上文的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)計(jì)算。布谷鳥算法的思想是：布谷鳥繁殖時將蛋產(chǎn)在宿主巢中讓其孵化，并采用兩種途徑更新鳥巢位置：1）鳥蛋被發(fā)現(xiàn)后，會被宿主擠出鳥巢或者宿主棄舊巢覓新巢，因此布谷鳥必須重新尋巢，此局部搜索過程可用發(fā)現(xiàn)概率Pa表示。2）布谷鳥采用具有全局搜索功能的萊維飛行模式尋巢。

可用以下3點(diǎn)理想化條件概括CS算法[15-16]：

1）每只布谷鳥一次只產(chǎn)一枚蛋，并隨機(jī)選擇鳥巢放置它。

2）最好的鳥巢將保留至下一代，且可利用的宿主鳥巢數(shù)量n不變。

3）宿主發(fā)現(xiàn)外來鳥蛋的概率為Pa。

2.3 CS優(yōu)化結(jié)果

該文運(yùn)用MATLAB2010軟件編寫CS算法程序，通過搜索軸向磁力分布函數(shù)η的最小值，尋得其最優(yōu)結(jié)構(gòu)。該算例參數(shù)設(shè)置如下：CS算法鳥巢種群數(shù)量為n=25，布谷鳥鳥蛋被宿主鳥發(fā)現(xiàn)的概率為Pa=0.25。當(dāng)算法進(jìn)行10 000次迭代且精度達(dá)到10-5后終止。η函數(shù)的維度設(shè)定為4維，萊維常數(shù)為1.5，磁環(huán)長度=1 000 mm，徑向參數(shù)a、和e限定在[20，30]mm，軸向參數(shù)b和d限定在[15，25]mm。算法優(yōu)化結(jié)果：

3 ANSYS仿真驗(yàn)證解析模型

該文選用稀土NdFeB作為永磁軸承材料，其性能尺寸：Br=1.13T，矯頑力Hc=800 kA/m，相對磁導(dǎo)率為μr=1.124，磁環(huán)長度=1 000 mm。

將結(jié)構(gòu)參數(shù)代入式（7）得到的解析模型計(jì)算值，再代入式（8）得到待裝磁環(huán)受力差別最小的目標(biāo)函數(shù)計(jì)算值，并與其ANSYS仿真值對比分析。下文圖中RM、RA分別為待裝磁環(huán)受力差別最小的目標(biāo)函數(shù)計(jì)算值η、ANSYS仿真所得的待裝磁環(huán)受力差別最小的目標(biāo)函數(shù)值。具體計(jì)算結(jié)果如下：

待裝磁環(huán)受力差別最小的目標(biāo)函數(shù)值與圖2結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系

1）待裝磁環(huán)受力差別最小的目標(biāo)函數(shù)值η與參數(shù)a的關(guān)系

e=27.50 mm，b=19.30 mm，d=18.81 mm，a[20，30]時待裝磁環(huán)受力差別最小的目標(biāo)函數(shù)值η與仿真值如圖3所示。

由圖3可以看出：η隨著結(jié)構(gòu)參數(shù)a的增大呈現(xiàn)先大幅減小后劇烈增加的趨勢，且在a=27.5 mm處取得最小值，其與ANSYS仿真結(jié)果的最大誤差為15.38%，最小誤差為0.96%，平均誤差為7.33%。

圖3 待裝磁環(huán)受力差別最小的η值與仿真值對比Fig.3 Comparison of the η value of the to-be-installed PM ring of minimum axial magnetic force difference with the simulation value

2）待裝磁環(huán)受力差別最小的目標(biāo)函數(shù)值η與參數(shù)e的關(guān)系

a=27.50 mm，b=19.30 mm，d=18.81 mm，e[20，30]時待裝磁環(huán)受力差別最小的目標(biāo)函數(shù)值η與仿真值如圖4所示。

圖4 待裝磁環(huán)受力差別最小的η值與仿真值對比Fig.4 Comparison of the η value of the to-be-installed PM ring of minimum axial magnetic force difference with the simulation value

由圖4可以看出：η隨著結(jié)構(gòu)參數(shù)e的增大呈現(xiàn)先緩慢減小后大幅增加的趨勢，且在e=27.50 mm處取得最小值，其與ANSYS仿真結(jié)果的最大誤差為19.28%，最小誤差為0.27%，平均誤差為8.46%。

3）待裝磁環(huán)受力差別最小的目標(biāo)函數(shù)值η與參數(shù)b的關(guān)系

a=27.50 mm，e=27.50 mm，d=18.81 mm，b[15，25]時待裝磁環(huán)受力差別最小的目標(biāo)函數(shù)值η與仿真值如圖5所示。

由圖5可以看出：η隨著結(jié)構(gòu)參數(shù)b的增大呈先急劇減小后不斷增加的趨勢，且在b=19.30 mm處取得最小值，其與ANSYS仿真結(jié)果的最大誤差為10.27%，最小誤差為1.98%，平均誤差為4.97%。

圖5 待裝磁環(huán)受力差別最小的η值與仿真值對比Fig.5 Comparison of the η value of the to-be-installed PM ring of minimum axial magnetic force difference with the simulation value

4）待裝磁環(huán)受力差別最小的目標(biāo)函數(shù)值η與參數(shù)d的關(guān)系

a=27.50 mm，e=27.50 mm，b=19.30 mm，d[15，25]時待裝磁環(huán)受力差別最小的目標(biāo)函數(shù)值η與仿真值如圖6所示。

圖6 待裝磁環(huán)受力差別最小的η值與仿真值對比Fig.6 Comparison of the η value of the to-be-installed PM ring of minimum axial magnetic force difference with the simulation value

圖7 ANSYS仿真圖Fig.7 The simulation diagram of ANSYS

由圖6可以看出：η隨著結(jié)構(gòu)參數(shù)d的增大呈先緩慢后逐步增加的趨勢，并在d=18.81 mm取得最小值，其與ANSYS仿真結(jié)果（圖7）的最大誤差為11.72%，最小誤差為1.98%，平均誤差為7.06%。

4 結(jié)論

該文建立了由矩形截面永磁環(huán)構(gòu)成的Halbach永磁軸承轉(zhuǎn)子待裝磁環(huán)所受軸向磁力解析模型，并通過CS算法求出了便于Halbach永磁軸承裝配的待裝磁環(huán)受力差別最小的磁環(huán)尺寸比例關(guān)系，ANSYS仿真驗(yàn)證了該文解析模型及優(yōu)化結(jié)果的正確性。對比分析結(jié)果表明：η值隨各結(jié)構(gòu)參數(shù)增加都呈先減小后增大的趨勢，都在最優(yōu)結(jié)構(gòu)時取得最小值，且a、e（b、d）變化時η的變化趨勢基本相同。另外，優(yōu)化結(jié)果及其較小的誤差亦表明采用CS算法優(yōu)化永磁軸承結(jié)構(gòu)是行之有效的。

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