極限的若干求解方法

謝勇

【摘要】 極限是研究高等數(shù)學(xué)的重要工具，正確的掌握極限的運(yùn)算方法，是研究數(shù)學(xué)分析及其他相關(guān)學(xué)科的基礎(chǔ)。本文結(jié)合自己與同行的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)出了運(yùn)用五則運(yùn)算、變量替換、兩邊夾法則、兩個(gè)重要極限、LHospital法則、Stolz公式、Taylor公式、Heine定理及Lagrange中值定理等極限求解方法。

【關(guān)鍵詞】 極限 解法 五則運(yùn)算 洛必達(dá)法則 泰勒公式

【中圖分類號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1992-7711（2018）11-222-02

1. 課題背景

數(shù)列和函數(shù)的極限在數(shù)學(xué)分析中所占的地位是眾所周知的，通過(guò)極限定義了函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)及定積分等等。同時(shí)它也是考研數(shù)學(xué)分析中每次必考的一個(gè)考點(diǎn)。許多考研復(fù)習(xí)參考資料中都花大量的篇幅去探討、列舉極限的求解方法，復(fù)雜冗贅，沒(méi)有條理，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)很吃力，也很難掌握。

2 . 極限求解的方法

2.1利用五則運(yùn)算求極限

極限的五則運(yùn)算是極限求解的最基本方法，很多極限求解的題目都是通過(guò)極限的五則運(yùn)算來(lái)求解的。我們通常的四則運(yùn)算包括加、減、乘、除，而五則運(yùn)算還包括冪指運(yùn)算。

2.3 兩邊夾法則及推廣形式

當(dāng)極限很復(fù)雜或不能直接將其求解出來(lái)，可以考慮先求極限的變量，然后做適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小，使放大和縮小所得到的新的變量易于求解，且二者的極限值相同，那么原極限存在且等于這兩個(gè)極限的極限值，這就是極限求解的兩邊夾法則。

注 在運(yùn)用兩邊夾法則求極限是極限求解的十分重要的方法且應(yīng)用廣泛，但是值得注意的是在放大和縮小時(shí)不能放大得過(guò)大和縮小得過(guò)小，必須使放大后的極限值和縮小后的極限值相等；若放大和縮小所得的極限值不相等，但二者只相差一個(gè)任意小的常數(shù)，則兩邊夾法則任然有效。

2.4 兩個(gè)重要極限

2.5 LHospital（洛必達(dá)）法則

2.6 Stolz公式

2.7 利用Taylor公式求極限

在極限求解中，我們也常遇到未定式極限的求解，對(duì)于這樣的極限求解問(wèn)題，我們常用的方法是等價(jià)無(wú)窮小代換和洛必達(dá)法則，但等價(jià)無(wú)窮小代換只能用在乘除運(yùn)算中。另外，洛必達(dá)法則如遇到階數(shù)較高的無(wú)窮小量必須進(jìn)行多次洛必達(dá)法則，過(guò)程比較繁瑣，這時(shí)用泰勒公式會(huì)比較簡(jiǎn)單。

2.8 Heine（海涅）定理

眾所周知，海涅定理是溝通數(shù)列和函數(shù)的“橋梁”，通過(guò)海涅定理，數(shù)列極限和函數(shù)極限可以相互轉(zhuǎn)換，函數(shù)極限的所有性質(zhì)都可以通過(guò)海涅定理用數(shù)列極限加以證明，根據(jù)海涅定理的必要條件還可以判斷函數(shù)極限是否存在。

2.9利用周期性

2.10 定積分法

2.11 利用Lagrange中值定理

3 . 總結(jié)與展望

總結(jié)了極限求解的幾種方法。因?yàn)闃O限求解是一個(gè)很基礎(chǔ)的也是非常重要的一部分，在學(xué)習(xí)這部分的時(shí)候我們沒(méi)有進(jìn)行系統(tǒng)性的歸納總結(jié)，所以在這里我根據(jù)自己在大學(xué)學(xué)習(xí)期間學(xué)到的極限求解的相關(guān)知識(shí)給出了幾種我們常用的求解方法。

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