淺談數(shù)學歸納法的邏輯基礎

王永琦

摘 要：數(shù)學歸納法的邏輯基礎目前有三種看法，一部分學者認為數(shù)學歸納法的邏輯基礎是歸納法，一部分學者認為是演繹法，還有一部分學者認為歸納法和演繹法二者結(jié)合是數(shù)學歸納法的邏輯基礎。對于此可以從數(shù)學歸納法的由來和美中邏輯基礎的代表思想及其發(fā)展過程進行探討。

關鍵詞：數(shù)學歸納法；歸納法；演繹法；邏輯基礎

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2018）06-0178-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2018.06.113

數(shù)學證明方法分為構(gòu)造性方法和非構(gòu)造性方法，構(gòu)造性方法是指通過證明解釋定理或者關系的存在性問題，非構(gòu)造性方法包括數(shù)學歸納法和反證法，數(shù)學歸納法可以看作是半構(gòu)造性方法。數(shù)學歸納法是數(shù)學證明中的一種重要方法，利用數(shù)學歸納法可以通過普遍證明特殊問題，通過有限證明無限問題。

一、數(shù)學歸納法的發(fā)展

最早提出數(shù)學歸納法的數(shù)學家是歐幾里得，可以追溯至公元前三世紀，在其《幾何原本》中可以查到記載。莫羅利科在十五世紀七十年代明確提出了遞歸推理的思想，并且利用數(shù)學歸納法成功證明了賈憲三角，記載在其書寫的《論算數(shù)三角形》中，這是數(shù)學歸納法的首次運用。數(shù)學歸納法在歷史上存在已久，其在數(shù)學學科中的重要性也顯而易見，但是數(shù)學歸納法的邏輯基礎仍然沒有廣泛同意的觀點。十九世紀末，數(shù)學歸納法的邏輯基礎首次被意大利的數(shù)學家皮亞杰提出，并在《算數(shù)原理新方法》中公開發(fā)表。盡管如此，數(shù)學歸納法的邏輯基礎仍然沒有得到各國學者的統(tǒng)一認定，數(shù)學歸納法一直在數(shù)學學科研究中得到廣泛應用。目前對于數(shù)學歸納法的邏輯基礎有三種不同的看法，有些學者認為數(shù)學歸納法的邏輯基礎是歸納法，有些學者認為數(shù)學歸納法的邏輯基礎是演繹法，由于對歸納法和演繹法的認識和理解也沒有得到統(tǒng)一，因此還有一些學者認為數(shù)學歸納法的邏輯基礎是歸納法和演繹法的結(jié)合[1，2]。

二、數(shù)學歸納法的邏輯基礎

（一）數(shù)學歸納法的邏輯基礎是歸納法

將數(shù)學歸納法的邏輯基礎看作是歸納法的思想在上世紀五六十年代的數(shù)學界廣泛認可，用歸納法的方式教授數(shù)學歸納法得到廣泛認可。上世紀八十年代，范光忠對歸納法進行了總結(jié)，歸納法包含完全歸納法和不完全歸納法，不完全歸納法又包含窮舉法和數(shù)學歸納法，但是由于期間國家政治經(jīng)濟發(fā)生了巨大的動蕩和變化，這一思想沒有寫入教科書中。1994年，申祝平對范光忠的觀點提出不同看法，認為數(shù)學歸納法的說法本身存在歧義，數(shù)學歸納法稱之為歸納。在上海高中數(shù)學教材中，將歸納法分為四個部分，包含歸納法，數(shù)學歸納法，完全歸納法和不完全歸納法。2004年呂寶興提出數(shù)學歸納法應該屬于完全歸納法的概念范疇[1]。

（二）數(shù)學歸納法的邏輯基礎不是歸納法

數(shù)學歸納法的邏輯基礎不是歸納法的思想在很多年前已經(jīng)存在，并且有數(shù)學家明確指出了數(shù)學歸納法和歸納法之間存在本質(zhì)區(qū)別。上世紀八十年代出現(xiàn)的《中學數(shù)學教材教法總論》一書中明確指出：“數(shù)學歸納法不屬于前面所說的歸納推理，而是根據(jù)歸納原理綜合運用歸納、演繹推理的一種特殊的數(shù)學證明方法”，在當時的數(shù)學界得到了廣泛的認可。在1980年出版的數(shù)學課本中，數(shù)學歸納法、與反證法和同一法一起作為間接證明的方法寫入課本。

1982年時，復旦大學附屬中學在數(shù)學教學中提出，學生對于數(shù)學歸納法的認知困難是由于數(shù)學歸納法的本質(zhì)并不是歸納法，也不是完全歸納法，那么教授的環(huán)節(jié)已經(jīng)出現(xiàn)了錯誤：數(shù)學歸納法不能當作歸納法或者完全歸納法教授，之前的教授方法與學習內(nèi)容存在了脫節(jié)，必然導致學生在數(shù)學歸納法的學習中存在很大的困難，也更無法在數(shù)學歸納法的理解中發(fā)現(xiàn)實質(zhì)性的問題。曾容認為數(shù)學歸納法的名稱本身就容易引起誤解，讓人們很容易將數(shù)學歸納法與歸納法產(chǎn)生聯(lián)系，但是數(shù)學歸納法應該是遞歸推證法[2]。

（三）數(shù)學歸納法的邏輯基礎是演繹法

數(shù)學歸納法的邏輯基礎是演繹法的思想在上世紀五十年代已經(jīng)得到蘇聯(lián)數(shù)學家的廣泛認可，但是在我國過了幾十年才出現(xiàn)這種思想。上文已經(jīng)提及數(shù)學歸納法和歸納法雖然名稱相近，但是本質(zhì)上存在區(qū)別，數(shù)學歸納法的基礎應該是遞歸推理原理。這種思想的發(fā)展是由于數(shù)學思想和方法不斷嚴謹，不斷發(fā)展出現(xiàn)的。數(shù)學歸納法在一定意義上被認為是古典演繹邏輯發(fā)展的必然結(jié)果。因此，單純從名字望文生義，將數(shù)學歸納法與歸納法混為一談是非常荒謬的做法。將這一思想及時更正有利于數(shù)學教學質(zhì)量的提升和數(shù)學思想的發(fā)展。歸納法主要用于數(shù)學推理，對發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題作出了貢獻，其結(jié)構(gòu)不一定為真。數(shù)學歸納法的實質(zhì)是演繹法，其結(jié)構(gòu)為真。數(shù)學歸納法和歸納法的本質(zhì)區(qū)別的面紗得以揭開，使人們對數(shù)學歸納法的本質(zhì)有了明確的認識，成功實現(xiàn)了數(shù)學問題中有限向無限的證明，促進了數(shù)學教學的提升和數(shù)學思想的發(fā)展。

（四）數(shù)學歸納法的邏輯基礎是歸納法與演繹法的結(jié)合

有一部分學者認為數(shù)學歸納法的邏輯基礎是歸納法和演繹法的結(jié)合，歸納法和演繹法不存在實質(zhì)性的分歧，都是數(shù)學證明的分支。1992年趙龍山提出數(shù)學歸納法的邏輯基礎是自然數(shù)，并且認為以現(xiàn)代邏輯觀點為基礎，演繹推理的方法是找出前提條件和結(jié)論之間的必然聯(lián)系，那么，數(shù)學歸納法在這種觀點的背景下也應該是以演繹為基礎發(fā)展的方法。但是，我們可以肯定的是，數(shù)學歸納法并非只能通過演繹推理的方法證明，采用數(shù)學歸納法證明一個問題時，首先要通過普遍性進行推理，由普遍性證明特殊性，由有窮性證明無窮性，然后將推理結(jié)果進行總結(jié)歸納，因此數(shù)學歸納法是演繹法和歸納法的結(jié)合。數(shù)學歸納法既是演繹法又是歸納法。鐘寶山和揚熙鵬在1991年提出一個觀點支持這一邏輯基礎，他們認為歸納法和演繹法二者之間互為基礎和先導，二者之間存在一定的聯(lián)系，因此數(shù)學歸納法的邏輯基礎必須以二者結(jié)合為基礎，不能單獨拆除一個部分。

三、總結(jié)

根據(jù)以上分析，數(shù)學歸納法的邏輯基礎仍然沒有得到統(tǒng)一的答案，暫且可以認為數(shù)學歸納法的邏輯基礎既包含演繹推理，又包含歸納總結(jié)。數(shù)學歸納法的存在為數(shù)學難題的解決起到了強大的推動作用，然而對于數(shù)學歸納法的邏輯基礎的探討，隨著社會經(jīng)濟政治的發(fā)展仍然會有不同的爭議。

參考文獻：

[1] 申祝平.為“數(shù)學歸納法”正名[J].中學數(shù)學教學參考，1994（5）.

[2] 曾容.數(shù)學歸納法的教學探討[J].數(shù)學教學，1982（1）.endprint